NOTION DE NOMBRE. ÉGALITÉ

les nombres, leur suite est la suite naturelle. A ce point de vue, ajouter un k un nombre, c'est remplacer ce nombre par le suivant.

5. Pour reconnaître que le nombre d'objets qui figurent dans une collection est le même que le nombre d'objets qui figurent dans une autre collection, ou comme on dit, que ces deux nombres d'objets sont égaux^ il suffit de compter les objets qui figurent dans chaque collection. On peut encore procéder de la façon suivante qui ne suppose pas qu'on sache compter, qu'on sache les noms des nombres.

Supposons qu'un enfant veuille acheter des pommes à un marchand qui les vend un sou chacune ; il peut donner un sou contre lequel le marchand lui donnera une pomme ; puis un autre sou et recevoir une pomme ; donner encore un sou et recevoir encore une pomme, etc.. Au bout d'un nombre quelconque d'échanges, le nombre de pommes qu'il a reçues est égal au nombre de sous qu'il a donnés ; à chaque pomme reçue cofTespond un sou donné : c'est ainsi que se pratiquent les échanges entre objets de même valeur chez les peuples qui ne savent pas compter.

Les nombres d'objets qui figurent dans deux collections sont égaux si l'on peut faire correspondre chaque objet de l'une à un objet et à un seul de l'autre collection, de manière qu'il ne reste dans aucune collection aucun objet qui n'ait son correspondant dans lautre. La correspondance pourrait s'établir en faisant une marque différente sur chaque objet de la première collection et la même marque sur l'objet correspondant de la seconde. Comme marques^ on pourrait se servir des noms de nombre de la suite naturelle : on compterait alors les deux collections, en sorte que, au fond, le procédé primitif pour constater l'égalité en nombre de deux collections et le procédé plus savant qui consiste à les compter, reviennent au même.

6. 11 est clair que si, en comparant deux collections à une troisième, on a constaté qu'elles contenaient chacune le même nombre d'objets que cette troisième, on pourra être assuré qu'elles contiennent Tune et l'autre le même nombre d'objets. On pourra, si l'on veut, faire correspondre entre eux deux objets appartenant l'un à la première collection, l'autre à la seconde, lorsqu'ils correspondent à un même objet de la troisième. Deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux.

Deux nombres qui ne sont pas égaux sont inégaux.

7. Les nombres, a-t-on dit plus haut, permettent de répondre à cette question : combien y a-t-il d'objets dans une collection ? Pour

former une collection à proprement parler, il faut au moins deux objets ; toutefois, nous avons considéré un comme un nombre : le mot un, en effet, s'offre comme une réponse naturelle dans des questions de ce genre : Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe? Il y en a un. Combien y a-t-il de sous dans ce porte-monnaie? Il y en a un. Si la classe était vide, ou le porte-monnaie, il faudrait répondre zéro ; zéro est aussi regard<^ .nme un nombre ; il signifie Tabsence d'objets dans la collection, qui à vrai dire n'existe pas. Au lieu de dire qu'un nombre est zéro, on dit aussi que ce nombre est nul. Si l'on veut faire figurer zéro dans la suite naturelle des nombres, ce qui est souvent utile, on le place en tête, avant un, et l'on écrit :

zéro, un, deux, trois, quatre

8. Au lieu des mots zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, on emploie avec la même signification les chiffres :

Nous verrons un peu plus tard comment au moyen de ces chiffres on peut figurer tous les nombres. Il est clair que pour figurer les premiers nombres, on aurait pu employer tels autres signes que l'on aurait voulu, pourvu que ces signes fussent différents les uns des autres : on aurait pu, par exemple, se servir des lettres de l'alphabet, a, ô, c, rf, e,... dans Tordre habituel, ou dans un ordre quelconque.

Chacun a entendu parler des procédés dits cryptographiques, qui consistent à remplacer dans l'écriture, d'après une convention faite à l'avance, certaines lettres par des chiffres; on peut aussi bien faire de l'arithmétique en remplaçant certains chiffres, ou certains nombres, par des lettres. On peut d'ailleurs changer de convention toutes les fois qu'on veut, pourvu qu'on en prévienne.

Nous nous servirons souvent de lettres pour désigner des nombres; ainsi au lieu de dire un certain nombre, nous dirons le nombre a, ou plus brièvement a, et lorsque, au même endroit, il sera, à, plusieurs reprises, question du nombre a, ce sera toujours du même nombre qu'on voudra parler. De même, au lieu de dire deux certains nombres, le premier et le second, nous dirons les nombres a et 6, ou plus brièvement a et ô.

Avec un peu d'habitude, on verra combien l'emploi de pareils symboles simplifie le langage et éclaire le raisonnement.

9. Outre les chiffres et les lettres pour représenter des nombres, nous emploierons des signes abréviatifspour exprimer des relations

entre ces nombres et des opérations à effectuer sur ces nombres; ces signes seront définis au fur et à, mesure; dés à présent, nous pouvons définir le signe = qui, placé entre deux nombres, exprime que les deux nombres sont les mêmes, qu'ils sont égaux; ce signe s'énonce égale. Ainsi, au lieu de dire que la lettre a représente le même nombre que cinq, je puis écrire

ce qui s'énonce : a égale cinq. Les deux nombres, réunis par le signe =, forment ce qu'on appelle une égalité \ les deux nombres sont les membres de Tégalité, le nombre écrit à gauche est le premier membre, le nombre écrit à droite est le second membre. Au lieu de dire « deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux », on peut dire : si Ton a

on aura

Les chiffres et les lettres qui représentent les nombres, les signes qui représentent des relations ou des opérations, constituent en quelque sorte le langage propre de VAjithmélique, qui est la science des nombres, de leurs propriétés et de leurs relations.

§ 2. — Définition des opérations fondamentales.

10. Addition. — Considérons deux collections d'objets : l'une contient, par exemple, six objets, l'autre trois. Réunissons-les pour n'en faire qu'une seule : le nombre d'objets contenus dans la collection totale est la somme des nombres six et trois; trouver cette somme ^ c'est ajoutei^ ou additionner les nombres six et trois; l'opération qui consiste à trouver cette somme est une addition : ici la somme est égale à neuf. Si, au lieu d'employer les mots six, trois, neuf, on se servait, pour désigner les nombres, du mot un répété (n® 2), l'opération serait bien aisée : on dirait : la première collection contient un et un et un et un et un et un objets ; la seconde collection contient un et un et un objets; la collection totale contient un et un et un et un et un et un et un et un et un objets. On entend la même chose exactement en disant que six objets et trois objets font neuf objets. Au lieu d'employer la conjonction e< pour indiquer la réunion des objets,

on emploie le mot plus pour indiquer Taddition des nombres, et ce mot se remplace lui-même par le signe +. Ainsi les égalités

se comprennent d'elles-mêmes d'après ce qu'on vient de dire.

Remarquons que l'idée d'addition est déjà impliquée dans celle de nombre (*), puisque les nombres de la suite naturelle un, deux, trois, quatre,..., se forment chacun en ajoutant un au nombre précédent; ainsi l'on a

li. Pour réunir une collection de six objets et une collection de trois objets, on peut évidemment joindre aux six objets de la première collection les trois objets de la seconde un à un, ce qui revient à compter ainsi : six et un font sept, sept et un font huit, huit et un font neuf; c'est ainsi que l'on opère quand on compte sur les doigts. Cela revient encore à s'avancer de trois rangs, dans la suite naturelle à partir de six; c'est là ce qu'on appelle ajouter trois à six, ce que l'on désigne plus particulièrement par le symbole 6 + 3. Au contraire, pour ajouter six à trois, pour former le nombre 3 + 6, il faudrait ajouter successivement à trois six unités, s'avancer de six rangs dans la suite naturelle des nombres, à partir de trois ; mais ces distinctions n'ont pas ici grande importance, le résultat, en effet, ne dépend pas de l'ordre dans lequel on fait les opérations; en d'autres termes, on a

6 + 3 = 3 + 6, et, quels que soient les nombres a et ^,

a + 6 = 6 + fl.

Cette proposition ne diffère pas, au fond, de celle qui a été énoncée au n* 3 : On trouve toujours le même nombre en comptant les objets d'une collection, dans un ordre ou dans un autre.

12. Nous avons supposé jusqu'à présent qu'on ne considérait que deux collections, qu'on n'ajoutait que deux nombres ; mais il est clair

I. Ceci ne serait pas exact si Ton voulait se tenir exclusivement au point de vue indiqué dans le u* 4; au reste on reviendra sur ce sujet dans le chapitre suivant {Note du n* 48).

que la notion d'addition s'étend d'elle-même à autant de noml^res que Ton veut. Considérons, par exemple, quatre collections d'objets ; on peut les réunir pour n'en faire qu'une seule; le nombre des objets contenus dans la collection totale sera ldi.somme des nombres d'objets contenus dans chacune des collections primitives; trouver cette somme, c'est ajouter ou additionner ces nombres; pour effectuer cette somme, on peut se borner toujours k ajouter seulement deux nombres à la fois, ce qui revient à réunir d'abord la seconde collection à la première, à réunir ensuite au tout la troisième collection, puis encore la quatrième collection; c'est cette manière d'opérer qu'on entend d'une façon précise, quand on écrit, par exemple :

en supposant que la première collection contienne deux objets, la seconde quatre, la troisième trois, la quatrième cinq : on entend qu'on ajoute 4 à 2, puis 3 au résultat, puis enfm 5 au résultat. Mais ici encore, cette distinction précise importe peu; on peut aussi bien entendre qu'on ajoute les nombres 2, 4, 3, 5 à la fois, comme il a été expliqué d'abord, et cette remarque montre bien, en admettant toujours le postulatum du n^ 3, qu'on arrive au même résultat, quel que soit l'ordre dans lequel on ajoute les nombres; par exemple, on a

On serait encore arrivé au même résultat en réunissant, par exemple, la première et la troisième collection, en faisant la somme 2 + 3, puis en réunissant la seconde et la quatrième collection, en faisant la somme 4 + 5, et en réunissant ensemble les deux collections auxquelles on est ainsi parvenu, ce qui revient à ajouter les nombres 2 + 3 et 4 + 5 ; c'est ce que l'on exprime en écrivant

les parenthèses qui figurent dans le second membre veulent dire que ce qu'elles enferment est un seul nombre, ou, comme l'on dit, que les opérations qui sont indiquées à l'intérieur des parenthèses doivent être regardées comme effectuées. Les parenthèses seront toujours employés avec cette signification.

En particulier, il est clair qu'on obtient le même résultat en ajoutant successivement à un nombre a deux nombres à et c ou en

ajoutant au nombre a la somme b-^-c des deux nombres b et c, ce que l*on exprime par Inégalité

aJi^b + c = a+{b + c).

13. Par définition, on ne change pas un nombre en lui ajoutant 0, ou en ajoutant ce nombre àO; en d'autres termes, on a

quel que soit le nombre a : il est clair que 0 est le seul nombre qui, ajouté à un autre nombre, ne le modifie pas. En particulier on a

et il n'y a que deux nombres nuls dont la somme puisse être nulle.

14. Nous pouvons maintenant énoncer les définitions et théorèmes que voici :

La somme de deux ou plusieurs nombres s'obtient en donnant à ces nombres une signification concrète : ils se rapportent alors à des collections d'objets distincts. Si l'on réunit ces collections en une seule, le nombre des objets contenus dans celte collection est la somme cherchée; obtenir cette somme, c'est ajouter ou additionner les nombres donnés; si zéro figure parmi les nombres à ajouter, on n'en tiendra pas compte. La somme est indépendante de l'ordre de ses parties (des nombres à ajouter). Pour obtenir la somme, on peut remplacer tels nombres que l'on voudra par leur somme effectuée.

15. Tout nombre obtenu en ajoutant à un nombre un nombre autre que zéro est dit plus grand que lui (ou supérieur à lui); réciproquement ce dernier est dit plus petit (ou inférieur); ainsi 3 + 2 ou 5 est plus grand que 3, 3 est plus petit que 5 ; les mots plus grande plus petit se remplacent par les signes >, <, l'ouverture de l'angle étant toujours tournée vers le plus grand nombre; ainsi l'on écrit

ces deux inégalités ont la même signification.

Les nombres de la suite naturelle vont en grandissant. D'après la définition précédente on a

D'après celle même défînilion, les nombres plus grands que 5, par exemple, sonl les nombres

c'esl-à-dire les nombres qui suivenl 5 dans la suile nalurelle.

Si Ton a Irois nombres, que le second soil plus grand que le premier, le Iroisième plus grand que le second, il esl clair que le Iroisième sera plus grand que le premier : en effel le second s*oblienlen ajoulanl quelques unilés au premier el il faul ajouler encore quelques unilés pour avoir le troisième.

Ainsi, si Ton a

on aura aussi

on écrit souvent, avec la même signification,

a<ib<Cc.

16. Si deux sommes sont composées, Tune et Taulre, d'un même nombre de parties, et si les parties de lune sont égales aux parties correspondantes de Tautre, il est clair que les deux sommes sont égales.

Si les parties de la première somme sont plus grandes que les parties correspondantes de Vautre^ la première somme sera plus grande que la seconde .

Par exemple, 9 = 7 + 2, 8 = 5 + 3, 6 = 4 + 2 sont des nombres respectivement plus grands que 7, 5, 4 : on en peut conclure que 9 + 8 + 6 est plus grand que 7 + 5 + 4: en effet, on a

la somme 9 + 8 + 6 s'obtient donc en ajoutant quelque chose à 7 + 5 + 4 ; elle est plus grande que 7 + 5 + 4.

Quelques parties du premier nombre pourraient être égales aux parties correspondantes du second nombre ; si les autres parties du premier nomore étaient plus grandes que les parties correspondantes du second nombre, on pourrait toujours affirmer que le premier nombre est plus grand que le second.

Il résulte en particulier de là qu'on trouve des sommes différentes

en ajoutant à un même nombre deux nombres différents : la plus grande somme cot*respond au plus grand nombre ajouté,

17. Multiplication, — La multiplication est un cas particulier de Taddition : lorsque tous les nombres à ajouter sont égaux, Tun quelconque de ces nombres prend le nom de multiplicande^ le nombre de nombres égaux à ajouter prend le nom de multiplicateur, raddition prend le nom de multiplication^ le résultat ou la somme prend le nom de produit. Le multiplicande et le multiplicateur sonl les facteurs du produit.

Ainsi multiplier 4 par 3 c'est faire la somme de 3 nombres égaux à 4, c*est effectuer Taddition

4 est le multiplicande, 3 est le multiplicateur ; on emploie dans le même sens les expressions : répéter quatre, trois fois; trouver un nombre trois fois plus grand que quatre (*) ; faire le produit de trois par quatre, et Ton désigne le résultat en disant trois fois quatre. On emploie encore les expressions : le double, le triple, le quadruple, le quintuple, le sextuple, ... d'un nombre, pour dire le résultat obtenu en multipliant ce nombre par 2, 3, 4, 5, 6, ...

Multiplier zéro par trois, c'est faire la somme 0 + 0+0, qui est elle-même 0. Le produit de zéro par un nombre quelconque est zéro.

18. Dans la définition qui précède, le multiplicande peut être un nombre quelconque, mais le multiplicateur ne peut être ni un, ni zéro ; on convient cependant de parler de multiplications où le multiplicateur est un, ou zéro : \e produit ou résultat de la multiplication doit être alors défini comme il suit : Si le multiplicateur est un, le produit est toujours égal au multiplicande; si le multiplicateur est zéro, le produit est toujours 0.

Remarquons en passant que le produit de un par un nombre quelconque est toujours égal à ce nombre : ainsi le produit de un par cinq est, en vertu de la défmition générale, la somme 1 + i + l+i+lou cinq ; le produit de un p ar unest un ; le produit de un par zéro est zéro.

Le produit de zéro par un ou par zéro est zéro ; le produit de zéro par un nombre quelconque est toujours zéro, ainsi qu'on Ta expliqué plus haut.

1. On doit rejeter alon l'expression, employée dans le lan^çage vulgaire : un nombre «'i^ fois plus grand qu'un autre; elle signifie, daps notre langage, un nombre deux fois plus grand qu'un autre.

19. Quand le multiplicateur est plus grand que un et que le multiplicande n'est pas nul, le produit est plus grand que le multiplicande, puisqu'il est la somme de plusieurs nombres égaux au multiplicande.

Il résulte encore de la remarque du n* 16 que si Ton multiplie deux nombres différents par un même nombre, autre que zéro, ces produits sont différents : le plus grand produit correspond au plus grand multiplicande, puisque ce produit peut être regardé comme la somme de parties plus grandes que celles dont se compose l'autre produit.

20. On a déjà fait observer plusieurs fois que Ton peut compter aussi bien des objets composés que des objets simples.

Si Ton a, par exemple, des sacs contenant chacun 9 billes et si Ton a 7 pareils sacs, ils contiennent ensemble un nombre de billes égal à 9 multiplié par 7. Il résulte de cette observation que pour multiplier un nombre par une somme^ on peut le multiplier successivement par les parties de cette somme et ajouter les résultats :

Par exemple le produit de 9 par la somme 7 = 5 + 2 est égal à la somme des produits de 9 par 8 et par 2. En effet avoir 7 sacs de 9 billes chacun, ou en avoir 5 et 2, c'est la même chose : or 7 sacs de 9 billes en contiennent ensemble un nombre égal au produit de 9 par 7 ; 5 sacs de 9 billes en contiennent un nombre égal au produit de 9 par 5 ; 2 sacs de 9 billes en contiennent un nombre égal au produit de 9 par 2 : donc le produit de 9 par 7 est égal à la somme des produits obtenus en multipliant 9 par 5 et par 2.

21. On emploie le signe X comme signe de la multiplication : on place d'abord le multiplicande, puis le signe X, que Ton énonce multiplié par, puis le multiplicateur ; ainsi :

Remarquons en passant que lorsqu'on dit au contraire trois fois quatre, on énonce d'abord le multiplicateur, puis le multiplicande ; on verra plus tard que ce défaut de correspondance entre le langage écrit et le langage parlé ne crée aucune difOculté.

22. On peut multiplier entre eux plus de deux nombres ; mais, provisoirement, nous devons essentiellement supposer que les opérations s'effectuent dans un ordre déterminé. Ainsi le symbole

veut dire qu'on doit multiplier 4 par 3, puis le résultat par 5 ; si on

attribue aux parenthèses le sens que nous avons déjà expliqué, c^est la même chose que

(4X3)X5, ou que

4, 3, S sont les facteurs : le résultat de ces opérations continue à porter le nom de produit. De même 4x3x5x2 veut dire qu'on effectue, comme il a été expliqué, le produit 4x3x5 et qu'on le multiplie ensuite par 2.

La proposition du n° 20, appliquée à l'exemple choisi pour la démontrer, peut s'écrire

11 importe d'appeler l'attention sur une habitude qui, sans autre explication, pourrait donner lieu à des confusions. Dans le second membre de l'égalité précédente, on a mis les deux produits 9 X 5,. 9x2 entre parenthèses, conformément aux conventions du n^ 12. Ces parenthèses, d'ordinaire, on les sous-enteud. En général, quand on a à indiquer des sommes de produits^ on regarde ces produits comme effectués; ainsi on écrit

9x5 + 9x2, 7x8 + 3x4 avec la même signification que

L'expression 7x8 + 3x4, par exemple, représente la somme des deux produits obtenus l'uix en multipliant 7 par 8, l'autre en multipliant 3 par 4, et non, comme on pourrait le croire si l'on n'était pas prévenu, le nombre obtenu en multipliant 7 par 8, en ajoutant 3 au résultat et en multipliant le tout par 4. Le nombre qui résulterait de cette suite d'opérations s'écrirait

23. Lorsque tous les facteurs d'un produit, en nombre quelconque, sont égaux, le produit s'appelle puissance ; c'est la puissance deux (ou deuxième), la puissance trois (ou troisième), quatre (ou quatrième),... du nombre qui figure comme facteur, suivant qu'il y a deux, trois, quatre,... facteurs égaux à ce nombre ; le nombre des facteurs égaux est appelé aussi l'exposant de la puissance. On

indique une puissance d'un nombre en écrivant ce nombre et en plaçant à sa droite et en haut, en plus petits caractères, l'exposant de la puissance.

Ainsi la quatrième puissance de trois (ou trois puissance quatre) s'écrit

Au lieu de seconde et de troisième puissance, on emploie, avec la même signification, les mots carré et cube ; ainsi le carré de trois (ou trois au carré) n'est autre chose que

le cube de quatre, c'est

Par définition, la puissance un d'un nombre n'est autre chose que ce nombre ; l'exposant un se sous-entend d'ordinaire.

24. Soustraction. — Considérons deux collections d'objets; pour savoir si ces deux collections contiennent le même nombre d'objets, on cherchera (n® 5) à faire correspondre les objets de la première aux objets de la seconde : pour cela on prendra dans chaque collection un objet et on les afTectera d'une même marque ; par exemple, on écrira sur chacun d'eux le nombre un. Puis on prendra dans chaque collection un objet non marqué, et on les affectera d'une même marque; on écrira par exemple le nombre deux sur chacun. Puis on prendra dans chaque collection un objet non marqué, et on les affectera d'une même marque ; on écrira par exemple le nombre trois sur chacun d'eux, etc.. On continuera ainsi jusqu'à ce que tous les objets d'une collection soient marqués : si tous les objets de l'autre collection sont aussi marqués, les deux collections comprennent le même nombre d'objets, et, si Ton a adopté le système de marques que nous venons d'expliquer, le dernier nombre employé comme marque est le nombre d'objets qui figurent dans l'une et l'autre collection. Si tous les objets de la première collection sont marqués et que tous ceux de la seconde ne le soient pas, celle-ci contient le plus grand nombre d'objets : les objets de cette seconde collection se trouvent par là même séparés en deux groupes ; le premier groupe contenant les objets marqués, en nombre égal au nombre d'objets de la première collection, le second groupe contenant les objets non marqués : le nombre d'objets contenus dans ce second groupe est la différence entre le nombre d'objets contenus

dans la première collection et le nombre d'objets contenus dans la seconde. Si, dans la seconde collection, on supprime les objets du premier groupe, les objets marqués, il reste le second groupe : de là vient remploi du mot reste pour désigner la différence, et l'emploi des mots retiwicher^ ôter^ pour désigner l'opération que Ton vient de décrire.