Lorsqu'un nombre est donné sous forme de fraction t, et

qu'on veut le remplacer par une valeur approchée, avec «

décimales, on a à choisir entre la valeur approchée à — ;; près

par défaut et la valeur approchée à — ;; près, par excès. Désignons ces valeurs approchées par A et A -| ;; ; supposons qu'on ait calculé

1. La définition qui prëcôde ost prêche; dans la pratique, on considère souvent comme exact le dernier chiffre à droite pourvu qu'il coïncide avec le chiffre de. la valeur approchée par défaut ou par excès à une unité près de Tordre de ce dernier chiffre. Il n'y a pas de raison, en général, pour préférer la valeur approchée on moins à la valeur approchée en plus; toatefois dans ce qui suit, c'est à la définition précise qu'il convient de se reporter. — Observons,

en passant, que l'égalité '-—- = 3,1415929... est incorrecte; il faut entendre que, si l'on rédait

la fraction qui figure au premier membre en fraction décimale, les première chiffres sont 3,1415929...

DÉFJNITIONS DIVERSES. 881

la valeur approchée de - à — j^ près, par défaut, et désignons par a le dernier chiffre de celle valeur, on aura

par conséquent l'erreur commise en prenant A pour valeur approchée est supérieure ou égale à r^i > Tégalité ne pouvant avoir lieu

que si la fraction - est exactement égale à un nombre décimal de n -|- i

chiffres décimaux, ou, comme Ton dit, si en poussant la réduction

plus loin, tous les chiffres après le (n + 1)'*'"® sont des zéros ; c'est

ce que j'appellerai le cas exceptionnel.

1 10 Supposons maintenant qu'on prenne A -| = A H ^^ pour

valeur approchée de t ; comme on a

on voit que Terreur est plus grande que la différence entre les deuxder*

niers nombres qui figurent dans ces inégalités, et au plus égale à la

différence entre le dernier et le premier; Terreur est donc supérieure à

1^X1 — y cH^ est au plus égale à — j^^r , Tégalité ne pouvant

avoir lieu que dans le cas exceptionnel signalé plus haut.

Si a est un chiffre inférieur à 5, en prenant la valeur approchée par

5 1 défaut, on commet une erreur inférieure à — -r, = , en prenant

au contraire la valeur approchée par excès, on commettrait une erreur supérieure à tt = » c'est la valeur approchée par

défaut qui esl la plus avantageuse : si a est 5 ou un chiffre plus fort,

en prenant la valeur approchée par défaut, on commettrait une

5 1 erreur au moins égaie à — tt = » Tégalité ne pouvant avoir

Heu que si Ton a a = 5 et si Ton est dans le cas d'exception ; en prenant la valeur approchée par excès, on commet une erreur au

i82 LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

plus égale à Tr==^ 1 Tégalité ne pourrait avoir lieu que

dans les mêmes conditions doublement exceptionnelles : ce sera

donc la valeur approchée par excès qui sera la plus approchée.

a En résumé, on peut toujours remplacer une fraction - par une

fraction décimale, ayant n chiffres décimaux, avec une erreur (en

moins ou en plus) inférieure ou égale à r — rz^ î pour cela on réduit

Y en fraction décimale avec n -|-- 1 chiffres décimaux au moins ; si le

(n+1 )**"** chiffre est inférieur à 5, on ne garde que les n premiers; si le (n + 1 )'*"** chiffre est 5 ou un chiffre plus fort, on augmente d'une unité le n'^'™* chiffre décimal, ou, comme Ton dit, on foret le n**®* chiffre. Cette modification ne porte en général que sur le n'*"** chiffre; si, toutefois, il était un 9 , elle se répercuterait sur le chiffre précédent, etc. L'erreur, en opérant ainsi, ne peut atteindre la limite

que dans le cas où le (n + ^ )'*"** chiffre est un 5 et tous les

chiffres suivants des zéros.

En outre, les raisonnements précédents fournissent des limites inférieure et supérieure de Terreur commise ainsi ; expressions qui dépendent du (n+ 1)'*""* chiffre.

Il est à peine utile de dire que les résultats qui précèdent subsis-

tent quand la fraction -r est elle-même un nombre décimal, avec plus

de n décimales; ils sont, dans ce cas, presque intuitifs et cela permet de les retenir aisément dans le cas général, en substituant

par la pensée à la fraction 7 une fraction décimale avec un nombre

indéfini de chiffres.

Exemple : Soit

si Ton prend comme valeur approchée 3,14 Terreur sera moindre

^^® ÎOÔÔ ®^' ^ f^'^^^^'^^ ^^ ÎÔÔÔ ^^ 2ÔÔ' ^^ ^^^ V'^^riA comme

valeur approchée 3,141 Terreur sera supérieure ^ ^^ et moindre