DÉFINITIONS DIVERSES

que ; si l'on prend comme valeur approchée 3,142 l'erreur

sera momdre que ^^jj^ = ^^ et plus grande que .^^^ = j^^;

si l'on prend 3,1416 pour valeur approchée, l'erreur sera moindre

261. Le nombre dont on part, pour lui substituer ainsi une valeur approchée, peut lui-même être entaché d'une erreur ; dans l'évaluation de l'erreur finale, il faut naturellement tenir compte des deux erreurs commises. Dans tous les cas, on aura une limite supérieure de cette erreur finale en ajoutant les limites des deux erreurs. Si Ton sait que l'une des erreurs est en plus, et que l'autre est en moins, il est clair que l'on pourra prendre pour limite supérieure de Terreur finale la plus grande des deux limites.

Si, par exemple on sait que r^ est une valeur approchée d'un

nombre avec une erreur moindre que — , on peut être assuré que

3,14159 est une valeur approchée de ce nombre avec une erreur

moindre que — + — ou — , moindre a fortiori que ^^^q, ; si Ton

savait que jj: est une valeur approchée, par excès, d'un nombre,

avec une erreur moindre que — , l'erreur commise en remplaçant

T^par 3,141592 étant une erreur en moins, inférieure aussi à —,

on pourrait affirmer que 3,141592 est une valeur approchée du

nombre considéré, avec une erreur moindre que 777..

262. Ëtant donné un nombre décimal a qui est une valeur approchée d'un nombre inconnu A, et connaissant une limite supérieure s de Terreur dont est entaché a, on peut se demander combien il y a dans a de chiffres dont on puisse garantir l'exactitude (n® 259).

Le nombre A est compris entre a — c eta-f-s; si Ton réduit ces deux nombres en fractions décimales, les chiffres communs aux deux

1. ObseryoDS que la mémo règlo s'appliqao à la détermination du nombre entier qui •pproche d'un nombre décimal donné à moins de 3 près (n* 351).

234 LIEÇONS D^ÀRITHMÈTIQUE.

résultats, à gauche, sont évidemment exacts. Le calcul des quantités a — e, a-f-c se fait de tête, quand e est, comme d'habitude, une fraction décimale simple, par exemple une expression de la forme — -^^

a étant un nombre entier d'un seul chiffre. — Si Ton sait dans quel sens a est approché, il sera évidemment avantageux d'employer les limites a et a + •» ou ^ — e et a.

Supposons, par exemple, que l'erreur soit inférieure à — p^; si la

yjième décimale de a n'est ni un 0, ni un 9, les nombres a — • eta -|- c auront en commun n — 1 décimales, qui seront sûrement exactes : quant à la n*^® décimale du nombre A (réduit en fraction décimale ;, on a le choix entre trois valeurs, le dernier chiffre décimal de a^ ou bien ce dernier chiffre augmenté ou diminué de un.

L'erreur étant toujours supposée moindre que — -^ , on est assuré

de l'exactitude des n — 1 premiers chiffres pourvu que le n**"'" chiffre

ne soit pas un 9, si l'on sait que l'erreur est en moins ; pourvu que le

^lèmc chiffre ne soit pas un 0, si l'on sait que l'erreur est en plus.

Enfin, rappelons que si le nombre décimal a comporte seulement

n décimales, et si Terreur est moindre que — , le nombre a sera

sûrement Tune des valeurs approchées de A, à — ;; près, par excès,

ou par défaut. Si l'on connaît le sens de Terreur, on sera donc fixé sur les n premiers chiffres décimaux de A.

263. Lorsque Ton sait seulement d'un nombre qu'il est approché

avec une erreur moindre que — -^ il est clair qu'il n'y a pas d'intérêt à conserver beaucoup de décimales après la n'*"**, la suppression de ces décimales ne modifiant pas notablement la limite de Terreur commise; il peut y avoir intérêt à en conserver une ou deux.

264. L'erreur, telle qu'elle a été définie est Terreur absolue. L'erreur relative est le rapport de Terreur absolue au nombre vrai. Ainsi, si a' est une valeur approchée du nombre a, Terreur absolue

sera a — a , ou a — a. 1 erreur relative sera , ou ; 1 épi-

thète « absolue » se sous-entend souvent; Tépilhète « relative » ne

se sous-entend jamais.