DÉFINITIONS DIVERSES
Il est clair que, dans une mesure, c'est la petitesse de Terreur relative qui importe. Si Terreur relative est petite, la mesure est bonne. Dans des mesures kilométriques, une erreur de quelques décimètres est insignifiante ; dans Tévaluation d'une hauteur barométrique, une erreur d'un millimètre serait considérable.
Quand on a une limite supérieure de Terreur absolue, on obtient une linnite supérieurede Terreur relative en la divisant par un nombre qui soit certainement inférieur ou égal au nombre véritable. Par exemple, si a' est une valeur approchée de a, avec une erreur moindre que c, on pourra prendre pour limite supérieure de
Terreur relative -; ; d'ordinaire, on remplace o! — «par le nombre
que Ton déduit de d en remplaçant tous les chiffres autres que le
premier par des zéros ; souvent même on remplace le premier chiffre
par l'unité (*). Ainsi en supposant d = 72,543 et Terreur absolue
moindre que on pourra prendre pour limites de Terreur relative
et Terreur absolue moindre que — , on pourra prendre pour
limite de Terreur relative le nombre rrrz ^ ^,,^ = -z -rrr-
Quand on se donne une valeur approchée a' d'un nombre a et une limite supérieure a de Terreur relative, on peut obtenir une limite supérieure de Terreur absolue en multipliant a par un nombre au moins égal à a.
Dans la pratique, lorsque a' est un nombre écrit dans le système décimal, on obtiendra facilement une telle limite en multipliant la limite a de Terreur relative par le nombre qui se déduit de a' en augmentant le premier chiffre de a! d'une unité et remplaçant les autres chiffres par des zéros; on peut même, si Ton veut, remplacer le premier chiffre par 10.
Supposons par exemple a' = 72,645 et Terreur relative inférieure
à —, 1 erreur absolue sera plus petite que — et a fortiori que —
ou — et Ton voit, puisque Terreur absolue est moindre que — et
I. Au cas où a' serait précisëment égal k une unité d'un certain ordre, par exemple & 1000 ou à 0,1, on pourrait remplacer a' — s par 900, ou par 0,09 ; une observation analogue troiiTcrait plusieurs fois sa place dans la suite ; je no m*y arrêterai pas.
que le troisième chiffre décimal 5 de a' n'est ni un 0 ni un 9, que les deux premiers chiffres décimaux sont certainement exacts. Soit de même a' = 0,0018937 ; supposons Terreur relative
inférieure à^;^ 777; et le nombre d approché par défaut; Terreur
absolue sera plus petite que ' ^ ïrvJ' ^' étant approché par
défaut et Terreur relative étant moindre que —, les sept décimales
de a' sont sûrement exactes.
§ 2. — Opérations. — Calculs approchés.
265. Après ces déOnitions et explications préliminaires, je vais passer en revue les diverses opérations et traiter des problèmes qui se posent quand on fait les calculs avec des valeurs approchées.
Addition, — Soient A, B, C, D des nombres (inconnus) dont on connaît des valeurs approchées a, 6, c, d et désignons par a, p, y, S les limites supérieures des erreurs que comportent respectivement ces valeurs approchées. Les nombres A, B, C, D étant respectivement plus grands que les nombres a — a, b — p, c — y, d — 8 et plus petits que les nombres a + a, 6 + P» <^ + ï» ^ + '^i ^^^ somme A + B + C + t^ sera comprise entre les nombres
et
{a + a) + [b + P) + {c + y) + {d + 8) = fl + 6 + <: + (/ + (a + p + Y + 8),
qui diffèrent tous les deux dea+A + c+rf d'une quantité égale àa+ p-f-y + 5.
Ainsi, en prenant pour valeur approchée de la somme des nombres A, B, C, D la somme de leurs valeurs approchées a, &, c, (/, on commettra une erreur moindre que la somme des limites des erreurs.
Supposons qu*on sache le sens des erreurs dont sont entachés les nombres a, b,c,d : on sait, par exemple, que les deux premiers sont approchés par défaut, les deux seconds par excès.
On peut dire alors que A, B, G, D sont inférieurs respectivement à a + «»6 + P» ^ï^ct supérieurs respectivement ha^b^c — y,d — 8,
leur somme sera donc comprise entre a + b-\- c -\- d — (t + ^) ^^ û | ô -j, c + rf -f- (a + P) ; par suite a + * + ^ + ^ s^ra une valeur approchée de cette somme, avec une erreur moindre que la plus grande des deux sommes obtenues en faisant d'une part la somme des erreurs en moins, d*autre part la somme des erreurs en plus.
266. Soitstraction. — Si a, b sont des valeurs approchées des nombres A, B avec des erreurs moindres que a, p, le nombre a — b sera une valeur approchée de A — B avec une erreur moindre que a + p. Si a et b sont approchés dans le môme sens, tous deux par défaut, ou tous deux par excès, Terreur commise en prenant a — b pour valeur approchée de A — B est moindre que la plus grande des quantités a, p.
Je laisse au lecteur le soin de faire la démonstration.
267. Multiplication. — Soient a, b des valeurs approchées des nombres A, B avec des erreurs moindres que a, p : le produit AB sera compris entre les nombres
{a — a) (6 — p) = flô — ap — 6a + ap
et
(a + a) (6 + p) = ai + ap + 6a + ap,
qui diffèrent de ab d'uue quantité égale ou inférieure au nombre
op + 6a + ap = ap + (6 + p) a = Aa + (a + a) p, qui peut donc être regardé comme une limite supérieure de Terreur que Ton commet en prenant ab pour valeur approchée de AB.
On calculera grossièrement cette limite en remplaçant respectivement a et 6 + P par des nombres plus grands qui permettent des calculs rapides, par exemple, par les nombres qui se déduisent de a et 6 en forçant le premier chiffre de gauche et remplaçant tous les autres par des zéros. — On n'oubliera pas que chaque facteur multiplie la limite de Terreur que comporte Tautre.
Il n'y a rien à changer à cette règle lorsqu'on sait le sens des erreurs que comportent a et 6 si ces deux nombres sont approchés dans le même sens ; mais on peut Taméliorer si Ton sait que a et 6 sont approchés dans des sens contraires.
Supposons, par exemple, a approché par défaut, 6 par excès; A et B sont respectivement supérieurs à a, 6 — p et inférieurs à a + a,6 : leur produit est donc compris entre ab — ap, a6 + àa; dans ce cas on pourra donc prendre pour limite de Terreur commise en substituant a6 à AB le plus grand des nombres ap, 6a.
268. Quand on fait le calcul avec des nombres décimaux, comme la
multiplication revient toujours, au fond, à une multiplication de nombres entiers, il est commode de profiter des remarques qui ont été faites au n* 98 et d*où résulte immédiatement la proposition suivante.
Si les nombres A, B sont connus Tun et l'autre avec un certain nombre de chiflfres (n* 259) au moins égal à ;>, &i les nombres décimaux a, b sont les valeurs approchées de A, B formées avec ces chiffres, si Ton effectue le produit ab et que, tout en laissant la virgule à sa place, on remplace les/? derniers chiffres du produit par des zéros, les chiffres restants seront exacts, sauf peut-être le dernier et la répercussion possible sur les chiffres précédents : quant à ce dernier chiffre il peut se faire qu'il doive être augmenté de une ou deux unités.
Cette remarque même montre que, en appliquant le procédé ordinaire de multiplication, on calcule beaucoup de chiffres inutiles : on évitera cet inconvénient en employant la multiplication dite abrégée.
269. Division, — Soient a, b des valeurs approchées de A, B avec des
erreurs moindres que a, P; la fraction — sera comprise, comme -r-,
a — aa-l-a a k
entre les fractions . , . et 7 = : la différence entre 7 et — sera
C'-j~P^ P ÔD
donc inférieure (n** 67) à la plus grande des différences
on a d ailleurs
a a — a a (^ + P) — b{a — a) ap + ^«
b~r+^- 6(6 +P) -bW+fï
a + a a __ (a + «) 6 — a {b — P) a^ + bot
Â^Tp^é— ^(6— P) - ^ (^ p) '
ces deux différences sont inférieures à
aP4-^<3c
(nrp)-.'
On pourra donc prendre cette expression pour limite supérieure
de Terreur commise quand on substitue la fraction r-à la fraction -;
