LONGUEURS

mètres, 10002008; d'après M. Clarke, elle serait 10001877. La dixmillionième partie du quart du méridien terrestre serait donc un peu plus grande que le mètre légal, d'environ deux dix-millièmes de mètre.

Les multiples ou sous-multiples du mètre qui peuvent servir d'unités secondaires ont été définis au n^ 330.

334. Les mesures effectives, c'est-à-dire les instruments en bois ou en métal qui servent effectivement à mesurer, sont fixées par la loi ; celles qu^emploient les commerçants doivent porter la marque de la vérification des poids et mesures.

Voici les noms de ces mesures effectives; ces noms s'expliquent d'eux-mêmes; on a placé d'ailleurs, en face de chacun des noms, le nombre qui mesurerait la grandeur correspondante, en prenant le mètre pour unité :

Décimètre 0,1

Double décimètre. ... 0,2

Demi-mètre 0,5

Mètre 1

Double mètre 2

Demi-décamètre 5

Décamètre 10

Double décamètre. . . . 20

Les cinq premières mesures effectives sont habituellement des règles rigides en bois ou en métal, portant des subdivisions ea centimètres et quelquefois en millimètres. On se sert aussi de mètres articulés. Le décamètre effectif, qui sert à mesurer les distances sur le terrain, est une chaîne, dite chaîne d'arpenteur, composée de 50 chaînons, dont chacu/i vaut 2 décimètres. Ces chaînons sont réunis par des anneaux de fer; de cinq en cinq, pour marquer le mètre, l'anneau de fer est remplacé par un anneau de cuivre. Le milieu de la chaîne est marqué par une petite tige de cuivre.

On donne à la chaîne quelques millimètres de plus qu'elle ne devrait avoir, pour compenser le défaut de tension.

Les kilomètres sont marqués par des bornes, sur la plupart des routes; de même aussi, très souvent, les hectomètres, de deux en deux.

335. Il nous reste à dire quelques mots sur la façon d'écrire ou d'énoncer les nombres décimaux qui représentent une longueur.

C'est une habitude assez usuelle, en France, que de rappeler Vunité en plaçant à droite et en haut du chiffre qui représente les unités rinitiale du nom de cette unité, ou un signe conventionnel qui la rappelle : on emploie les signes m, d, c, mm, pour indiquer que Tunité est le mètre, le décimètre, le centimètre, le millimètre; on écrira, par exemple, 18",25 au lieu de 18,25 si Tunité est le mètre.

D'ordinaire, à Tétranger, le signe qui rappelle la nature de Tunité est placé avant le nombre écrit. Cette coutume est préférable.

Signalons enfin Tintroduction récente des mots mégamètre et micromètre ou mic7*on, pour désigner un million de mètres d'une part, et la millionième partie du mètre d'autre part. Le micron est particulièrement employé pour les recherches qui se font au microscope : on le désigne par la lettre fi.

Pour écrire le résultat d'une mesure exprimée au moyen des unités secondaires et principales, en myriamètres, kilomètres, ..., mètres, décimètres, ..., il suffira d'écrire les uns à la suite des autres les chiffres qui expriment combien de fois chacune des unités figure à son tour dans la grandeur considérée, en commençant par les plus grandes unités et en ayant soin de mettre des zéros à la place de celles qui manqueraient; on met, s'il y a lieu, la virgule à la place convenable, selon l'unité que Ton a choisie. On a donné déjà un exemple au n^ 331. En voici encore un : une longueur contenant 7 hectomètres, 3 mètres, 2 centimètres serait mesurée par le nombre 703", 02 en prenant pour unité le mètre.

On suit la règle inverse pour énoncer un nombre écrit; mais le plus souvent on se contente d'énoncer ce nombre en deux fois : d'abord la partie entière, en faisant suivre du nom de l'unité, puis la partie décimale, énoncée comme un nombre entier, en faisant suivre du nom de l'unité secondaire qui correspond au dernier chiffre décimal : ainsi, dans l'exemple précédent, on dira sept cent trois mètres, deux centimètres.

Les nombres 180,25 et 75,072, en supposant qu'on prenne dans le premier cas le mètre pour unité, dans le second cas l'hectomètre, s'énonceront cent quatre-vingts mètres, vingt-cinq centimètres et soixante-quinze hectomètres, soixante-douze décimètres.

Au surplus, ces habitudes ne sont pas invariables et rien n'empêche de regarder les nombres qui expriment les mesures comme des nombres abstraits, pourvu qu'on sache toujours à quelle «mité ils correspondent. •

§ 3. — Système métrique : surfaces, volumes.

336. La définition précise du nombre qui mesure une surface donnée, quand on a choisi Funité de surface, n*est pas sans difficultés, même quand celte surface est plane. Cette définition et les moyens de trouver ce nombre sont du ressort de la Géométrie : je ne peux en donner ici qu'un idée très incomplète.

Je ferai d'abord les observations suivantes :

Si on se donne une longueur quelconque AB, on peut construire un carré ABCD dont le côté soit égal à AB; et si Ton considère un plan, on peut imaginer qu'il soit décomposé en carrés égaux à ABCD ; le carrelage d'un plancher, un morceau de papier quadrillé^ fournissent des exemples familiers au lecteur de la figure ainsi formée. Si l'on considère une portion du plan qui soit ainsi entièrement remplie par des carrés égaux à ABCD, et qui contienne un nombre entier n de ces carrés, on dira que cette surface est égale à n fois le carré ABCD, ou

qu'elle est mesu- ç , ,R

rée par le nombre entier n quand on prend ce carré pour unité de surface. ^

Tel sera le cas

d'un rectangle aI la

PQRS dont les

deux côtés PQ, PS contiendraient chacun la longueur AB un nombre exact de fois; supposons que le côté PQ contienne, par exemple, 3 fois cette longueur, et que le côté PS la contienne 5 fois; il est clair, sur la figure, que le rectangle PQRS contient 3 fois 5 carrés égaux à ABCD : si on prenait le carré ABCD pour unité de surface, le rectangle PQRS serait mesuré par le nombre 5x3 ou 15. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si Ton choisit une certaine unité de longueur et si Ton prend pour unité de surface le carré construit sur Tunité de longueur, la surface d'un rectangle dont la base et la hauteur sont mesurées par des nombres entiers est mesurée par le produit de ces nombres. En particulier un carré dont le côté contiendrait exactement n fois l'unité de longueur, sera mesuré par le nombre nx«=«', ou, comme Ton dit, par le carré du nombre qui mesure son côté.

337. Considérons par exemple le mètre carrée c'est-à-dire le carré

Tamnkry. 20

dont le côté est un mètre; si Ton prenait le décimètre pour unité de longueur, le côté du mètre carré serait mesuré par le nombre 10, et par conséquent, si l'on prenait pour unité de surface le carré dont le côté est égal à un décimètre, carré auquel on donne le nom de décimètre carré, la surface du mètre carré serait mesurée par le nombre 10x10 ou 100; c'est-à-dire que le mètre carré contient 100 décimètres carrés, ou, si Ton veut, que le décimètre carré est la centième partie du mètre carré.

On désigne sous les noms de myriamètre carrée kilomètre carré, hectomètre carrée décamètre carré, mètre carré, décimètre carré, centimètre catré, millimètre carré, des carrés dont les côtés sont respectivement un myriamètre, un kilomètre, un hectomètre, un décamètre, un mètre, un décimètre, un centimètre, un millimètre.

En vertu des raisonnements précédents, chacune de ces surfaces contient exactement cent fois celle qui la suit, ou est la centième partie de celle qui la précède ; ces surfaces, si Ton prend le mètre carré pour unité, sont donc mesurées respectivement par les nombres

Nous pouvons maintenant généraliser le théorème du n"* 336 et établir la proposition suivante :

338. Si Con prend pour unité de surface le caiTé construit sur F unité de longueur, la surface d'un rectangle quelconque, dont les côtés sont commensurables à cette unité, a pour mesure le produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur.

Supposons que les nombres qui mesurent la base et la hauteur

du rectangle considéré soient deux fractions de même dénomi-

3 5 nateur, ;^ et = par exemple.

3 Soit AB Tunité de longueur; divisons-la

^' — S' en 7 parties égales; soit A'B' Tune de ces

parties. Si Ton prenait pour unité de longueur A'B' et pour unité de surface le carré construit sur A'B' comme côté, les côtés du rectangle considéré seraient mesurés par les nombres 3, 5, et sa surface par le nombre 3 X 5 ; alors le carré construit sur AB comme côté serait mesuré par le nombre 7x7; il résulte de là et du théorème établi au n'^ 326, que si Ton prend pour unité de surface le carré construit sur AB comme côté, la surface du rectangle considéré est mesurée par le nombre = — = = - x = ; c'est ce qu'il

fallait démontrer.

En particulier, si l'on prend pour unité de surface le carré construit sur l'unité de longueur^ la surface d'un carré quelconque est mesurée par le carré du nombre qui mesure son côté.

Par exemple, si Ton prend pour unité de longueur le mètre, pour unité de surface le mètre carré, les surfaces des carrés dont les côtés sont respectivement un décimètre, un centimètre, un millimètre, seront mesurées par les nombres

ce qui est bien conforme aux résultats précédemment obtenus.

339. Supposons maintenant qu^on ait à mesurer une surface plans quelconque; imaginons que le plan qui contient cette surface soit recouvert d'un quadrillage formé de carrés égaux, dont les côtés soient une fraction connue de Tunité de longueur, la n^^^ partie par exemple : si Ton prend toujours pour unité de surface le carré construit sur Tunité de longueur, ce carré contiendra n» carrés du quadrillage. On pourra compter ceux des petits carrés qui sont à rintérieur de la surface S : supposons qu'il y en ait />, et qu'il y en ait q qui soient traversés par le contour de S ; la surface S' formée par les p petits carrés diffère très peu de la surface S, si n est très grand ; si Ton prenait pour unité de surface Tun des petits carrés, la surface S' serait mesurée par le nombre entier/?, etlasurfaceS peut être regardée comme mesurée approximativement, avec la même unité, par le même nombre; avec la véritable unité de surface, la surface S est

donc mesurée approximativement par le nombre ^; elle est en réa-

lité comprise entre deux surfaces S', S" formées chacune d'un nombre exact de petits carrés, la première de p petits carrés, tous intérieurs à la surface donnée, la seconde àep^q carrés, parmi lesquels il y en a 7 qui débordent au delà de la surface S et forment une bande étroite aux environs du contour de cette surface. La surface S doit être regardée comme mesurée par un nombre compris

entre i-r et , . On démontre que, si n est assez grand, ces deux n^ n^

nombres diffèrent très peu, en sorte que l'un ou l'autre peut être

pris comme une mesure approchée, l'une par défaut, Tautre par

excès, du nombre cherché, qui n'est ici défini que d'une manière très

imparfaite. On arrive, en Géométrie, à donner à ce nombre un sens

précis et, dans une suite de cas simples, à établir des règles qui

permettent de le calculer, en ne mesurant que des longueurs

Pectilignes.

340. Dans le système métrique, Tunité principale de surface est le mètre carré; les unités secondaires sont d'une part le décamètre carré, l'hectomètre carré, le kilomètre carré, d'autre part le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré, qui ont été définis au n" 337, où Ton a étudié aussi leur ordre de grandeurs relatives. Ici les multiples successifs ne sont pas de dix en dix fois, mais bien de cent en cent fois plus grands; de même les sous-multiples successifs ne sont pas de dix en dix fois, mais bien de cent en cent fois plus petits.

Il en résulte que si on a écrit, dans le système décimal, la mesure d'une surface en prenant pour unité de surface le mètre carré, si Ton veut écrire le nombre qui mesure la même surface en prenant pour unité le décamètre carré, l'hectomètre carré, le kilomètre carré, ..., on devra reculer la virgule, vers la gauche, de deux, quatre, six rangs; si Ton veut prendre, au contraire, pour unité le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré, on devra avancer la virgule de deux rangs, de quatre rangs, de six rangs, ... vers la droite. Si les chiffres manquent pour cela, on y suppléera par des zéros.

Supposons, par exemple, qu'une surface S, en prenant pour unité le mètre carré, soit mesurée par le nombre 48867,238.

En prenant jsuccessivement pour unité le kilomètre carré, rhectomètre carré, le décamètre carré, le mètre carré, le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré, le nombre qui mesure S s'écrira

Si l'on évalue une surface en disant successivement combien elle contient de myriamètres carrés, puis de kilomètres carrés, ..., puis de millimètres carrés, c'est-à-dire en disant successivement quelle est sa mesure à un myriamètre carré près, par défaut, puis la mesure de ce qui reste quand on a ôté les myriamètres carrés, à un kilomètre carré près par défaut, puis la mesure de ce qui reste, k un hectomètre carré près par défaut, etc., les nombres que Ton énonce successivement sont moindres que cent, sauf peut-être le premier, qui se rapporte à la plus haute unité secondaire à laquelle on ait donné un nom ; chacun de ces nombres (sauf peut-être le premien s'exprimera au moyen de deux chiffres, dont l'un ou l'autre peut d'ailleurs être un zéro. Pour écrire la mesure de la surface, on écrira ces nombres les uns à la suite des autres, en commençant par celui qui représente les unités secondaires les plus fortes,

sans omettre les zéros, en plaçant la virgule après le nombre qui correspond à Tunité que l'on adopte. Ainsi, en prenant pour unité le mètre carré, la surface qiii contiendrait 4 hectomètres carrés, 85 décamètres carrés, 67 mètres carrés, 23 décimètres carrés, SO centimètres carrés sera représentée par le nombre 48567,2380.

On observera que, de cette façon, la partie décimale a toujours un nombre pair de chiffres, dont le dernier peut être un zéro.

On peut suivre la règle inverse pour énoncer un nombre écrit; on le partage en tranches de deux chiffres, à partir de la virgule, tant en remontant vers la gauche qu'en descendant vers la droite. La dernière tranche de gauche peut n'avoir qu'un chififre, celle de droite en a nécessairement deux ; au besoin on la complète par un zéro. Chaque tranche représente des unités connues, que Ton n'a aucune peine à énoncer, pourvu toutefois qu'elle corresponde à des unités dénommées, ce qui ne manquera guère d'arriver dans la pratique. On commence par la gauche. Ainsi le nombre 783,0020 s'énoncera 7 décamètres carrés, 83 mètres carrés, 20 centimètres carrés, en supposant que l'unité de surface soit le mètre carré. Le plus souvent on énonce un nombre décimal qui mesure une surface en deux fois : on énonce d'abord la partie entière en faisant suivre du nom de l'unité que représente le dernier chififre ; puis on s'arrange, en ajoutant au besoin des zéros, pour que la partie décimale ait un nombre pair de chiffres, on l'énonce ensuite comme un nombre entier, en ajoutant décimètre carré, centimètre carré, millimètre carré, suivant qu'il y a deux, quatre ou six chiffres.

Ainsi, dans le dernier exemple, on dira : sept cent quatre-vingttrois mètres carrés, vingt centimètres carrés.

Signalons encore l'emploi des symboles mq, dq^ cq, placés à droite et en haut du chiffre des unités simples pour indiquer que l'unité de grandeur adoptée est un mètre carré, un décimètre carré, un centimètre carré; q est l'initiale du mot quadralus (carré, ou quarré dans l'ancienne orthographe).

Il n'existe pas de mesures effectives de surfaces ; celles-ci s'évaluent au moyen de calculs effectués sur des longueurs mesurées, d après des règles qu'enseigne la Géométrie.

Ainsi la surface d'un rectangle dont la base et la hauteur seraient 1 mètre et 1 décimètre, serait mesurée, en prenant le mètre carré pour unité, par le nombre 1 X 0,i = 0,i ; elle serait égale à dix décimètres carrés.

La surface d'un carré dont le côté est mesuré par Je nombre 1,2 en prenant le mètre pour unité serait mesurée par le nombre (1,2)' = 1,44 : elle serait égale à un mètre carré, 44 décimètres carrés.

344. Mesures agraires. — Pour la mesure des champs, runité principale est Vare; lare est un décamètre carré, ou cent mètres carrés. Le seul multiple de lare que Tusage ait consacré est Thectare, qui vaut cent ares: c'est un hectomètre carré; et le seul sous-multiple qui soit resté usité est le centiare, ou centième de Tare : c'est un mètre carré.

La surface qui, en prenant pour unité le mètre carré, serait mesurée par le nombre 2873654 serait, en prenant l'are pour unité, mesurée par le nombre 28736,54 que Ton pourrait énoncer vingthuit mille sept cent trente-six ares, cinquante-quatre centiares, ou

deux cent quatre-vingt-sept hec- 0' C tares, trente-six ares, cinquante-

quatre centiares.

342. La mesure des volumes donne lieu à des observations analogues à celles que Ton a faites pour les surfaces.

Rappelons d'abord que Ton

appelle parallélépipède rectangle le

volume construit comme il suit :

Considérons un rectangle ABCD

A B que le lecteur pourra se figurer

comme étant situé dans un plan horizontal: par les sommets A,6,C,D menons au plan de ABCD des perpendiculaires du même côté du plan et prenons sur elles des longueurs égales AA', BB', CC, DD'; complétons, enjoignant A' et B', B' et C, C et D', D' et A', les rectangles ABB'A', BCC'B', DCC'D', ADD'A'; le volume limité d'une part par ces quatre rectangles latéraux, d'autre part par les deux rectangles ABCD, A'B'C'D' sera un parallélépipède rectangle. Les six rectangles qui le limitent sont ses faces, ils sont deux à deux égaux et situés dans des plans parallèles; les côtés de ces rectangles sont les arêtes du parallélépipède ; il y en a douze; elles sont, quatre par quatre, égales et parallèles : telles sont AB, CD, A'B', CD'. Chacune des douze arêtes est égale à l'une des trois arêtes qui partent d'un même sommet : ces trois arêtes sont les trois dimensions du parallélépipède. L'une quelconque des faces peut être prise pour la base du parallélépipède ; la hauteur correspondante est alors l'arête perpendiculaire au plan de cette face.

Quand toutes les dimensions d'un parallélépipède rectangle sont égales, ce parallélépipède prend le nom de cuùe ; toutes les faces

sont alors des carrés égaux ; toutes les arêtes sont égales au côté de

Tun de ces carrés. Deux cubes de même arête sont égaux. 343. On peut empiler des cubes égaux de manière que la base

inférieure de chacun d'eux recouvre exactement la base supérieure

du cube placé au-dessous de lui.

On a figuré ci-contre trois cubes empilés ainsi les uns sur les

autres ; ils forment dans leur ensemble un parallélépipède rectangle

qui peut être regardé comme ayant une base

carrée ABCD et une hauteur AAg égale au

triple du côté de cette base.

On peut placer aussi des cubes égaux de

façon que leurs faces latérales coïncident. On peut enfin supposer que l'espace tout

entier soit rempli de cubes égaux, ne laissant

entre eux aucun vide et placés de façon que

chaque face soit commune à deux cubes. Un

tas de pavés cubiques, bien rangés, donne un

exemple familier de la figure formée ainsi par

des cubes placés les uns à côté des autres. Si Ton considère un volume qui puisse être

ainsi formé en ajoutant des cubes égaux, on

obtient immédiatement le nombre qui mesure ce volume quand on prend pour unité de volume Tun de ces cubes, c'est le nombre (entier) de cubes qu'il contient. Tel sera, par exemple, le cas, si l'on prend pour unité de volume le cube construit sur AB comme arête, d'un parallélépipède rectangle PQRSP'Q'R'S' pour lequel chaque dimension contiendrait AB un nombre exact de fois : Supposons, par exemple, que PQ, PS, PP' contiennent AB respectivement 4 fois, 5 fois, 3 fois. La base PQRS pourra être décomposée en 4 X 5 carrés égaux au carré construit sur AB comme côté ; sur chacun de ces carrés on pourra empiler trois cubes dont l'arête soit égale à AB; on aura ainsi rempli entièrement le parallélépipède rectangle de cubes égaux, et il y en aura en tout autant de fois 3 qu'il y a de carrés dans la base ; dans la base ï^ y a 4 X 5 carrés; il y aura donc en tout 4x5x3, c'est-à-dire un nombre égal au produit des nombres entiers qui expriment combien de fois AB est contenu dans chacune des dimensions du parallélépipède : si l'on prenait AB pour unité de longueur et le cube construit sur AB comme unité de volume, les dimensions du parallélépipède seraient mesurées par les nombres 3, 4, 5 et le volume du cube, par le produit 3x4x5. D'où la conclusion suivante :

Si Von prend pour unité de volume le cube construit sur funiié dt longueur, le volume d*un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont mesurées par des nombres entiers, est mesuré lui-même par le produit de ces trois nombres entiers.

En particulier, le volume d'un cube dont Taréte est mesurée par

■aM»a«BB»>t.

■Ta

ir.

un nombre entier est mesuré lui-même, dans ces conditions, par le cube de ce nombre entier*

Si, par exemple, Taréte d'un cube contient 2, 3, 4, ... fois AB, ce cube contiendra 8, 27, 64,... fois le cube construit sur AB.

344. On appelle mètre cube, décimètre cube, centimètre cube, millimètre cube des cubes dont les arêtes sont respectivement un

mèlre, un décimètre, un centimètre, un millimètre. Les mots décamètre cube, hectomètre cube, etc., qu'il faudrait prendre dans un sens analogue, ne sont guère employés.

Si Ton prenait pour unité de longueur le décimètre et pour unité de volume le décimètre cube, les dimensions du mètre cube seraient toutes les trois mesurées par le nombre 10; le mètre cube contient donc 10x10xlO = l(P=:1000 décimètres cubes; en d*autres termes, le décimètre cube est la 1000**"*' partie du mètre cube; de même le décimètre cube contient 1000 centimètres cubes, le centimètre cube contient 1000 millimètres cubes, le mètre cube contient 1000x1000 = 1000000 centimètres cubes, il contient

1000000 X 1000 = 1000000000 millimètres cubes.

345. Plus généralement, si Von prend toujours pour unité de volume le cube consti*uit sur Vunité de longueur ^ le volume d'un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont commensurables à Vunité de longueur, a pour mesure le produit des trois nombres qui mesurent ses dimensions.

Supposons que ces trois derniers nombres soient des fractions ; rien n'empêche de supposer que ces fractions aient le même déno-

3 4 5 minateur, qu'elles soient, par exemple, égales à -, -, - : si l'on prenait pour nouvelle unité de longueur le 7**"^ de cette unité, et pour nouvelle unité de volume les cubes construits sur cette nouvelle unité de longueur, les dimensions du parallélépipède seraient mesurées par les nombres entiers 3, 4, 5, son volume par le nombre 3 X 4 X 5 ; l'ancienne unité de volume serait de même, avec la nouvelle, mesurée par le nombre 7x7x7; donc le nombre qui mesure le parallélépipède rectangle avec l'ancienne unité de volume est bien

c'est ce qu'il fallait démontrer.

En particulier, si l'on prend pour unité de volume le cube construit sur Tunité de longueur, on voit que le volume d'un cube quelconque, dont l'arête est commensurable à l'unité de longueur, est mesuré par le cube du nombre qui mesure son arête.

Si l'on prend pour unité de longueur le mètre et pour unité de volume le mètre cube, les volumes du décimètre cube, du centi-

mètre cube, du millimètre cube seront mesurés respectivement par les nombres

ce qui est conforme aux résultats antérieurs.

346. Considérons maintenant un volume V limité par une surface quelconque S. Imaginons que Tespace soit rempli de petits cubes égaux, Taréte de chacun de ces cubes étant la n**"** partie de Tunité de longueur; en sorte que Tunité de volume, le cube construit sur Tunité de longueur, contienne n' de ces petits cubes. Imaginons que Ton compte combien il y a de ces cubes qui remplissent Tespace, à Tinter leur de S ; supposons qu'il y en ai t /? ; ces p cubes pris ensemble forment un volume V plus petit que V, mais qui en diffère très peu si n est assez grand.

En désignant par q le nombre des petits cubes de l'espace traversés par la surface S, le volume formé par ces cubes est très peu épais, et le volume V" formé par ces p-{-q petits cubes déborde un peu au delà du volume V; ce volume V doit être regardé comme mesuré par un

P P ~\~ Q nombre compris entre les deux nombres —, et - — r-^ qui mesurent

les volumes V et V" ; on démontre que, si Ton prend n assez grand, ces deux nombres diffèrent très peu; ils peuvent être pris comme des valeurs approchées de la mesure de V, par défaut et par excès.

347. L'unité principale de volume est le mètre cube, ses sousmultiples usités sont le décimètre cube, le centimètre cube, le millimètre cube, définis plus haut. Les mots décamètre cube, hectomètre cube, ... sont, comme on l'a déjà dit, peu usités.

Quand on a écrit un nombre représentant un volume en prenant le mètre cube pour unité, il suffit de multiplier ce nombre par 1000, 1000000, 1000000000, ou d'avancer la virgule de trois, six, neuf rangs vers la droite, pour écrire le nombre qui représente le même volume quand on prend pour unité le décimètre cube, le centimètre cube, le millimètre cube.

Pour évaluer un volume, on peut dire combien ce volume contient de mètres cubes, puis de décimètres cubes, puis de centimètres cubes, puis de millimètres cubes, c'est-à-dire énoncer la mesure du volume à un mètre cube près, puis la mesure de ce qui reste quand on a ôté les mètres cubes,- à un décimètre cube près, etc.. Les nombres qui représentent les décimètres cubes, les centimètres

cubes, les millimètres cubes sont moindres que mille; on les regar* dera comme représentés par des nombres de trois chiffres, chiffres qui peuvent d'ailleurs être des zéros.

Pour écrire le nombre qui mesure le volume, on écrira d'abord le nombre de mètres cubes, puis le nombre de décimètres cubes, puis le nombre de centimètres cubes, puis le nombre de millimètres cubes, sans omettre les zéros, et en plaçant la virgule après le nombre qui correspond à Tunité choisie.

Ainsi, un volume comprenant 3 mètres cubes, 72 décimètres cubes, 5 centimètres cubes s'écrira 3,072005 en prenant le mètre cube pour unité, et 3072,005 en prenant le décimètre cube pour unité.

En opérant ainsi, la partie décimale a trois, six ou neuf chiffres, dont les derniers peuvent d'ailleurs être des zéros.

Pour énoncer un nombre décimal qui mesure un volume, on peut suivre une règle inverse; supposons que l'unité soit le mètre cube : on s'arrangera d'abord, par l'adjonction de zéros à droite, pour que la partie décimale contienne trois, six ou neuf chiffres, et on la séparera en tranches de trois chiffres; la première, à partir de la virgule, correspondra aux décimètres cubes, la seconde aux centimètres cubes, la troisième aux millimètres cubes. On énoncera d'abord la partie entière en faisant suivre des mots mètres cubes, puis chaque tranche en faisant suivre du nom de l'unité correspondante; on peut aussi énoncer le nombre en deux fois : d'abord la partie entière en faisant suivre des mots mètres cubes, puis la partie décimale, en faisant suivre des mots décimètres cubes, centimètres cubes, millimètres cubes, suivant qu'elle a trois, six ou neuf chiffres.

Ainsi le nombre 21,0102, en supposant que le mètre cube soit l'unité, s'énoncera vingt et un mètres cubes, dix décimètres cubes, deux cents centimètres cubes, ou bien vingt et un mètres cubes, dix mille deux cents centimètres cubes.

Le lecteur verra sans peine comment ces règles devraient être modifiées si l'on prenait pour unité le décimètre cube, le centimètre cube, ... au lieu du mètre cube.

Notons enfin l'emploi des signes wic, rfc, ce, mmc pour désigner l'unité adoptée, mètre cube, décimètre cube, centimètre ou millimètre cube, etc., que l'on place quelquefois à droite et en haut du chiffre des unités simples, afin de rappeler la nature de l'unité : ainsi 0"%1 veut dire 100 décimètres cubes; 3cc,02 veut dire 3 centimètres cubes, vingt millimètres cubes, etc. Sauf pour les grains et les liquides, on ne construit pas de mesures

effectives de volume. On enseigne en Géométrie, au moins dans les cas simples, des règles qui permettent d'obtenir la mesure d'un volume en ne mesurant que des longueurs rectilignes.

348. Mesures de capacité, — Pour les liquides, grains ou matières analogues, Tunité principale est le litre : le litre est un décimètre cube. Les multiples usités du litre sont le décalitre et Thectolitre qui valent dix et cent litres; les sous-multiples usités sont le décilitre ou un dixième de litre, et le centilitre ou un centième de litre.

349. Les mesures effectives pour les liquides sont au nombre de treize, cinq grandes et huit petites.

Les cinq grandes, construites en cuivre, tôle ou fonte, ont la forme de cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur : le calcul des dimensions résulte facilement de l'application des règles de Géométrie. Ces mesures sont l'hectolitre, le demihoctolitre, le double-décalitre, le décalitre, le demi-décalitre. Les huit petites, construites généralement en étain, sont des cylindres dont la profondeur est double du diamètre intérieur : ce sont le double-litre, le litre, le demi litre, le double-décilitre, le décilitre, le demi-décilitre, le double-centilitre, le centilitre. Pour le lait el l'huile, ces huit petites mesures sont en fer-blanc; ce sont des cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur.

Pour les graines et matières sèches, les mesures effectives sont au nombre de onze, depuis l'hectolitre jusqu'au demi-décilitre. Ce sont des cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur, construits en bois, cuivre ou tôle.

§ 4. — Système métrique. Poids.

350. Le poids absolu d'un corps, considéré comme la force qui attire ce corps vers le centre de la terre ne dépend pas que de ce corps, mais bien de sa position par rapport à la terre : il n'est pas le même au pôle et à l'équateur, quand on s'enfonce dans la terre ou qu'on s'élève dans l'air. Dans ces diverses positions un même corps, suspendu à un ressort suffisamment sensible, ne lui donnerait pas la même extension. Ces variations sont d'ailleurs très faibles à la surface de la terre, ou lorsqu'on s'en écarte peu.

Au contraire, la masse d'un corps reste absolument invariable, quelle que soit la position de ce corps. C'est, au fond, les masses que l'on compare et que l'on mesure avec la balance : les masses de deux corps sont égales lorsque, placés dans les deux plateaux d'une balance juste et sensible, ces deux corps se font équilibre: