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et l'on voit sans peine que 0,48 est la {imite de la suite indéfinie 0,47; 0,479 ; 0,4799 ; 0,47999; … ;

on en conclut d’ailleurs que la fraction décimale périodique mixte 0,47999... n’a pas de fraction génératrice.

Enfin, dans le cas où l’on aurait affaire à une fraction décimale périodique mixte qui ne rentrerait pas dans le cas d'exception, mais pour laquelle la partie entière ne serait pas 0, il suffirait pour avoir sa fraction génératrice d'ajouter cetle partie entière à la fraction formée par la règle précédente.

298. Considérons la fraction génératrice d’une fraction décimale pério- PR LHRRES ; AN dique simple, par exemple, la fraction 99 qui engendre la fraction décimale

périodique 0,363636.... Cette fraction génératrice ne sera pas, en général,

irréduetible. Mais son dénominateur étant premier à 10, restera premier

à 40 quand on le réduira à sa plus simple expression. Donc une fraction

ordinaire irréductible qui engendre une fraction décimale périodique simple a son dénominateur premier à 2 et à 5.

Considérons maintenant la fraction génératrice d'une fraction périodique

ui engendre la fracti 4 pi à- GHUUU Fa | g e la fraction pério

mixte, par exemple la fraction

dique mixte 0,257363636...

Son numérateur ne peut être terminé par un 0; il faudrait pour cela que le dernier chiffre de la période füt égal au dernier chiffre irrégulier; ce dernier chiffre irrégulier aurait donc pu être pris pour le premier chiffre de la période que, ainsi, on aurait dû faire commencer plus tôt. Le numérateur n'étant pas terminé par un 0 est premier à l’un, au moins, des facteurs 2 ou 5: mais ce facteur figure au dénominateur, supposé décomposé en facteurs premiers, à une puissance égale au nombre de zéros, c'est-à-dire au nombre de chiffres irréguliers. Donc le dénominateur d’une fraction ordinaire irréductible qui engendre une fraction décimale périodique mixte, éécomposé en facteurs premiers, admettra, parmi ces facteurs, l'un des nombres ? ou 5 avec un exposant égal au nombre des chiffres irréguliers.

Réciproquement, toute fraction irréductible dans laquelle le dénominateur n’est divisible ni par 2 ni par 5 donne naissance à une fraction décimale périodique simple, puisqu'elle ne peut donner naissance ni à une fraction décimale limitée, ni à une fraction périodique mixte. Toute fraction irréduelible dans laquelle le dénominateur est divisible par 2 où 5 et par quelque autre nombre premier donne naissance à une fraction décimale périodique mixte, puisqu'elle ne peut donner naissance ni à une fraction décimale limitée, ni à une fraction décimale périodique simple ; le nombre de chiffres irréguliers est égal à l’exposant de celui des facteurs 2 ou 5 qui entre avec

le plus grand exposant dans le dénominateur de Ja fraction PEPANRE ;

décomposé en facteurs premiers.

229. Représentation décimale d’un nombre. — Lorsqu'une fraction

ordinaire est égale à une fraction décimale, il est naturel d'appeler

celle-ci la représentation décimale de celle-là; on dit aussi que la

fraction décimale périodique engendrée par la conversion d’une

fraction ordinaire est la représentation décimale de cette fraction

ordinaire. On fait rentrer le premier cas dans le second en imagi-

nant une infinité de zéros à la suite de la fraction décimale égal à

la fraction ordinaire proposée.

D'après la façon dont a été posé le problème de la conversion,

cette succession indéfinie de chiffres qui constitue la représentation

décimale d’un nombre A est caractérisée par la condition suivante :

quel que soit le nombre naturel », on obtent, en s’arrêtant au nième

chiffre décimal, la valeur approchée de A par défaut à . près,

c'est-à-dire un nombre décimal «x, comportant » chiffres décimaux, tel que l’on ait

an LÀ Lan À à

l'égalité ne peut avoir lieu que dans le cas où le nombre À peut se

réduire exactement en fraction décimale.

Si l’on se donne une fraction décimale périodique, simple ou mixte, on la regardera comme la représentation décimale de sa fraction génératrice, formée comme on l’a expliqué plus haut. Le cas où, à partir d’un certain rang, tous les chiffres seraient des 9 doit être exclu (ne5 224, p. 253; 228, p. 255); si, à parür d’un certain rang, tous les chiffres sont des zéros, on a affaire à une véritable fraction décimale.