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dont les deux membres ont un sens bien clair. L'égalité (1) veut dire

FRACTIONS DECIMALES PÉRIODIQUES. 557

simplement que le premier membre est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique qui est figurée au second membre.

Remarquons qu’un symbole écrit comme une fraction décimale ordinaire, mais où l’on imaginerait une suite indéfinie de chiffres décimaux sans périodicité, n a pour nous aucun sens.

L'introduction de la notion de représentation décimale facilite le langage.

Ainsi l’énoncé des propositions des n° 213, 214 (p. 243) est alourdi par la considération du nombre de décimales de la valeur approchée dont on part, lequel, au fond, n'intervient pas ; rien n’empêche maintenant de les exprimer comme 1l suit :

On obtient le nombre qui exprime combien le nombre A contient (au plus) d'unités composées ou décimales d’un certain ordre, en limitant la représentation décimale de A, lue de gauche à droite, au chiffre des unités de cet ordre (!) et en supprimant la virgule, s'il y

a lieu.

È à ; A On obtient la représentation décimale de A ><107, ou de Tor » © avançant la virgule de » rangs vers la droite, ou en la reculant de n rangs vers la gauche, dans la représentation décimale de A.

231. En adoptant les conventions relatives à la façon d'écrire qu'on a expliquées plus haut et en prenant, par exemple, A — n — 3, la proposition qu’on vient d’énoncer pourra se traduire ainsi; l'égalité 36 ne

(1) 99 — 0,563686..., qui exprime que le premier membre est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique figurée au second membre, entraîne les égalités

(2) 36 soon — 0:0003636..,

qu'il faut encore interpréter en disant que les premiers membres engendrent les fractions décimales périodiques figurées au second membre.

1. 1 n’y a aucun inconvénient à parler du chiffre des unités, des dizaines, des dixièmes..….. de la représentation décimale d'un nombre; le chiffre des wnilés est le chiffre à gauche de la virgule, @lc..…

Il ne faudrait pas regarder les deux dernières égaltés comme obtenues en multipliant ou en divisant les deux membres de l’égalité (1) par 4000 et en appliquant aux seconds membres, pour cette multiplication ou cette division, la règle qui convient aux véritables fractions décimales, lesquelles n'ont qu'un FORTE limité de chiffres.

On n’a pas le droit d'appliquer ainsi cette règle, sans explications, aux symboles qui comportent une suite indéfinie de chiffres décimaux sc reproduisant périodiquement. Les explications nécessaires consistent précisément dans la signification des égalités (2), qu'on a spécifiée, et dans les démonstrations données au n° 214 (p.243). Elles justifient des façons d'écrire qui se fixent aisément dans la mémoire, parce qu’elles procèdent comme dans les cas familiers où le nombre des chiffres décimaux est fixé; il suffit de se rappeler « le sens de ces égalités pour retrouver immédiatement le théorème M qu’elles expriment. 14

Voici une remarque du même genre, qui nous sera utile plus tard.

232. On obtient immédiatement la différence entre un nombre: décimal et une valeur approchée de ce nombre, par défaut, avec un moindre nombre de chiffres; par exemple, la différence entre le nombre 2,71432 et sa valeur approchée, par défaut, à un centième près 2,71 est 0,00432. I1 suffit de remplacer par des zéros les chitfres qui figurent dans la valeur approchée.

Cette même règle s'applique, dans le cas où l’on a affaire à une

fraction décimale périodique : par exemple, la différence entre É

et 0,363 est égale à la fraction décimale périodique 0,0006565...; . c'est-à-dire que la génératrice de cette fraction périodique est. | si 0,363. En effet, puisque la ao engendre la fraction périodique 0,363636..., c'est que, en s’arrêtant au nième chiffre a L on a la fraction décimale approchée, par défaut, de . avec n chiffres décimaux, ce qui se traduit, en prenant, pi

exemple, n—= 7, par les inégalités 0, 3636363 Z Z “59 “. 4 - 0,363636%4.

En retranchant 0,363 des trois membres, on a

0,0006368 £ ce — 0,363 <0,000364,