VALEUR APPROCHÉE D'UN NOMBRE DONNÉ

ce qui prouve bien que 0,0006363 est la valeur approchée par

; 36 défaut, avec sept décimales, de 99 — 0,363; le raisonnement est

évidemment général; la proposition est démontrée.

$ 4 — Valeur approchée d’un nombre donné, à « près.

233. Les notions qui précèdent sont susceptibles d’être généralisées.

Étant donnés un nombre A quelconque et un nombre entier ow fractionnaire «, la valeur approchée de A à « près, par défaut, est le plus grand multiple (:) de « qui soit inférieur ou égal à A. Ce produit, augmenté de «, est la valeur approchée de À, à « près, par excès.

Soit k le nombre entier par lequel il faut mulüplier « pour avoir la valeur approchée de A, par défaut, à « près ; on devra avoir

ka A <(k+1) a,

d'où l’on déduit, en divisant par «, EST À),

et ces dernières inégalités montrent que 4 est la partie entière du

à A quotient ne En considérant la suite des nombres

Carter Sert Nr: (4H Aa, …

obtenus en multipliant « par les nombres 0, 1, 2, 3, .…, Suite dont. chaque terme s'obtient en ajoutant « au précédent, et Qui, ainsi, forme une progression arithmétique, on voit que A est un terme x de cette suite, ou bien qu'il tombe entre deux termes consécutifs ka, (k +1) a; dans le premier cas, la différence entre A et l’un quelconque des termes de la suite, autre que kx, est au moins égale à a; dans le second, la différence entre A et l’un ou l'autre des membres ka, (k+ 1) « est moindre que z; avec les autres termes de

1. Jusqu'ici, on n’a employé l'expression « multiple d'un nombre » que lorsque ce nombre était entier. Il est à peine utile de dire qu'un multiple d'un nombre entier ou fractionnaire a est le résultat obtenu en multipliant a par un nombre entier quelconque. Dans ce qui suit, on n'exclut même pas le cas où le multiplicateur serait nul, comme on avait fait dans le chapitre relatif au plus grand commun diviseur et au plus petit commun multiple,

la suite, la différence est plus grande que «. Dans tous les Cas, ka

est, parmi tous les termes ‘de la suite qui ne dépassent pas A, celui qui s'en approche le plus, et (k<+ 1) est, de tous les termes de la suite qui dépassent A, celui qui sen approche le plus.

Il arrive souvent qu'on prenne pour + l'inverse d'un nombre.

entier n : le nombre — doit alors être remplacé par An; sikestla |

dd 1 partie entière de ce produit, = est la valeur approchée de A, à ==

près, par défaut. ie | | gs Cherchons par exemple les valeurs approchées de ee, à à

près : on cherchera la partie enuère ds 40 0 divi- |

sant 2483 par 113, on trouve pour quotient 21 et pour reste 112; la

4 7 valeurapprochéeà — près par défaut est 2 — 3; la valeur appro-

chée par excès est 7 : l'opération montre d’ailleurs que l'on a