PRÉLIMINAIRES. — DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES

$ |. — Notion de nombre. Égalité, inégalité.

Numération écrite.

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4. Nombres naturels. Comparaison de deux collections. — Voici un tas de billes, un troupeau de moutons, des lettres qui forment un mot, des mots qui forment une phrase : combien y a-t-il de billes dans ce sac, de moutons dans ce troupeau, de lettres dans ce mot, de mots dans cette phrase? La réponse à ces questions est un nombre, ou, d'une façon plus précise, un nombre naturel.

L'idée de nombre naturel résulte, par abstraction, de l'idée de collection d'objets distincts ; elle est indépendante de la nature de ces objets, qui peuvent être pareils, comme les billes de ce sac, ou différents comme les lettres de ce mot, les mots de celte phrase, mais qui doivent être distincts les uns des autres et groupés ensemble de manière à former une collection (‘), un tout : les objets distincts, dont se compose la collection, sont souvent désignés sou: le nom d’unilés, quand on ne veut pas en spécifier la nature.

Je raisonnerai souvent soit sur des collections d'objets faciles à imaginer, soit sur des collections de points figurés sur le papier ; pour distinguer ces collections les unes des autres dans un même raisonnement, je les désignerai quelquefois par des lettres majuscules À, B, C,...; ainsi je dirai la collection À, les collections B:et C. Le lecteur se convaincra que les raisonnenÿents ne dépendent en aucune façon des objets qui constituent les collections, mais portent uniquement sur leur nombre.

Je préciserai d’abord Ie sens d'expressions auxquelles le lecteur

4. I s'agit uniquement ici et dans ce qui suit, de collections finies. Quant à la définition du mot fini, qui p'ésente un sens suffisamment clair, elle dépasse les éléments.

est déjà habitué : il y a autant d'objets dans cette collection-ci que dans celle-là ; il y a plus, ou moins, d'objets dans celle-ci que dans celle-là. Le mot autant est pris ici et dans ce qui suit avec le sens de « exactement autant ».

7 Pour comparer, au point de vue qui nous occupe, deux collections d'objets, on peut procéder à peu près comme on fait pour les échanges, lorsqu'on ne sait pas compter.

Supposons qu'un enfant veuille acheter des pommes à un marchand qui les vend un sou chacune; il peut donner un sou et recevoir une pomme, donner un autre sou et recevoir une autre pomme, donner encore un autre SOU et recevoir une autre pomme. Après chaque échange, il a donné autant de sous qu'il a reçu de pommes. À chaque sou donné correspond une certaine pomme (el une seule) reçue en échange ; à deux sous différents correspondent deux pommes différentes ; de même à chaque pomme reçue corres-

pond un sou et un seul, celui qu’on a donné en échange; à deux

pommes différentes correspondent deux sous différents.

Supposons que l'enfant échange ainsi successivement ses sous contre des pommes, tant que cela est possible.

Trois cas peuvent se présenter : |

4° Il peut arriver que l'enfant avec son dernier sou achète la dernière pomme du marchand : l'enfant avait autant de sous que le marchand avait de pommes ; le marchand avait autant de pommes que l'enfant avait de sous ;

% II peut arriver que l'enfant, en faisant successivement ses échanges, épuise ses sous, Sans que le marchand épuise ses pommes. Supposons que le marchand, au lieu de livrer une pomme contre un sou, se contente de faire une marque sur la pomme qu'il doit livrer, ou qu'il la mette à part; il aura séparé sa collection primitive de

pommes en deux parties, en deux tas : le tas des pommes marquées,

-ou mises à part, le tas des pommes non marquées. Il y a dans le premier tas autant de pommes que l'enfant avait de sous. Le mar-

.chand avait plus de pommes que l'enfant n'avait de sous, l'enfant

avait moins de sous que le marchand n’avait de pommes ;

8 Il peut encore arriver que l'enfant ait plus de sous que le mar-

chand n’a de pommes. Si l'enfant avait marqué ses sous, au lieu de les donner, il aurait partagé sa collection primitive de sous en deux collections ; dans l’une, formée de sous marqués, il y aurait autant de sous que de pommes chez le marchand.

Aucun autre cas n’est possible; chacun des trois cas exclut les :

deux autres.

Répétons les mêmes choses sous une forme plus générale.

Deux collections A et B, formées d'objets quelconques étant données, on peut procéder comme il suit pour reconnaître s'il y a autant d'objets, s’il y a plus ou moins d'objets dans l’une que dans l'autre.

On choisit un objet dans la première collection et un dans la seconde ; on leur impose une même marque; on choisit un objet non marqué dans la première collection et un objet non marqué dans la seconde; on leur impose une même marque. On continue ainsi, tant que cela est possible, c’est-à-dire tant que les objets de l’une des collections ne sont pas tous marqués. Arrêtons-nous donc au moment où tous les objets d’une collection sont marqués et convenons de dire de deux objets pris, l’un dans la collection A, l’autre dans la collection B, qu’ils se correspondent (‘) ou encore que chacun correspond à l’autre, lorsqu'ils ont été marqués à la fois.

Trois cas peuvent se présenter :

1° Lorsqu'on a marqué tous les objets d'une collection, tous les objets de l’autre collection se trouvent marqués : on a établi alors entre les deux collections A et B une correspondance parfaite, c’est-à-dire une correspondance qui satisfait aux conditions suivantes : chaque objet de A a dans B un correspondant et un seul, dont il est lui-même le correspondant dans A ; de même chaque

objet de B a dans À un correspondant et un seul, dont il est lui-

même le correspondant dans B.

(A) 2e e e e © e a (BP) e © e © e ® e Fig. 4.

Les deux groupes de points de la figure 1, placés chacun sur une ligne horizontale, donnent l’image d'une pareille correspondance ; chaque point d’un des groupes correspond au point de l’autre groupe qui est sur la même verticale.

Il est clair qu’à deux objets distincts de la première (ou de la seconde) collection, correspondent deux objets distincts de la seconde (ou de la première) collection. :

1. Cette correspondance devient visible si, tout en imposant à chaque fois une même marque sur les objets correspondants, on se sert de marques différentes, les différentes fois.

L'idée de correspondance tient un rôle considérable dans toutes les mathématiques ; toutes les fois que l’on dit qu’à un objet correspond un autre objet, c’est que la pensée du premier éveille la

pensée du second.

Dans ce cas, on dit qu'il y a autant d'objets dans une collection que dans l'autre. =

% Si, quand on a marqué tous les objets de À, il reste des objets non marqués dans B, c’est que la collection B contient plus d'objets que la collection A; chaque objet de A a bien son correspondant ans B, celui qu'on a marqué en même temps que lui, mais il ya