VALEUR APPROCHÉE D'UN NOMBRE DONNÉ

d'un nombre A à « près, par défaut, peut être plus grande que la valeur approchée à « près, par défaut. Le lecteur reconnaîtra sans peine que cette circonstance ne se présentera jamais si l’on a a—nño/, n étant un nombre naturel.

è (CRE ae 235. tant donnée une fraction 7 à termes entiers, si l’on

k k+A 1 cherche ses valeurs 5 = approchées à g Près, par défaut

ct par excès, l’une de ces valeurs sera un nombre entier puisque l'un des nombres conséculifs 4 et &+-1 est certainement pair. Il importe de remarquer que cette valeur s'obtient sans peine

quand on cherche le plus grand entier contenu dans — ; si l’on

a db désigne en effet par g ce nombre entier et par 7 le reste de la division de a par b au sens de la théorie des nombres entiers, on a

ENT CCR NO Pa La fraction 7 Sera inférieure à ÿ Si l'on a b>92r; si l’on a

bZ?r, elle sera supérieure ou égale à ÿ - Dans le premier cas, la

: a 4 Î différence entre 7 et g est moindre que g; 9 est la valeur

cherchée. Dans le second cas, cette différence est au moins égale

"1 | à getlona

la différence entre g<+-1 et F- est au plus égale à 2 c'est g+1

qui est le nombre entier que l’on cherche.

Il y a donc en général un nombre entier et un seul qui diffère

de d'une quantité moindre que + : c'est l’une ou l’autre des

LA a L °17 2 L4 « valeurs approchées de 7 à une unité près, par défaut ou par excès,

suivant que b est supérieur ou inférieur au double du reste; si b était égal au double du reste, il y aurait deux nombres entiers dont

A a Me Me | la différence avec me serait égale à G : Cette circonstance ne se

présentera jamais si b est impair; si la fraction FE est irréductible,

elle ne pourra se présenter que dans le cas où b est égal à 2.

236. Il résulte de la règle du n° 233 (p. 259) ou, si l’on veut, des règles de lanumération, qu’on obtient la valeur approchée à dix, cent, mille, ..… près, par défaut, d’un nombre entier écrit dans le système décimal, en remplaçant par des zéros, afin de garder leur signification aux chiffres que l’on conserve, un, deux, trois, … chiffres à droite de ce nombre. |

Par exemple, la valeur approchée de 6835 à 100 près, par défaut, est 6800, car 6835 contient 68 centaines et n’en contient pas 69.

Les valeurs approchées à dix, cent, mille, .. près, par défaut, d’un nombre quelconque A sont les mêmes que les valeurs approchées à dix, cent, mille, ... près, Par défaut, de sa partie entière.

Cette proposition résulte de ce qu'on a dit au n° 218 (p. 242); mais je crois utile de faire remarquer qu’elle est comprise, comme cas parüculier, dans l’énoncé suivant, qui n’est lui-même qu’une autre

façon d'exprimer le théorème du n° 62 (p. 59); A ne un nombre .

quelconque et n un nombre naturel.

. À nat La partie entière de 5 est le quotient obtenu en divisant par n, au sens de la théorie des nombres entiers, la partie entière de A.

Supposons, en effet, qu on ait mis A sous forme d’une fraction us

‘ A a Se à termes entiers; la parte entière de QU de D s'obtient en

divisant a par dn, au sens de la théorie des nombres entiers, ce qui (n° 62, p. 59) revient à diviser, au même sens, 4 par b, puis le quotient par n; mais la première division revient à prendre la partie

° (4/ , ; Q g entière de 0 est ce que l’on avait annoncé.

Considérons, par exemple, le nombre

dont la partie entière est 365; on obtiendra la partie CrbERe de

__ 1461 Ts en divisant 365 par 12, au sens de la théorie des nombres

entiers, elle est égale à 80.

La proposition qu'on vient d'établir montre que les valeurs

approchées à n près, par défaut, de A et de sa partie entière sont les mêmes.

Ii n’est peut-être pas inutile d'observer encore, à propos de cette remarque, que la détermination du quotient de deux nombres entiers, au sens de la théorie des nombres entiers, revient à la détermination de ce quotient à ..., 1000, 100, 10, T près. Une observation analogue se présentera pour l'extraction des racines.

$ 5. — Division des nombres décimaux.

937. On a vu au n° 208 (p. 238) comment on peut écrire, sous forme de fraction ordinaire, le quotient exact de la division d'un nombre décimal par un nombre décimal. On peut ensuite, si l’on veut, convertir cette fraction ordinaire en fraction décimale, en calculant un,

deux, trois, ... chiffres décimaux : c'est ce qu'on appelle pousser

. Ja division jusqu'aux dixièmes, aux centièmes, aux millièmes, ...

On peut toujours employer le procédé du n° 208, c’est-à-dire s’arranger de manière que le dividende et le diviseur aient le même nombre de chiffres décimaux, supprimer les virgules, puis effectuer la conversion. On peut aussi profiter des remarques qui suivent : 938. Cas où le diviseur est entier. — Supposons que le dividende soit un nombre décimal avec n décimales; on pourra le représenter é ad 4 : R ai ë ù par 4pn » 4 étant entier ; soit b le diviseur qui est aussi un nombre entier.

Le problème consiste à convertir en fraction décimale la fraction

a Ke FES ordinaire T0 6 On a déjà remarqué (n° 215, p. 242) que ce pro-

blème était le même que celui de la conversion de la fraction + ;

pour les deux opérations, les chiffres se suivent dansle même ordre, mais dans le second cas, ils représentent des unités 10* fois plus fortes ; le point sur lequel je veux insister est la façon dont on place

ja virgule. à : à a Pour déterminer la partie entière de la fraction 107576 ».°0 peut

a RAT prendre la partie entière du nombre -5x » c'est-à-dire la partie

écrite à gauche de la virgule, quand ce nombre est écrit sous la forme décimale, puis la diviser par b, au sens de la théorie des nombres entiers: lorsque cette division est effectuée, le nombre

écrit au quotient est la partie entière du quotient exact dont on cherche la représentation décimale; c'est après cette partie

entière, laquelle peut d’ailleurs être nulle, qu’on placera la vir-.

gule. On continuera ensuite comme on fait pour convertir la frac-

ou ù RU (à À 2 tion TG ;0nest alors amené, en premier lieu, à abaisser à la suite

du reste le premier chiffre décimal du dividende; le dividende par-

. tel ainsi formé fournit le chiffre des dixièmes au quotient, etc.: on peut pousser l'opération aussi loin qu’on voudra, quitte, lorsqu'on a nbaissé tous les chiffres du dividende, à abaisser ensuite des zéros.

Dans l'exemple suivant, qui montre quelle disposition on peut adopter, le dividende est 94247,18, le diviseur est 272,

Il y a lieu de faire, sur cet exemple même, plusieurs observations. 239. J'ai mis des virgules aux dividendes partiels, aux produits partiels, au reste final; je veux d’abord faire quelques remarques

sur ces virgules, toutes placées dans la colonne verticale qui

contient la virgule du dividende, Prenons les choses au moment où l’on vient d'obtenir la partie entière du quotient 346 et le reste correspondant 135; si à la suite de ce reste on, abaissait tous les chiffres décimaux du dividende; le nombre 135,78 que l’on obtiendrait ainsi serait la différence entre le dividende et le produit du diviseur par le nombre 346 écrit au quotient; on n’abaisse qu’un chiffre décimal et, du dividende partiel 135,7 ainsi formé, on

retranche le nombre 108,8 qui est le produit du diviseur par 0,4. Le lecteur n'aura aucune peine à poursuivre, chiffre par chiffre, cette description : la signification des restes et des produits partiels, affectés de virgule, lui apparaît nettement et il reconnaît, en particulier, que le reste final, avec sa virgule, est la différence entre le dividende et le produit du nombre écrit au quotient par le diviseur, lorsqu'on s'arrête : dans l'exemple traité, on a

9494,78 — 972 XX 346,4991 + 0,0248 ou, en divisant par 272 les deux membres,

On voit ainsi que la différence entre le quotient exact peut

et le quotient approché 346,4991 auquel on se limite est une fraction

dont le numérateur est le reste 0,0248 et dont le dénominateur est

le diviseur 272. C'est, avec la notation des fractions généralisée, le

même théorème qu'au n°167 (p.184).

Ces virgules que j'ai placées aux restes et aux produits partiels, on ne les écrit pas d'habitude; elles n'offrent guère d'intérêt que pour le reste final dont, souvent, on ne se préoccupe pas; si on les a omises, il est aisé de les rétablir, quand les chiffres sont bien disposés, puisqu'elles sont dans une même colonne verticale; il suffit aussi pour placer la virgule du reste final, de remarquer que le dernier chiffre du produit du diviseur par le nombre écrit au quotient est du même ordre que le dernier chiffre de ce quotient, puisque le diviseur est entier; de même, le dernier chiffre du reste final exprime des unités du même ordre que le dernier chiffre écrit au quotient. |

940. La règle du n° 96 (p. 111), relative à la division des nombres entiers, s'applique ici :

Pour obtenir le nombre de dizaines, de centaines, de mille, ... de la partie entière du quotient, on divise par le diviseur, au sens de la théorie des nombres entiers, le nombre de dizaines, de centaines, de mille, ..…. du dividende. |

Cela résulte immédiatement du n° 96, puisqu'il n’y a pas lieu, pour obtenir la partie entière du quotient, de tenir compte de la partie décimale du dividende; mais la règle se continue, en quelque sorte, pour les chiffres décimaux, comme on le voit en allant de proche en proche. Par conséquent : |

On obtient les valeurs approchées du quotient exact à un dixième, un centième, … près, par défaut, en divisant par le diviseur, au sens de la théorie des nombres entiers, les nombres entiers que l’on déduit du dividende en s’arrêtant au chiffre des dixièmes, au chiffre des centièmes, …… et en faisant abstraction de la virgule; on sépare ensuite au quotient un, deux, … chiffres décimaux : le dernier chiffre du quotient doit exprimer des unités du même ordre que le dernier chiffre conservé au dividende. |

IL est bien aisé d'établir cette proposition directement. Supposons, par exemple, qu’on veuille avoir la valeur approchée à un dixième près, par défaut, du quotient exact

94247,78 DD on doit chercher la partie entière de 94947,78 10 949477,8 2 6 00 942477

qui est la même que la partie entière de 555 » puis diviser le

résultat par 10, c'est-à-dire séparer un chiffre décimal à droite du quotient de la division de 942477 par 272%, au sens de la théorie des nombres entiers. C’est la règle même que l’on a énoncée. |

Des remarques qui précèdent, on conclut une règle toute pareille à celle du n° 96 pour déterminer le premier chiffre significaüf(!) du quotient et l’ordre des unités qu’exprime ce chiffre.

On sépare, à gauche du dividende, un nombre qui, abstraction faite de la virgule, contienne le diviseur ei ne le contienne pas dix fois ; le chiffre qui exprime combien de fois le dividende partiel ainsi formé contient le diviseur est le premier chiffre significatif du quotient; il doit exprimer au quotient des unités du méme ordre que le dernier chiffre séparé au dividende. eS

Dans l'exemple du n° 938 (p.264), le dividende partiel formé d'après cette règle, est 942; son dernier chiffre exprime des centaines : 3 est le premier chiffre du quotient, il exprime des centaines.

Soit à diviser par 272 les nombres 17,895 et 0,00257, les dividendes partiels considérés sont 1789 et 2510. Les premiers chiffres : significatifs du quotient sont respectivement 6 et 9; les virgules doivent être placées aux quotients de manière que ces chiffres

4. C'est-à-dire le premier chiffre (à gauche) qui n'est pas un 0.

expriment des unités de même ordre que ceux qui précèdent l’astérisque dans les dividendes 17,89*5 et 0,002570* ; les quotients commencent respectivement par 0,06 et 0,000 009.

Le lecteur ne peut manquer de reconnaitre que l'emploi de cette règle pour déterminer l'ordre du premier chiffre du quotient, ou la place de la virgule, est avantageux lorsqu'il y a plusieurs zéros à gauche du quotient. Lorsqu'il y a une partie entière non nulle, la place de la virgule se détermine tout naturellement par la règle du n° 238.

241. Cas général. — Dans tout ce qu'on vient de dire, on a supposé le diviseur entier ; revenons maintenant au cas général, où le dividende et le diviseur contiennent des chiffres décimaux.

Lorsqu'il y a autant ou moins de chiffres décimaux au dividende qu'au diviseur, rien n'empêche d'appliquer la règle du n° 208 (p.238) : s'arranger, en plaçant au besoin des zéros à la suite du dividende, ‘pour qu'il y ait autant de chiffres au dividende qu’au diviseur ; effectuer ensuite la conversion ; mais lorsqu'il y a plus de chiffres décimaux au dividende qu’au diviseur, on est amené en suivant cette règle à introduire des zéros au diviseur, que l’on traîne ensuite d’une façon inutile tout le long de l'opération. Il est préférable de supprimer la virgule au diviseur et de l’avancer, au dividende, d’autant de rangs qu'il y avait de chiffres décimaux au diviseur : le diviseur est maintenant entier, on applique les règles sur lesquelles on vient d’insister :

La comparaison des deux méthodes se fera sur l'exemple suivant où l’on a poussé jusqu'aux dix-millièmes la division de 0,0856 par 2,3 :