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que l’on calculera en remplaçant au numérateur a etb par des valeurs grossièrement approchées par excès et le dénominateur par le carré d’une valeur grossièrement approchée de b (ou B) par défaut.

Le lecteur fera sans peine les observations suivantes relatives au cas où l’on sait dans quel sens a et b approchent de Aet deB;sia et

? : A 2 a b n'approchent pas dans le même sens, on sait dans quel sens re

se approche É si a et b approchent dans le même sens, on peut

prendre le plus grand des deux nombres

GR SPP Ces a U) 0 — bp? b

pour limite supérieure de l’erreur.

Enfin, il convient de remarquer encore que, lorsque le dénominateur b est petit, la limite supérieure de l'erreur peut être grande.

261. La division des nombres décimaux se ramenant à la division des nombres entiers, on pourra tirer parti des propositions établies aux n°5 68 (p. 58), 95 (p. 109), 99 et 100 (p. 113), auxquelles on peut ajouter la suivante, aussi aisée à démontrer : si, dans la division du nombre naturel a par le nombre naturel b, le quotient entier q est inférieur à b — 1, le quotient entier de la division de a par b — 1 sera q ou g +1.

Supposons maintenant que a et b soient les parties entières des nombres A et B, dont on voudrait avoir le rapport. Le rapport cherché est compris

ati

entre les fractions et

GE) 2 Hat ue É il sera certainement connu avec autant de chiffres exacts qu’on trouvera de chiffres communs (à gauche) en poussant aussi loin qu’on le voudra les divisions de a +1 par b et de a par b +1. Imaginons qu’on ait effectué la division de a par b de manière à avoir n chiffres décimaux ; on a ainsi une valeur approchée du rapport qu'on cherche ; je vais montrer que tous les chiffres en sont exacts, sauf peut-être une erreur d’une unité sur le dernier, en plus ou en moins, et la répercussion possible sur les chiffres précédents, si, comme je le suppose, les conditions suivantes sont vérifiées : 1° on a 107% Zb; 2 le quotient calculé, abstraction faite de la virgule, est moindre que b.

Désignons en effet par q, Q, q', g”' les parties entières des nombres Ss ——

n n ù D AE - ré Tout revient à démontrer que la différence entre q

et Q est moindre que 1; aq et Q sont tous deux compris entre les limites q' et g”, qu'ils peuvent d’ailleurs atteindre. La supposition 10° 7 b montre que q"” est égal à q ou à q +1; d'autre part, g” inférieur ou égal à Q, est moindre que b; dans la division de a10*% par b +1, le quotient g” est

moindre que le diviseur diminué d’une unité; q est done égal à g" ou à g''+1; on vient de voir aussi qu'il était égal à g' ou à g'— 1 ; que Q soit compris entre g' et q ou entre q et q'', sa différence avec q ne et dépasser 1.

$ 3. — Applications.

262. — Lorsqu'on calcule avec des valeurs approchées, on a à résoudre deux problèmes principaux.

I. Connaissant une limite des erreurs dont sont affectées les données, calculer une limite de l'erreur dont sera affecté le résultat, après qu'on a efiectué sur ces données les opérations prescrites.

IL. On se donne une limité supérieure de l'erreur qu’on veut bien se permettre sur le résultat; avec quelle approximation faut-il connaître les données et comment doit-on diriger les calculs pour que l'erreur finale ne dépasse pas la limite qu’on s’est fixée?

263. Premier problème. — Pour résoudre le premier problème, il suffit d'appliquer les règles du paragraphe précédent.

Le plus souvent, les calculs se feront sur des nombres écrits dans le système décimal, sur des nombres décimaux en particulier. Il conviendra d'évaluer les limites des erreurs de la même façon; naturellement, on ne gardera dans cette évaluation qu’un ou deux chiffres significaüfs, en ayant soin de prendre toujours une valeur approchée | par excès, afin d’être assuré d'avoir une limite supérieure (). :

La limite de l'erreur sur le résultat, à laquelle on parvient ainsi, renseigne sur le nombre de chiffres qu’il convient de garder ; il est évidemment absurde de garder des chiffres qui n’ont aucune valeur; si, par exemple, on trouvait 0,008 pour limite de l'erreur, il serait déraisonnable de garder dans le résultat Le chiffre des dix-milièmes, et les chiffres suivants ; on sacrifiera même volontüers le chiffre des millièmes, et on arrondira le résultat, en s’arrêtant au chiffre*des : centièmes ; mais il ne faut pas oublier que, de ce fait, on commet une nouvelle erreur, que l’on a appris à évaluer au n° 249 (p. 276) et qui est au plus égale et presque toujours inférieure à 5 unités de l’ordre du premier chiffre supprimé. Il ne faut pas oublier d'ajouter cette nouvelle erreur à celle qui entache le résultat primitif. Dans le cas où on vient de se placer, on pourra donc affirmer que l'erreur sur le résultat arrondi est moindre que 0,008 - 0,005 — 0,013. Je rappelle. que la connaissance d’une limite Supérieure de LE. permet de reconnaître les chiffres exacts.

1. Cette règle s'applique au cas où l’on évalue les erreurs qui résultent d’un calcul. Si, au con-. traire, on se propose la détermination d’un nombre avec une erreur moindre que < et si l'on veut remplacer « par un nombre décimal, on remplacera « par une valeur approchée par défaut.

Enfin je rappelle aussi que, lorsqu'on connaît le sens des erreurs, on peutsouvent en profiter pour améliorer les limites que l'on cherche.

On donne ci-dessous quelques exemples, dont chacun est relatif à une opération unique, addition, soustraction, multiplication ou division. Le lecteur trouvera plus tard des exemples qui comporteront plusieurs opérations consécutives.

: 264. Exemples. — 1° Trouver une valeur approchée de la somme des

trois nombres À, B, GC dont a — 31,428, d — 7,825, c — 14,642 sont des valeurs approchées avec des erreurs moindres que 0,001. On fera l'addition des nombres a, b, c; l'erreur dont la somme 53,895 est entachée est moindre que 0,003; la somme A+B +C est comprise entre 53,898 et 53,892; en prenant 53,89 comme résultat, on est sûr que tous les chiffres sont exacts.

20 Trouver une valeur approchée du produit AB des deux nombres À, B dont a —18,751 et b—0,0934 sont des valeurs approchées; les erreurs sont supposées moindres qu'une demi-unité de l’ordre du dernier chiffre pour a, et qu'une unité de l’ordre du dernier chiffre pour b.

Prenons 20 et 0,1 comme valeurs grossièrement approchées de A et de B. L'erreur que l’on commet en prenant a x< b pour valeur approchée de A x B est moindre que 0,0005 x 0,1 +0,0001 x 20 << 0,003 ; on a d’ailleurs a x b—1,17513434, le chiffre des millièmes n’a déjà pas grande valeur; en le supprimant on commettra une erreur moindre que 0,002; l'erreur totale sera moindre que 0,005 ; le nombre 1,75 est une valeur approchée du produit A x B avec une erreur moindre qu'un demi-centième.

Le lecteur a été sans doute frappé du grand nombre de chiffres inutiles qui ont été calculés. Après avoir reconnu qu'il n'y aura guère lieu de conserver les chiffres qui suivent le chiffre des centièmes, il est assez naturel d'appliquer la méthode abrégée (n°259, p. 283), en calculant comme d’habitude deux chiffres de plus qu’on n’en conservera ; l'opération est figurée ci-dessous :

Si on applique strictement la règle du n° 259, on prendra 18,751 pour valeur approchée du produit À x B le nombre 1,76 et 4 390,0 l’on sera sûr que l'erreur sera moindre que 0,01 + 0,003. Si DE DES

. ne ne 16875 de résultat est un peu moins précis, le calcul a été beaucoup 61 plus court.

; : 72 30 En conservant les mêmes données, trouver une valeur 1,15 08

A rapprochée de EF :

On pourra prendre 0,09 comme valeur grossièrement approchée par défaut de b, puis 300 comme valeur grossièrement approchée par excès du quo-

tient Z ; on aura alors comme limite de l'erreur b

En faisant la division de 18,751 par 0,0934, il n’y aura pas lieu de pousser les calculs au delà du chiffre des dixièmes ; on trouve pour quotient 200,7... ; on prendra pour valeur approchée 201, avec une erreur moindre qu'une unité.

265. Second problème. — Abordons maintenant le second problème, sur lequel je ferai d’abord quelques remarques. On veut avoir une valeur approchée du résultat de certaines opé-

rations qui devraient être effectuées sur des nombres (exacts) À, B,.

C, …, qu’on effectuera en réalité sur des nombres approchés, et l'on

veut que l'erreur sur le résultat soit moindre qu'un nombre donné e.

Ce problème peut se poser de diverses façons.

Les nombres A, B, C, .…, peuvent être connus exactement: ils sont, par exemple, égaux à des fractions dont les termes ne sont pas assez simples pour que l'application des règles du chapitre vs soit aisée ; on substitue à ces nombres exacts des nombres décimaux approchés, sur lesquels on opère, au lieu d'opérer sur À, B, C, .… ; comme on peut avoir des nombres décimaux aussi approchés de A, B, C, … qu'on le veut, le lecteur prévoit sans doute que le problème posé est toujours possible, quelque petit que soit e: c’est ce qui résultera d’ailleurs aisément des règles qui vont suivre.

Il n’en est pas toujours ainsi quand les nombres A, B, C, ... ne sont

pas exactement connus, quand on n'en connaît seulement des.

valeurs approchées A, B', C!, …, qui peuvent être, par exemple, des ‘résultats de mesures. On peut alors effectuer les calculs sur les nombres A’, B', C’, ..… Si l’on connaîtune limite de l'erreur dont est entaché chacun de ces nombres, on saura, en appliquant les règles précédemment expliquées, calculer une limite de l'erreur sur le résul-

{at ; si la limite trouvée est moindre que &, le problème est résolu ;.

si, au contraire, elle est supérieure à &, lé problème est en général impossible. A la vérité, lorsque la limite de l'erreur commise sur le résultat est voisine de :, il peut arriver qu’en calculant cette limite d'une façon plus serrée, on parvienne à constater qu’elle est moindre que s ; mais il est clair que cela n'arrivera pas toujours : 1l est absurde, par exemple, de demander une valeur approchée avec une erreur moindre qu’un millième, de la somme de deux nombres, lorsqu'on n’en a que des valeurs approchées, comportant des erreurs dont on sait seulement qu'elles sont moindres qu'un centième. On supposera dans ce qui suit que les nombres A/, B', C!, .… soient suffisamment approchés de A, B, C, … pour que le problème posé

soit possible.

CREER < er

Il arrivera fréquemment que les calculs, menés comme on vient de dire, soient très longs et manifestement inutiles en partie; on a déjà insisté sur ce que la multiplication conduit à des chiffres sans valeur ; une division peut être poussée aussi loin qu'on veut; les chiffres inutiles fournis par chaque opération intern éliaire compliquent et alourdissent les calculs ultérieurs. Il est raisonnable de chercher à faire les calculs sans trop de peine et de façon à obtenir cependant une bonne approximation : il est possible de les simplifier beaucoup quand on se contente d'une approximation grossière, en supprimant les chiffres inutiles après chaque opération. Bien entendu, après chaque opération on doit tenir compte et de l'erreur qui résulte des données et de l'erreur qui résulte de ce qu’on arrondit le résultat.

Comme pour les exemples qu'on a traités dans le précédent numéro, je supposerai d'abord qu'il ne s'agisse que d’une seule opéralion.

266. Addition. — Sur l'addition, je commencerai par une remarque qu’on a souvent l'occasion d’appliquer.

Supposons qu'on n'ait pas plus de dix nombres A, B, C, à ajouter, que, pour calculer une valeur approchée de leur somme, on leur substitue des valeurs approchées a, b, c, .… comportant toutes le même nombre de décimales et que, pour chacune de ces valeurs, l'erreur soit au plus égale à une demi-unité de l’ordre du dernier chiffre ; puis que, après avoir effectué la somme, on arrondisse le résultat en supprimant le dernier chiffre ; l’erreur totale sera au plus égale à 5 +5 unités de l’ordre de ce chiffre, ou à une unité de l’ordre du dernier chiffre conservé.

Si donc on veut avoir la somme avec n chiffres décimaux, et une erreur au plus égale (!) à une unité de l’ordre du dernier chiffre, on pourra procéder comme on vient de l'expliquer, en prenant les nombres à ajouter avec n + 1 décimales.

267. Supposons, en général, qu'on veuille calculer, avec une erreur moindre que £ (?), la somme de p nombres A, B, C, ..….. Soient a, b, c, … les nombres approchés qu'on leur substituera et soit &' un nombre supérieur aux erreurs dont sont affectés ces nombres; a+b+c+.…. sera une valeur approchée de AHB+C<+..., avec une erreur moindre que pe’ ; le problème posé sera donc résolu

1. 11 est à peine utile de répéter une fois de plus que l'égalité n'arrivera presque jamais.

2. Je rappelle que, dans la pratique, € est très souvent évalué en unités décimales, avec un ou deux chiffres significatifs ; quand on simplifie le nombre qui représente €, il faut avoir soin de prendre toujours des valeurs approchées par défaut.

si l'on à ps Ze, lorsque les nombres @&, b, €, … sont, comme je le

suppose dans ce qui suit, écrits sous forme décimale, ainsi que leur

somme & + b + c + …. Supposons qu’on arrondisse cette somme en s’arrêtant à un certain chiffre; on commet alors une nouvelle …

erreur au plus égale à, en désignant par w une unité (composée, +

simple, ou décimale) de l'ordre du chiffre auquel on s’est arrêté. L'er- vd

reur totale est donc moindre que pe: + | et le problème posé sera ;

résolu si l’on a

: (a) Le RTE

Il convient de remarquer, sur cette inégalté, dans laquelle les

nombres p, « sont donnés tandis que =’ et w sont inconnus, que, sielle

est vérifiée pour un couple de nombres :', w, elle est encore vérifiée si on remplace ces nombres par des nombres respectivement égaux

ou plus petits puisque chaque partie de la somme qui figure au pre- … mier membre est alors remplacé par un nombre égal ou plus petit. nu

On choisira w de façon que z soit inférieur à « (mais non égal),

puis s! de façon que l'on aitpe' Ze 7 ; c'est-à-dire <! inférieur à

Il y a avantage à prendre w aussi grand que possible, afin d’avoir :

un résultat plus simple ; on ne peut d’ailleurs le prendre plus grand

qu’une unité de l’ordre du premier chiffre significatif de 2e écrit sous

forme décimale. Il peut arriver que, en adoptant cette valeur pour e, la valeur correspondante pour n soit trop petite pour quon puisse,

au moins lorsque les nombres A, B, GC, ne sont pas connus exacte-

ment, se procurer des valeurs @, b, €, … approchées avec une erreur … moindre que n ; on prendra alors pour w une valeur dix, cent, ... fois

plus petite; quelques tâtonnements peuvent être nécessaires. Au

reste, il est bien entendu qu'il n’y aurait rien à faire, si l’on ne pouvait se procurer des valeurs 4, b, C, … approchées avec une erreur |

° € moindre que .

Supposons qu'on n’ait pas à craindre de difficultés de cette sorte. 4 Après avoir choisi w, on déterminera (n° 252, p. 278) les nombres 4, … :