Le sens de ces mots sera précisé un peu plus loin

pu mettre à droite pour tenir la place de chiffres qu’on ne connaît pas, ou qu'on néglige. Les chiffres significatifs de 0,0125 sont 1, 2, 5, ceux de 0,307 sont 3, 0, 7. Quand on parle d’un corps d’armée de 23 000 hommes, quand on dit que la distance de la Terre au Soleil

est de 23000 rayons terrestres, les zéros de droite remplacent mani-

festement des chiffres qu'on ne connaît pas ou qu'on néglige, les chiffres significatifs sont 2 et 3. Si l’on parle d'un corps d'armée de 20 000 hommes, le 0 qui suit le 2 devra être regardé comme significatif si l’on entend que le corps d’armée contient plus de 19000 hommes et n’en contient pas 21 000 ; de même, en disant que 0,30

est la valeur approchée de

rant une longueur avec une règle divisée, on l’a trouvée à très peu près égale à 30 centimètres, je regarderai les chiffres 3 et 6 comme significatifs (1).

Quand on parle du rang d’un chiffre significatif, on entend que les chiffres significatifs du nombre que l’on considère se suivent de gauche à done.

246. Chiffres exacts. — Je dirai qu un nombre A a connu avec p chiffres exacts si l’on connaïit les p» premiers chiffres de sa représentation décimale (avec leur ordre), à partir du premier chiffre de gauche qui n’est pas un zéro. Si, en parlant d'un corps d'armée de 23000 hommes, je sais que ce Corps d'armée contient au moins 93 mille et ne contient pas 24 mille hommes, je pourrai dire que le nombre d'hommes est connu avec deux chiffres. Si, en parlant d'une longueur, je sais qu’elle contient 375 centimètres et qu'elle

à un centième près, ou que, en mesu-

n’en contient pas 376, je dirai que la mesure est connue avec trois chiffres ; en prenant le mètre pour unité de longueur, et écrivant la mesure approchée 3,75, je dirai aussi que ce nombre est connu.

avec deux décimales exactes; il est alors sous-entendu que la partie entière est exacte.

247. Ces définitions précises, auxquelles je me tüendraï, ont lin-

convénient de privilégier, en quelque sorte, les valeurs approchées.

par défaut : or, des deux valeurs approchées d’un nombre A à « près, J’une par défaut, l’autre par excès, la meilleure, à moins de raisons

1. On recommande avec raison d'écrire le résultat d'une mesure ou d’un calcul avec un nombre

de décimales qui renseigne sur le degré Doha qu'on attribue à ce résultat ; ainsi, en

, prenant le mètre pour unité, on écrira 7,500 (et non 7,5) pour exprimer la mesure d'une longueur

faite avec assez de soin pour qu'on regarde l'erreur sinon comme moindre qu'un millimètre, au moins comme n'étant pas beaucoup plus grande; l’écrituré 7,5 pourrait laisser croire qu'il s’agi d'une mesure grossière, à un décimètre près, par exemple ; il n’y à pas d'inconvénient à suivre

cette recommandation, même quand.on spécifie la limite de l'erreur ; dans le cours d’un calcul, il

n’y a évidemment pas lieu d'en tenir compte.

Signe. Ne Dre PUTE ER SE DIR Re,

spéciales, est celle qui est la plus approchée, celle qui comporte la moindre erreur; on doit les regarder comme également bonnes, si on ne sait pas les distinguer. C’est dans le cas où le nombre exact A est très voisin d'un nombre entier d'unités simples, composées ou décimales, qu'il est plus difficile d’avoir une certitude sur l'exaciitude des derniers chiffres de sa valeur approchée.

Supposons, par exemple, que deux longueurs, mesurées avec des instruments de précision, aient été trouvées, en prenant le mètre pour unité, égales à 2,3001 et à 2,2999 ; ces deux longueurs apparaitront à celui qui voudrait les mesurer avec un mètre ordinaire comme exactement égales à 23 décimètres ; l’opérateur ne distinguera pas ces deux longueurs, il ne saura pas si le nombre 9,3 qu'il adoptera comme mesure de l’une et de l'autre est approché par excès ou par défaut et ne s’en préoccupera certainement pas. Il y aurait lieu de faire des observations analogues sur les nombres que l’on peut calculer avec telle approximation que l’on veut : lorsqu'un chiffre de la représentation décimale doit être suivi de zéros ou de 9, on peut être obligé pour le déterminer exactement, de pousser l’approximation plus loin que ne semble le comporter l'ordre de ce chiffre.

Je dirai de deux nombres écrits dans le système décimal que l’un est plus simple que l’autre s’il comporte moins de chiffres significaüfs.

248. Plaçons-nous dans le cas où le nombre A’, qui approche du nombre exact A, est écrit dans le système décimal, et désignons par w une unité du même ordre que son dernier chiffre significatif. Ainsi, dans ces deux exemples : « 3, 14 ést une valeur approchée de

Terre, quand on prend le rayon terrestre pour unité de longueur », on à w = (0,01 pour le premier, w —1000 dans le second. Il est commode d'exprimer la limite e de l'erreur en unités de l'ordre du dernier chiffre significatif, c’est-à- dire de la mettre sous la forme mu. Quitte à remplacer & par un nombre plus grand, on s’arrange d’ordiuaire pour que # soit un nombre entier, ou une fraction à termes

Ac. 3 simples comme >, +, 7,

; 23 000 est une valeur approchée de la distance du Soleil à la

Si on convertit A’ — & et A' + « en nombres décimaux, les chiffres de gauche communs à ces deux nombres appartiendront certainement à la représentation décimale de A ; de même les chiffres communs aux nombres décimaux respectivement égaux à A'et

à A! + :, quand A'est approché par défaut, à A/ — e et à A' quand A’ est approché par excès.

Les nombres A! — &, A! + e se calculent aisément lorsque e a été mis sous la forme mw, comme on l’a expliqué un peu plus haut, et que » est un nombre simple. Supposons, en particulier, m= 1; alors A’ est une des deux valeurs approchées de À à w près, en sorte que la valeur approchée de A à w près par défaut, est nécessairement le nombre A, ou le nombre À — vw qui se déduit de A’ en diminuant d’une unité le dernier chiffre significatif; sauf dans le cas où ce dernier chiffre est un zéro, tous les chiffres qui précèdent, sont exacts. Si l’on avait m — 9, la valeur approchée de A, à w près par défaut, serait A! — 2, A/ — w, A! ou A + w; le nombre A! + 2v, qui est plus grand que a doit évidemment etre exclu. Si, par exemple, on a A'— 3,6184 et e —= 0,0002, on peut être sûr que les quatre premiers chiffres de A’ sont exacts.

249. Lorsqu'on connaît les premiers chiffres de la représentation décimale d'un nombre À, on connaît par là même les valeurs approchées de À, par défaut et par excès, avec un nombre moindre de chiffres significatifs ; il est alors aisé d’avoir des limites inférieure et supérieure de l'erreur commise en adoptant pour A quelqu’une de ces valeurs approchées.

Supposons, par exemple, À = 72,362518... et considérons les. valeurs approchées au centième près 72,36 et 72,37; les erreurs correspondantes seront À — 72,36 et 12,37 — À —0,01 —(A— 12,306). Or la représentation décimale de A — 72,36 est (n° 232) 0,002518 ; c'est-à-dire que l'erreur A — 72,36 est supérieure ou égale aux nombres 0,002; 0,0028 ; 0,00251 ; … et qu’elle est inférieure aux nombres 0,003; 0,0026 ; 0, 00259 : se Dans le premier cas, je n’ai pas exclu l'égalité parce que ae ia chiffres qui suivent celui auquel on s'arrête dans l'évaluation de l'erreur pourraient être des zéros. D'après cela, l'erreur 72,37 — A est inférieure ou égale aux nombres

elle est supérieure aux nombres 0,040 — 0,003 — 0,007 ; 0,0100 — 0,0026 — 0,0074 ;....

En particulier, les règles qui suivent sont maintenant évidentes. Supposons qu'on limite la représentation décimale d'un nombre

À à un certain chiffre; soit a le chiffre suivant (le premier chiffre

négligé), l'erreur que l’on commet en remplaçant À par la valeur:

approchée par défaut ainsi obtenue est moindre que a H 1 unités de l'ordre du premier chiffre négligé ; elle est au moins égale à'a unités du même ordre; et elle n'est égale à ces a unités que dans le cas, très particulier, où tous les chiffres qui suivent le premier chiffre négligé seraient des zéros.

Si au lieu de choisir la valeur approchée par défaut, on choisit la valeur approchée par excès, avec le méme nombre de chiffres, l'erreur commise est inférieure ou égale à 10 — a unités de l'ordre du premier chiffre négligé, l'égalité n'ayant lieu que dans le méme cas exceplionnel que l’on a signalé ; l'erreur dépasse 10 — a —1 unités de l’ordre considéré.

250. De la valeur approchée par défaut, ou de la valeur approchée par excès, quelle est la meilleure, celle qui comporte la moindre erreur ?

D'une façon générale, si l'on veut choisir celle des deux valeurs qui comporte l'erreur la plus faible, on choisira la valeur approchée par défaut si le premier chiffre négligé a est l’un des chiffres 0, 1, 2, 5, 4; on choisira la valeur approchée par excès si a est l’un des des chiffres 5, 6; 7, 8,9 ; on dit alors qu'on a forcé le dernier chiffre conservé. En procédant de cette façon l'erreur commise est au plus égale à 5 unités de l’ordre du premier chiffre négligé, ou à une demi-unité de l’ordre du dernier chiffre conservé ; elle n’atteint cette limite que dans le cas exceptionnel où, le premier chiffre négligé étant un 5, tous les chiffres suivants seraient des zéros.

Dans ce cas, on aurait pu aussi bien choisir la valeur approchée par défaut que la valeur approchée par excès. L’habitude est de forcer, afin qu'il y ait autant de cas où l’on force que de cas où l'on ne force pas. On comprend en effet que dans un long calcul, il y ait plus de chances que, de cette façon, les erreurs se compensent mieux.

Sauf le cas exceptionnel sur lequel on vient d'’insister, la valeur choisie d’après la règle précédente est une des deux valeurs approchées à une demi-unité près de l'ordre du dernier chiffre conservé : il est facile de voir que l’autre comporterait un chiffre de plus.

251. On applique la même règle, mais avec des conclusions un peu moins précises, lorsqu'on a une valeur approchée A’ du nombre À, valeur qui comporte un chiffre significatif de plus qu’on n'en veut garder, et que l’on n’est pas sûr de l'exactitude de ce dernier chiffre, qu'on veut supprimer, lorsque, par exemple, A’ est une valeur approchée avec une erreur moindre qu’une unité de l'ordre du dernier chiffre; mais qu’on ignore si celte valeur est

PR Cu LEÇONS D’ARITHMÉTIQUE.

approchée par défaut ou par excès. Il est aisé de voir que, si le dernier chiffre significatif de A (le chiffre qu’on veut supprimer) est 0, 1, 2, 3, 4, on ne devra pas, après l'avoir supprimé, forcer le chiffre précédent; qu'on devra le forcer, au contraire, si le chiffre supprimé est6, 7, 8, 9; qu'il y a doute si ce chiffre est 5 ; l'habitude est alors

de forcer, pour la raison qu'on a dite plus haut; mais on peut

commettre alors une erreur un peu plus grande qu’une demi-unité de l’ordre du dernier chiffre conservé. | Je dirai, d’une façon générale, qu'on a arrondi un nombre lors-

qu’on a supprimé (ou remplacé par des zéros) les derniers chiffres .

à droite de ce nombre, en forçant le dernier chiffre conservé, si le premier chiffre supprimé est 5 ou un chiffre plus fort (!). Remarquons en passant que le fait de forcer un chiffre n’a pas de répercussion sur les chiffres précédents, sauf le cas où le chiffre qu’on force est un 9; de même, en diminuant un chiffre d’une unité, on ne change pas les chiffres précédents, tant que l'opération

est possible à proprement parler, tant que le chiffre qu’on veut dimi- !

nuer n'est pas un 0.

252. En supposant toujours connus les premiefs chiffres de la représentation décimale d’un nombre A, on a souvent, dans les calculs, à déterminer la valeur approchée de A que l’on choisira par la condition que l'erreur commise soit moindre qu’un nombre donné a. Quitte à le remplacer par un nombre plus peut, on peut toujours supposer que « est mis sous forme décimale (avec un ou deux

chiffres significatifs) ; dès lors la règle donnée plus haut pour

évaluer l'erreur commise quand on remplace A par une de ses valeurs approchées par défaut ou par excès avec un certain nombre de chiffres et la règle pour reconnaître, de deux nombres décimaux, quel est le plus grand, permettront de répondre aisément à la ques-

1. Dans la plupart des tables numériques, les nombres inscrils ont été ainsi arrondis. Très souvent, on indique par un signe si le dernier chiffre a été forcé, en sorte que l’on sait, pour chaque nombre, s'il est approché par défaut ou par excès; en désignant toujours par w une unité de l’ordre du dernier chiffre, le nombre inscrit dans la table est approché avec une erreur moindre

uw AU w wo 2 ; F 5 € que —-; en lui ajoutant T7 *°uen retranchant Path suivant que le dernier chiffre n'est pas forcé

4 r ‘ LL ou est forcé, on a une valeur approchée avec une erreur moindre que —* Un autre procédé (dû à M. Thiele) consiste à ne forcer (d'ailleurs sans mettre d'indication) que si l'erreur que l'on commettrait en ne forçant pas le dernier chiffre est supérieure à mu. et à

ot 1 3 affecter d’un signe les nombres pour lesquels cette erreur est comprise entre rt et MAN de

cette facon, si l’on faisait suivre d’un 5 les nombres marqués d’un signe, tous les nombres de la

table comporteraient une erreur au plus égale à Fe v

tion. En particulier, on pourra procéder de la façon suivante, qui

fournit celle des valeurs approchées qui comporte le moins de chiffres possible :

Soit w une unité de l’ordre du dernier chiffre significatif du nombre

décimal cherché : on déterminera w par la condition + <a; on

prendra pour cela w du même ordre que le premier chiffre significatif de 2 (1). On s'arrêtera dans la représentation décimale de A au chiffre d'ordre w et on le forcera s’il y a lieu.

Si par exemple on a A—2,7182818... et si l'on veut une valeur

approchée avec une erreur moindre que 2-5 » ON voit tout de

suite que 0,01 est moindre que 2«; on prendra donc 2,72 pour valeur approchée.

253. Valeurs grossièrement approchées.. — Lorsqu'on veut évaluer l'erreur qui résulte d’un calcul, il peut être utile de connaître, pour chacun des nombres qu’on remplace dans ce calcul par des valeurs approchées, deux limites, l’une supérieure, l’autre inférieure, qui soient représentées par des nombres simples, par des nombres qui ne comportent, par exemple, qu’unt ou deux chiffres significalifs : j'appellerai souvent de pareilles limites des valeurs « grossièrement approchées par défaut ou par excès ». Je ne préciserai pas davantage cette expression, en général; mais il doit être bien entendu que, si l’on part d’une valeur approchée A' du nombre A, avec une erreur dont on sait seulement qu’elle est moindre que z, toute valeur grossièrement approchée par défaut devra être au plus égale à A/—e, et, que toute valeur grossièrement approchée par excès devra être au moins égale à A'+e.

Supposons, en conservant les mêmes notations, que les nombres A!, A!—e, A+ e soient écrits dans le système décimal ; c’est ce qui aura lieu tout naturellement si, A’ était écrit dans ce système, & est exprimé en unités de l'ordre du dernier chiffre significatif de A”.

Le nombre qui se déduirait de A! —+ en ne gardant que le premier chiffre significatif et en remplaçant les chiffres suivants par des zéros, constituera ce que j'ai appelé une valeur grossièrement approchée par défaut; on peut d’ailleurs diminuer le premier chiffre : significatif, le remplacer par 1, ou substituer à l’un des nombres ainsi formé un nombre plus petit; on peut aussi, au lieu de ne gar-

1. Il me paraît inutile de m'arrêter sur le cas où 24 serait précisément égal à une unité (compo-sée, simple ou décimale).

‘380 LECONS D’ARITIHMÉTIQUE.

der qu’un chiffre significatif, en garder deux. Sauf des cas très exceptionnels, qui pourraient se présenter si lé premier chiffre significatif

de À’ était suivi de zéros, le premier chiffre significatif de A! — : est,

ie même que celui de A/, en sorte qu'on n’a pas à se préoccuper de +. Si par exemple on a A/—72,857, pour que 10 ne fût pas certainement inférieur à À, il faudrait que l’erreur dépassât 2 unités ; il aurait été absurde d'écrire A’ avec 5 chiffres significatifs. Si l’on avait A'—0,1001, :—0,0002, on prendrait par exemple 0,09 pour valeur grossièrement approchée par défaut.

De même on pourra prendre pour valeur grossièrement approchée de A, par excès, le nombre qui se déduit de A'+e en forçant le

premier chiffre significaüf, en le remplaçant au besoin par 10, et en

mettant des zéros à la place des autres chiffres ; ici encore, le premier chiffre significatif de A'+e est habituellement le même que celui de A’; il peut y avoir exception si le premier chiffre de A' était suivi de 9; on forcera alors davantage le premier chiffre, etc.

Ces valeurs plus ou moins grossièrement approchées, par défaut ou par excès, qu’on vient d'apprendre à former, permettent d'obtenir les résultats grossièrement approchés, par défaut ou par excès d'opérations à effectuer, et cela par des calculs qui, souvent, peuvent être faits de tête, ou, au moins, sans aucune peine. Il suffit d'appliquer les règles évidentes qui suivent. C’est d’ailleurs sur ces règles que se fonde en général le calcul des erreurs.

254. Valeurs approchées par défaut ou par excès du résultat d'un calcul. — On obtient une valeur approchée, par défaut, du résultat d'une addition ou d'une multiplication en remplacant les nombres à ajouter, ou à multiplier, par des valeurs approchées par défaut de ces nombres ; en les remplaçant au contraire par des valeurs approchées par excès, on obtient une valeur approchée par excès de la

somme.

En remplaçant dans une somme algébrique les termes additifs par des valeurs approchées par défaut, les termes soustractifs par des valeurs approchées par excès, on obtient une valeur approchée par défaut ; on obtient une valeur approchée par excès de la somme algébrique, en remplaçant les termes additifs par des valeurs approchées par excès et les termes soustractifs par des valeurs approchées par défaut. |

Dans le cas d'une division, on substituera respectivement au dividende et au diviseur des valeurs approchées par défaut et par excès, ou par excès el par défaut, Suivant qu'on veut avoir une valeur approchée par défaut ou par excès du quotient exact.

Si l’on veut d’ailleurs que la valeur approchée soit écrile sous forme décimale, on calculera le quotient par défaut dans le premier cas, par excès dans le second.

Si l'on a à effectuer une suite d'opérations, additions, soustractions, multiplications et divisions, on n’aura pas de peine, en appliquant à chaque opération les remarques qui précèdent, à obtenir une valeur approchée par défaut et une valeur approchée par excès du résultat final.

Les diverses propositions qui précèdent s’appliquent en particulier au cas où ces nombres qu’on remplace par des valeurs approchées par défaut et par excès sont des nombres inconnus dont on ne sait rien autre chose sinon que chacun est compris entre une valeur approchée par défaut et une valeur approchée par excès, valeurs approchées que l’on connaït toutes deux. Alors on ne peut rien savoir de plus sur le résultat d’une opération à effectuer sur ces nombres inconnus, sinon qu'il est compris entre la valeur approchée par défaut et la valeur approchée par excès calculées, comme je viens de l'expliquer, au moyen des limites données qui comprennent les nombres inconnus sur lesquels on voudrait effectuer le calcul.

Connaissant une limite inférieure et une limite supérieure entre lesquelles doit être compris le résultat exact, on sait trouver une limite de l'erreur commise en adoptant pour ce résultat exact soit la limite inférieure, soit la limite supérieure, soit tel nombre intermédiaire que l'on voudra, par exemple la moyenne arithmétique.

Mais la précision sur laquelle on peut compter en opérant ainsi est rachetée par la longueur des calculs, qui, pour peu qu'on ait beaucoup d'opérations à faire, deviennent impraticables. On est encombré de chiffres sans valeur et l'effort qu'on fait est en grande partie imutile. Je vais montrer comment, en s’appuyant sur les mêmes règles, mais en calculant grossièrement les erreurs, on parvient, par des calculs simples, à des résultats très suffisants dans la pratique.

$ 2. — Opérations. — Évaluation des erreurs.

955. Addition. — Soient À, B, C, D des nombres inconnus dont on connaît des valeurs approchées a, b, c, d et désignons par a, b, y, ô des limites supérieures des erreurs que comportent respectivement ces valeurs approchées ; d’après ce qu'on a dit au n° 254, la somme A+B+C—+D sera comprise entre les nombres

(a =) + (0 8) + (cv) + (dû) —a+b+c+d—(a+8+y+ à)

to LO

(a+ o)+(b+B+L(C+y+(GES) bc) di GEI

dont les différences avec a + b + c+ 4 sont égales à a+ B+,+3. Ainsi, en prenant pour valeur approchée de la somme des nombres À, B, C, D la somme de leurs valeurs approchées à, b, c, d, on Commettra une erreur moindre que la somme des limites des erreurs. |

Supposons qu'on sache le sens des erreurs dont sont entachés les |

nombres @, b, c, d': on sait, par exemple, que les deux premiers sont approchés par défaut, les deux seconds par excès.

On peut dire alors que A, B, C, D sont inférieurs respectivement à a+ a, b +, c, d et supérieurs respectivement à a, b,c—7Y, d— HE leur somme sera donc comprise entre a+b+c+dq— (+5) et a+b+c+d+ (a+ $); par suite a+ b + c+ d sera une valeur approchée de cette somme, avec une erreur moindre que la plus grande des deux sommes obtenues en faisant d’une part la somme des erreurs en moins, d'autre part la somme des erreurs en plus.

256. Soustraction. — Si a, b sont des valeurs approchées des nombres A, B avec des erreurs moindres que «x, $, le nombre a — b sera une valeur approchée de A —B avec une erreur moindre que «+ 6. Si a et b sont approchés dans le même sens, tous deux par défaut, ou tous deux par excès, l'erreur commise en prenant 4 —

pour valeur approchée de A —B est moindre que la plus grande |

des quantités &, £.

Je laisse au lecteur le soin de faire la démonstration. 4

257. Multiplication. — Soient 4, b des valeurs approchées des nombres À, B, avec des erreurs moindres que «, 8; les produits AB. et ab sont compris entre (a — «) (b— 8) et (a+ a) (b +8): l’erreur commise en remplaçant AB par ab, c’est-à-dire la différence entre AB et ab, sera donc moindre que la plus grande des deux différences

ab — (a — x) (b — à) — ab + ba — a8, (a+ à) (b +8) — ab = af + ba + af ;

on prendra comme limite de l'erreur la quantité Q$ + ba + af = a8 + (b + 8) à = (a + à) BH ba.

On calculera d’ordinaire cette limite en remplaçant a et b + 8 ou a + « et à par des nombres notablement plus grands, c’est-à-dire

EUR PE PAT ER MEME AE | LÉ RÉ D ee TRE

par des valeurs grossièrement approchées de A et de B par excès (1).

Si l’on sait que les deux nombres 4, b sont tous deux approchés par défaut, ou qu'ils sont tous deux approchés par excès, on appli- : quera la même règle, et on saura dans quel sens ab est approché. Si a est approché par défaut et b par excès, on pourra prendre pour limite de l'erreur le plus grand des deux nombres @a8 et ba, ainsi que le lecteur le reconnaïîtra aisément.

258. Quand on fait le calcul avec des nombres décimaux, comme la multiplication revient toujours, au fond, à une multiplication de nombres enüers, il est commode de profitèr des remarques qui ont été faites au n° 92 (p. 100) et d’où résulte immédiatement la proposition suivante.

Si les nombres A, B sont connus l’un et l’autre avec un certain nombre de chiffres (n° 246, p. 274) au moins égal à p, si les nombres décimaux à, b sont les valeurs approchées de A, B formées avec ces chiffres, si l’on effectue le produit ab et que, tout en laissant la virgule à sa place, on remplace les p derniers chiffres du produit par des zéros, les chiffres restants seront exacts, sauf peut-être le dernier et la répercussion possible sur les chiffres précédents : quant à ce dernier chiffre il peut se faire qu’il doive être augmenté de une ou deux unités.

Cette remarque même montre que, en appliquant le procédé ordinaire de mulüplication, on calcule beaucoup de chiffres inutiles : on évitera cet inconvénient en employant la muliiplication dite abrégée.

259. Il convient de dire quelques mots sur la façon dont ce dernier procédé s'applique à la multiplication de deux nombres décimaux donnés, quand on ne veut pas conserver tous les chiffres au produit. Le lecteur n’aura qu'à se reporter au n° 93 (p. 101) pour justifier la règle qui suit :

Sous le multiplicande, on écrit le multiplicateur renversé, en s’arrangeant pour que le produit de deux chiffres placés l’un audessous de l’autre représente des unités cent (?) fois plus petites que le dernier des chiffres que l’on veut garder au produit. On peut d’ailleurs se dispenser d'écrire les chiffres qui ne donneraient rien au produit, à savoir les chiffres du multiplicande qui, au-dessous d’eux

1. Au reste, on pourrait aussi bien prendre A8+(B+8)a = (A + 0) 8 + Be comme limite de l'erreur, puisque AB et ab sont compris entre (A — «) (B-— #} et (A + a) (B + 8).

2. En supposant que la somme des chiffres du multiplicateur soit inférieure à 100.

et à droite, n'auraient rien ou rien que des zéros, comme les chiffres du multiplicateur qui, au-dessus d’eux à gauche, n'auraient rien ou rien que des zéros ; on effectue le produit comme on a expliqué au

n° 93 et on supprime les deux derniers chiffres; la virgule se place

sans peine puisqu'on connaît l’ordre du dernier chiffre conservé. Ce dernier chiffre peut être exact ou trop faible d’une unité. Il y a donc intérêt à le forcer. Le résultat ainsi obtenu est la valeur approchée du produit des nombres décimaux donnés à une unité près de l’ordre du dernier chiffre conservé, par défaut ou par excès.

260. Division. — Soient a, b des valeurs approchées de A, B avec

HE des erreurs moindres, que «, f, la fraction sera comprise, comme

B a ë a— a a+ a Je a A re entre les LAENOESS res , la différence entre va et E

sera donc inférieure à la plus grande des différences ad a—u N(b+P)—h{(a—«a) ap +!

Does b (b + Ë) 2 ONDES a+ « a b(a+a)—a(b—$) a+ 666 do D-De

On prendra la seconde pour limite supérieure de l’erreur commise

A (0) PM en remplaçant Tg Par 77, en l’'écrivant sous la forme

Le œ He 6 ee 0 — 8 bi 0 6 0e

On calculera celte limite en divisant par une valeur grossièrement approchée par défaut de b (ou B), la somme de « et du produit de 8 par une valeur grossièrement approchée par excès du quotient

L2 (ous)?

() B On peut prendre aussi pour limite de l’erreur le nombre ab + ba Ur br

| : . ’ A 4. Il n'y a pas d’inconvénient à parler de valeurs grossièrement approchées de B et de 5

a 2 ù lieu de valeurs grossièrement approchées de b et de TG caren procédant comme on a expliqué

au n° 253 (p. 279), les valeurs par défaut sont, d'ordinaire, beaucoup trop petites et les valeurs par excès beaucoup trop grandes. Au reste, on peut remarquer que