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x 105 La première fraction peut être évaluée exactement en fraction décimale ; les huit autres peuvent être calculées avec n décimales de façon que l'erreur
pour chacune soit moindre que 5-10 il suffira de prendre n assez grand pour avoir 8 1 1 Trio À JO © 10 ou encore
4 1 1 29 ou
on satisfera à cette inégalité en prenant n =7.
Nous calculerons donc les huit dernières fractions avec 7 décimales, en forçant, s’il y a lieu, le dernier chiffre; les valeurs approchées des neuf fractions sont écrites ci-dessous, on a marqué d’un astérisque celles dont le dernier chiffre a été forcé, on en a fait la somme :
On observera que, pour trois des valeurs approchées, l’erreur est en moins, elle est en plus pour cinq. L’erreur provenant de la substitution dans la somme des nombres décimaux aux pee est donc moindre
5 5 ‘+ que 5: : : l'erreur totale est moindre que ——— 3.10 + —— T . se 10°: Ainsi la valeur approchée 2,7182819 du nombre cherché comporte une
e 3 4 LU Lä | à à Li
erreur moindre que 107 ee 10 ? le raisonnement précédent ne permet pas
de décider si l’erreur est en plus ou en moins. Il permet toutefois d’avoir
une valeur approchée du nombre cherché avec une erreur moindre | LI La La La
que x» et ne comportant que six décimales : ce nombre cherché est, en
effet, compris entre les nombres 2,7182822 et 2,7182816 que l’on obtient .
en ajoutant et en retranchant Ses au nombre 2,7182819 ; il en résulte que 7.
>, 7182822 est une valeur approchée avec une erreur, en plus ou en moins,
LA e | e . La La à inférieure à 70: Les cinq premières décimales sont exactes.
269. Méthode générale (‘). — Une soustraction, une multiplication, une division portent sur deux nombres. Ce qu'on va dire s'applique
à ces trois opérations, et aussi à l'addition, quand on n’a que deux
nombres à ajouter.
Je désignerai par A, B les nombres exacts, par a et b les nombres qu’on leur substitue, par « et les limites des erreurs correspondantes, par e une limite de l'erreur qu’on se permet sur le résultat ; je rappelle encore une fois que les nombres exacts À, B peuvent ne pas être connus : on en a alors des valeurs approchées A, B’.
Dans tous les cas, on a trouvé pour la limite de l’erreur qui résulte de la substitution, dans l'opération à faire, dea etdebàAetàB, une expression de la forme Pa + Qf, où P, Q sont des nombres que l'on a appris à calculer lorsque l’on connait des valeurs approchées de À et de B, et dont on peut dire, au moins quand on les force suffisamment, qu'ils ne dépendent pas de «et de $ : dans le cas de l'addition et de la soustraction, on peut prendre P et Q égaux à Î ; dans le cas de la multiplication, on peut prendre pour P et Q des valeurs grossièrement approchées de B et de À, par excès ; dans le cas de la division de A par B, on peut prendre pour P l'inverse d'une valeur grossièrement approchée de B par défaut et, pour Q, le produit obtenu en multipliant par cet inverse une valeur grossièrement
approchée par excès du rapport £ . A l’erreur qui résulte de ce que
l’on substitue a, b à À, B s'ajoute celle qui résulte de ce que l'on arrondit le résultat; si l'on désigne par w une unité (composée,
1. Elle est tirée de la Note sur les Approximations numériques de M. le commandant Guvou (Paris, Gauthier-Villars, édit., 2° édition). Elle comporte la résolution de quelques inégalités ;
mais cette résolution est assez simple pour qu'elle ne puisse guère cmbarrasser le lecteur même qui n'aurait pas étudié l'algèbre. |
Simple ou décimale) de l’ordre du chiffre auquel on s'arrêtera, cette
dernière erreur sera au plus égale à © t l Î : P g -; » €n sorte que l'erreur totale
est moindre que Pa + QB + 5 ; le problème sera résolu si l’on a (4) | Pa+ @+sce;
d'ordinaire, on choisit d'abord w intérieur à 2e ; on a ensuite à déterminer +, 8 de façon que l’on ait Pa+Qiee— . ie
on peut prendre
x tu) [A] ess ET. me ED ROUE FRATIEELRTTTR
On pourrait aussi choisir « arbitrairement, moindre toutefois que 6 ; prendre ensuite w moindre que 2 (e — Pa), égal, par exemple, à
une unité de l’ordre du premier chiffre significatif de ce nombre écrit sous forme décimale ; puis prendre
in Q 2
cette dernière marche est avantageuse dans le cas de la division,
où il n'y a pas d'intérêt à simplifier le dividende, mais bien le divi-
seur. On prendra le dividende a aussi approché de A qu’on voudra ou qu'on pourra; on évaluera une limite « de l'erreur ainsi commise, on déterminera ensuite w et 8 comme il vient d’être expliqué.
En général, après avoir déterminé «, 8, w on déterminera a et b par la méthode du n° 252 (p. 278); on effectue ensuite l’opération sur les nombres à, b ; on limite le résultat au chiffre du même ordre: que w, en le forçant s’il y a lieu.
Dans le cas d'une division, au lieu de calculer un chiffre de plus qu'il n’est nécessaire, pour savoir si l’on doit forcer ou non le dernier chiffre, on regardera si le reste est plus grand ou plus petit que la moitié du diviseur.
270. Exemple. — Supposons, par exémple, que les nombres 3,1416 et 9,8696 soient des valeurs approchées des nombres À, B à un demi dix-mil-
lième près et qu’on veuille avoir une valeur approchée du quotient < avec.
une erreur moindre que 0,01.
Joe = LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE. * On pourra prendre 9 pour valeur grossièrement approchée de B t à
pour valeur grossièrement approchée du quotient; on aura à satisfaire à l'inégalité rs
