ERREURS RELATIVES. OBSERVATIONS DIVERSES

second ordre, etc... D'’ordinaire une somme ou une différence de nombres qui sont au moins du premier ordre, est elle-même une quantité petite au moins du premier ordre, pourvu que les nombres à ajouter ne soient pas trop nombreux. De même, pour la somme ou la différence de nombres. du second ordre de petitesse, etc. Le produit de deux, de trois, .… nombres

du premier ordre est, en général, un nombre du second, du troisième ordre, … 11 conviendra de regarder les nombres comparables à , D Fin comme étant grands du premier, du second ordre, … de grandeur.

279. Quand on veut évaluer approximativement une quantité du premier ordre de petitesse, on néglige habituellement les quantités du second ordre : on ne fait pas autre chose, en supposant que les erreurs soient au moins du premier ordre, lorsqu'on néglige le produit de deux erreurs, même s’il est multiplié par un nombre qui ne soit pas grand. On conçoit qu’on puisse ainsi simplifier beaucoup l'expression de l'erreur qui résulte d’une suite d'opérations. En particulier, quand une erreur se trouve multipliée ou divisée par un nombre, on peut substituer à ce nombre une valeur qui n’en diffère que d’une quantité comparable à l'erreur : on a, par exemple, en supposant que « et $ soient deux quantités petites du premier ordre, et que

le nombre a ne soit pas petit,

ao

4 a+ax a(a+a)”’

si donc on remplace —, par . on commettra une erreur a à qui sera, en général, du second ordre,

De ce point de vue, il n’y a pas lieu de distinguer les deux expressions de l'erreur absolue au moyen de l'erreur relative que l’on a données au n° 275, p. 303.

L'application de ces principes généraux sera aisée pour le lecteur familier avec le calcul algébrique ; l'emploi des nombres négatifs, en lui permettant de regarder les erreurs en moins comme positives, les erreurs en plus comme négatives, lui évitera la distinction fastidieuse de cas qui peuvent être très nombreux. Je me bornerai à une application des remarques précé-

. dentes, elle se rapporte à l'évaluation des erreurs relatives dans le cas d’un

… produit ou d’un quotient, et fournit une règle simple, qui, toutefois, doit

être appliquée avec précaution.

280. Soient a, b, deux valeurs approchées par défaut; soient a + a,

b +6 les valeurs exactes correspondantes. Si l’on prend ab pour valeur

… approchée du produit (a+ «) (b +£), on commet une erreur qui, en négli- geant les quantités du second ordre, sera af + ba; pour avoir l’erreur rela-

tive commise ainsi au produit, on doit diviser l'erreur absolue par le

produit exact (a + x) (b +8); on peut tout aussi bien diviser par le produit approché ab, qui ne diffère du produit exact que d'une quantité qui est du

: : pen , même ordre que celle que l’on veut évaluer : on obtient ainsi : + 3° Cest-

à-dire la somme des erreurs relatives commises sur les facteurs ; à vrai

(4 dire, cette somme est —— __E__: mais, en général, les quantités a + a + b + p? , 8 ? q

a 6 cn : Dee | | Sr DS ne diffèrent respectivement des quantités 4, b que de quan-

tités qui sont habituellement du second ordre. a b ne sont connus qu'approximativement, on commet une erreur relative qui peut, en général, être regardée comme la différence des erreurs relatives commises sur les deux termes. En général, pour peu qu'on force ces limites, on peut regarder la somme des valeurs absolues des limites supérieures des erreurs relatives des deux facteurs du produit, ou des deux termes du rapport, comme une limite supérieure de la valeur absolue de l'erreur relative commise sur le produit ou le rapport.

La proposition qui concerne le produit de deux facteurs, si elle était rigoureusement vraie, s’étendrait sans aucune difficulté au cas de trois, quatre, .… facteurs. On peut énoncer, au moins comme donnant des indications utiles, la proposition suivante : ,

Quand les facteurs d'un produit sont des nombres approchés, la somme des limites supérieures des erreurs relatives des facteurs est une limite supérieure de l'erreur relative du produit.

Connaissant une limite de l'erreur relative, on est en mesure (n° 275, p. 303) d'avoir une limite de l'erreur absolue, et par suite de reconnaître les chiffres exacts du résultat.

De même, en prenant - pour la valeur d’un rapport dont les deux termes

Exercices.

243. En admettant que la durée de l'année tropique soit égale à 365,242217, quand l'unité de temps est le jour (solaire moyen), on demande quelles erreurs on commet quand on prend pour la valeur approchée de cette durée les nombres