Quand on connaît, outre la valeur approchée A de À, une

limite supérieure n de l’erreur relative, on obtient une limite supé-

- rieure £ de l'erreur absolue au moyen de la première des deux for

mules (1)

s— A", er Rem a

si l’on sait que A’ est une valeur approchée par excès, au moyen de

» la seconde dans tous les cas. En effet, An est toujours plus grand que l'erreur absolue ; il en est de même, a fortiori, de A'n si A’ est plus grand que À ; dans ce cas, on peut donc prendre es = A'n. Pour établir la seconde formule, il suffit de prouver que l'on a

le premier membre étant plus grand que A’, l'inégalité est évidente si À’ est approché par excès; si A’ est approché par défaut, l'erreur absolue est À — A’; puisque cette erreur est moindre que An, on a A < A! + An; en retranchant Ar des deux membres de cette dernière égalité, en divisant ensuite par 1 — n, on parvient à l'inéga- TRES Re

276. Si l'on connaît, outre la valeur approchée A’ du nombre A, une limite supérieure & de l'erreur absolue, on obtiendra une limite supérieure de l'erreur relative en divisant « par une valeur appro-

chée de A par défaut, par A! si l’on sait que cette valeur est appro-

, chée par défaut, par A'— : si l'on ne sait rien; d’ailleurs, on substitue d'ordinaire à A! ou à A! — : des valeurs plus grossièrement approchées par défaut.

Supposons que A! soit écrit dans le système décimal et que € soit mis (n° 248, p. 275) sous la forme mu, en désignant par w une unité de l’ordre du dernier chiffre significatif de A’; on obtiendra alors une limite supérieure de l’erreur relative en divisant m par le nombre entier que l’on déduit de A/ en ne gardant que les chiffres significatifs, c'est-à-dire en supprimant la virgule et les zéros non significatifs, puis, si l’on n’est pas sûr que À’ est approché par défaut, en retranchant m.

à 1. Voir l'observation du n° 279 (p. 307) relative à ces deux formules,

POUR NS à EME et Ja » 4 4

Si, par exemple, A est égal à l’un des nombres 723000, HD Lao,

dans le premier desquels les zéros ne sont pas significatifs, et si l’on sait que l'erreur est moindre que 2 unités de l'ordre du dernier

chiffre significatif, on pourra prendre dans tous les cas F9j °0mme

limite de l'erreur relative; cela est clair dans le second cas (A = 193), auquel les autres se ramènent par la remarque qui termine le numéro précédent. On pourra prendre pour limites plus grossières 2 1 1 700 * 300 100 :

demi-unité de l’ordre du dernier chiffre 0 on pourrait 1 1 1400 ©" 1000 :

Si le nombre approché Aa p chiffres significatifs, et si l'erreur absolue est moindre qu’une unité du dernier ordre décimal, la fraction

Si l'on savait que l'erreur est moindre qu'une

prendre pour limite de l'erreur relative —

a est une limite supérieure de l'erreur relative ; en effet, lorsque | A! est entier et n’est point terminé par des zéros non significatifs, le

numérateur de la fraction = est plus grand que l'erreur (abso- L

lue) et son dénominateur est le plus petit nombre de p chiffres. Il pourrait y avoir exception si A’ était précisément égal à 10r=1 et s'il était approché par excès ; mais, même dans ce cas, il sera rarement utile de se préoccuper de la légère inexactitude qu’on risque de commettre en adoptant cette limite, et d'en adopter une plus grande, À :

par exemple a Sc A0P 7.

Si l’erreur absolue est moindre qu’une demi-unité de l'ordre du dernier chiffre décimal et si le premier chiffre significatif est égal ou supé-

rieur à 5, on peut prendre > pour limite de l'erreur relative.

On a vu plus haut comment se résolvait le problème inverse : jrouver une limite supérieure n de l'erreur absolue quand on a une limite supérieure de l'erreur relative; dans la pratique, on se contente de multiplier n par un nombre certainement plus grand que A ; si l'on avait des doutes, on pourrait recourir à l'inégalité (L) du précédent numéro pour se procurer un tel nombre.

La connaissance d’une limite de l'erreur absolue permet ensuite de reconnaître quels chiffres il convient de garder dans A’, et en particulier quels chiffres sont exacts.

‘+1 is E RS TS Ch En ea UT:

ERREURS RELATIVES. OBSERVATIONS DIVERSES. 305: ne APS ; Supposons A! — 72,645, n < TT L'erreur absolue sera moindre

que et a forliori que ou 0,001 ; on gardera les trois chiffres

décimaux; les deux premiers sont exacts.

Supposons A!= 0,0018937, n < ——— SSI L cn et A’ approché par défaut ; 0,002 1 L'erreur absolue sera moindre GE NITE OUT » puisque À’ esl

approché par défaut, les sept décimales sont exactes.

Lorsque l'erreur relative est moindre que —— , on peut conserver

les p premiers chiffres significatifs de A’ en forçant le dernier, s’il y a lieu. L'erreur est alors moindre que 2, en désignant par w une unité de l’ordre du dernier chiffre conservé.

En effet, d’une part, le nombre formé par les p premiers cluffres de

A' est moindre que 107w. Afin que PR nl soit entièrement

" at

absolue dont A’ est entaché quand la limite de l'erreur relative est;

rigoureux, adoptons l’expression comme limite de l'erreur

remplaçons dans cette expression A! par 107w et n par , elle deviendra 10Pw

quantité qui, comme le lecteur s’en assurera aisément, est moindre

que —— ; l'erreur qui résulte de ce qu’on s'arrête au pière chiffre

significatif est au plus égale à F : l'erreur totale est donc moindre que 2w.

277. Dans tout ce qui précède, les erreurs (relatives ou absolues) ont été regardées comme des nombres positifs (ou plutôt absolus) ; dans beaucoup de cas, il est commode de regarder l’erreur comme un nombre affecté d’un signe.

Soit À un nombre exact, A’ sa valeur approchée, on peut convenir de regarder le nombre (relatif) À — A’ comme étant l’erreur dont A'est affecté; elle sera positive si A’ est approché par défaut, négative si A' est approché par excès (1).

Supposons qu'aux nombres exacts À, B, C,... (généralement inconnus),

1. Cette convention n’est pas universellement acceptée ; on peut tout aussi bien faire la convention contraire et regarder A’ — A comme l'erreur.

306 LECONS D'ARITHMÉTIQUE. De

on substitue dans un caleul les nombres approchés (par défaut ou par excès) a, b, c.... En désignant par @, 8, y, les erreurs, au nouveau sens du mot, dont sont affectés ces nombres a, b, c, …, on pourra écrire

A—ata, B—b4R, C—c+ y, …;

T’Algèbre donne le moyen de calculer, au moyen de «,B,Yy, .…, l'expression de l'erreur sur le résultat; c’est-à-dire dela différence entre Le résultat du calcul be qu'oneffectuerait en se servant des nombres a+a,b+-8,c<+7,...etlerésultat JA du calcul effectué en se servant des nombres &, b, c,..… L’Algèbre enseigne “Het aussi à transformer cette expression de manière à se rendre compte du rôle s qu'y jouent les nombres a, B, y,... et à calculer une limite supérieure de la. valeur qu’elle peut atteindre, dans les circonstances les plus défavorables, … quand les nombres «, B, y, … sont astreints à rester inférieurs à certaines » limites données. LS SN

Une observation importante à faire est celle-ci : si toutes les erreurs sont 1 très petites, le produit de deux erreurs, le carré d’une erreur seront des 4 nombres très petits par rapport à ces erreurs ; par exemple, si toutes les : erreurs sont inférieures à le produit de deux erreurs sera inférieur :

1 etl'on conçoit que les termes qui contiennent un pareil produit,

à To s'il n’est pas multiplié par un grand nombre, puissent être négligés au moins R. dans une première évaluation de l'erreur. Par rapport au produit de deux erreurs, le produit de trois erreurs sera un nombre très petit ; et, si même | 4 on conservait, dans l'évaluation de l'erreur, les produits de deux erreurs, on pourrait négliger les produits de-trois erreurs, etc. SAS 978. Notons à ce propos, et sans chercher à leur donner un sens très net qu’elles ne comportent pas, les expressions usuelles « quantités du premier, 4 du second, du troisième ordre, ……., de petitesse ou de grandeur». « : IL n’est d’ailleurs question, dans le présent numero, que de nombres Du positifs. A D On fixera d’abord, d'une façon plus ou moins précise, des limites 4, L, comprenant entre elles l'unité, et que l’on pourra prendre inverses l’une de l’autre ; elles dépendront d'ailleurs du genre de questions que l’on traite, des’ 1 nombres que l’on y rencontre habituellement. Elles seront, par exemple, | 0,1 et 10. Les nombres compris entre ces limites seront regardés comme n'étant ni grands ni petits. Deux nombres seront dits du même ordre, ou 4 d’une façon plus vague, comparables entre eux, quand leur rapport tombera “à entre Let L. On choisira ensuite un nombre «, petit par rapport à la limite inférieure !, qui sera le type des quantités du premier ordre de petitesse : 4 ce sera, par exemple, 0,001 ; les nombres comparables à e seront dits du … | premier ordre; les nombres comparables à e?, e,.….. seront dits du second, … du troisième ordre, …. Les nombres du premier ordre et tous ceux qui sont plus petits que e seront dits au moins du premier ordre, les nombres du second ordre et ceux qui sont plus petits que 2 sont dits au moins du