ADDITION : DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES

41. Pour réunir une collection de six objets et une collection de trois objets, on peut évidemment joindre aux six objets de la première collection les trois objets de la seconde un à un, ce qui revient à compter ainsi : six et un font sept, sept et un font huit, huit et un font neuf; c’est ainsi que l’on opère quand on compte sur les doigts. Cela revient encore à s’avancer de trois rangs dans la suite naturelle à partir de six ; c'est là ce qu'on appelle ajouter trois à six, ce que l’on désigne plus particulièrement par le symbole 6 +3. Au contraire, pour ajouter six à trois, pour former le nombre 3 +6,

ïl faudrait ajouter successivement à trois six unités, s’avancer de

six rangs dans la suite naturelle des nombres, à patir de trois; mais ces distinctions n’ont pas ici grande importance, le résultat, en effet, ne dépend pas de l’ordre dans lequel on fait les opérations ; en d’autres termes, on a

G+3—3+6C. et, quels que soient les nombres a et b, a+b—=0b+u«.

Cette proposition ne diffère pas, au fond, de celle qui a été énoncée au n° 5 (p. 7) : on trouve toujours le même nombre en comptant les objets d'une collection, dans un ordre ou dans un autre.

12. Nous avons supposé jusqu’à présent qu’on ne considérait que deux collections, qu'on n’ajoutait que deux nombres; mais 1l est clair que la notion d’addition s'étend d'elle-même à autant de nombres qu'on veut. Considérons, par exemple, quatre collections d'objets ; on peut les réunir pour n’en faire qu'une seule; le nombre des objets contenus dans la collection totale sera la somme des nombres d'objets contenus dans chacune des collections primitives ; former cette somme, c’est ajouler ou additionner ces nombres : pour cela, on peut se borner toujours à ajouter seulement deux nombres à la fois, réunir d’abord la seconde collection à la première, réunir ensuite au tout la troisième collection, puis encore la quatrième collection; c’est cette manière d'opérer quon entend d’une facon précise, quand on écrit, par exemple,

D een

en supposant que la première collection contienne deux objets, la seconde quatre, la troisième trois, la quatrième cinq : on entend qu'on ajoute 4 à 2, puis 3 au résultat, puis enfin 5 au résultat. Mais,

ici encore, cette distinction précise importe peu; on peut aussi bien entendre qu’on ajoute les nombres 2, 4, 3, 5 à la fois, comme il a été expliqué d’abord, et cette remarque montre bien, en âädmettant toujours le postulat du n° 5 (p. 7), qu’on arrive au même résultat, quel que soit l’ordre dans lequel on ajoute les nombres ; par exemple, on a +

DE US HS Lanester

On serait encore arrivé au même résultat en réunissant, par exemple, la première et la troisième collection, en faisant la somme 2 + 8, puis en réunissant la seconde et la quatrième collection, en

faisant la somme #4 + 5, et en réunissant ensemble les deux col

lections auxquelles on est ainsi parvenu, ce qui revient à ajouter les nombres 2 + 8 et 4 + 5; c'est ce que l’on exprime en écrivant

les parenthèses qui figurent dans le second membre veulent dire que ce qu’elles enferment est un seul nombre, ou, comme l'on dit, que les opérations qui sont indiquées à l'intérieur des parenthèses doivent être regardées comme effectuées. Les parenthèses seront toujours employées avec cette signification.

En particulier, il est clair qu’on obtient le même résultat en ajou-! tant successivement à un nombre a deux nombres b et c ou en ajautant au nombre 4 la somme b + c des deux nombres b et c, ce qu'on exprime par l'égalité a+b+c—=a+(b<+c).

43. Par définition, on ne change pas un nombre en lui ajoutant 0, ou en ajoutant ce nombre à 0; en d'autres termes, ona ;

aE0—=a, DEC —=E,

quel que soit le nombre a : il est clair que 0 est le seul nombre qui, ajouté à un autre nombre, ne lemodifie pas. En partieulier on a

et il n’y a que deux nombres nuls dont la somme puisse être nulle. 14. Propriétés fondamentales. — Nous pouvons maintenant énon- | cer les définitions et théorèmes que voici : | La somme de deux ou plusieurs nombres s'obtient en donnant à ces nombres une signification concrète : ils se rapportent alors à des collections d'objets distincts. Si l’on réunit ces collections en une seule, le nombre des objets contenus dans cette collection est