ADDITION : DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES

la somme cherchée ; obtenir cette somme, c’est ajouter ou additionner les nombres donnés; si zéro figure parmi les nombres à ajouter, on n’en tiendra pas compte. La somme est indépendante de l’ordre de ses parties (des nombres à ajouter). Pour obtenir la somme, on peut remplacer tels nombres que l’on voudra par leur somme effectuée. Pour ajouter un nombre à une somme, on peut ajouter ce nombre à l’une des parties de cette somme.

15. En expliquant plus haut (n°1, p. 4), par la comparaison de deux collections, la signification des mots « plus grand », « plus petit », on à fait ressortir ce fait que tout nombre plus grand qu’un autre s’obtenait en ajoutant à ce dernier un autre nombre. On supposait toutefois qu'aucun des nombres considérés n’était nul. Si l’on con-

vient de regarder 0 comme plus petit que tout nombre naturel, on

peut dire, sans exclure le cas où le nombre à serait nul :

En ajoutant à & un nombre naturel quelconque on obtient un nombre plus grand que a : réciproquement tout nombre b plus grand que a, peut s’obtenir en ajoutant à & un certain nombre naturel; si a était nul, c’est le nombre b lui-même qu'on ajouterait à a pour avoir b.

16. Il convient d'observer comment une somme est modifiée quand on modifie une de ses parties. On a dit (n° 14, p. 14) qu’en ajoutant un nombre à une de ses parties, on ajoutait ce nombre à la somme; si donc on augmente une de ses parties, ou plusieurs, on augmente la somme. |

Il importe de bien se rendre compte du sens de cet énoncé, qui est un peu bref (?) : dire qu'on augmente une des parlies, c’est dire qu’on la remplace par un nombre plus grand; dire que la somme a augmenté, c’est dire que la nouvelle somme est plus grande que l’ancienne. En comparant la nouvelle somme et l'ancienne, on peut formuler l'énoncé suivant qui est plus explicite.

Si‘deux sommes sont composées, l’une et l’autre, d’un même nombre de parties et si chaque partie de la première contient la partie correspondante de la seconde, la première somme contient la seconde; elle est plus grande si quelque partie de la première est plus grande que la partie correspondante de la seconde.

La proposition subsiste s'il y a des parties nulles dans l’une ou l’autre des sommes.

En particulier, on trouve des sommes différentes en ajoutant à un

1. On peut même soutenir que cette facon de parler est incorrecte : on parle de nombres fixes comme s'ils changeaient, comme s'ils devenaient ; mais, une fois qu'on l’a comprise, elle est fort commode, et j'en userai sans scrupule. ”

même nombre des nombres différents : la plus grande somme correspond au plus grand nombre ajouté.

$ 3. — Soustraction.

47. Le mot soustraction correspond à l’idée d’ôter. Pour en bien

éclaircir le sens, reprenons la comparaison de deux collections À, B, . dont la première soit plus grande en nombre que la seconde (fig. 7) :

on a dit et répélé que la collection A contenait alors une collection égale en nombre

est plus grande en nombre que B, contient quelques objets, lesquels forment une col-

réunit de nouveau les collections B et C, 6n reproduit la collection A. Soient a, b, c les

bre b, on reproduise le nombre a; il est le seul qui jouisse de cette propriété, cela est clair sur la figure 7 et

cela résulte d’ailleurs de la remarque qui termine le numéro précé-

dent; le nombre c est, par définition, la différence entre a et b.

La notion de différence apparaît aussi clairement sur la figures (p.10) où les nombres naturels sont représentés par de petites barres contiguës, qui portent chacune leur numéro à leur extrémité de - droite. Les numéros a, b se trouvent quelque part sur cette figure,

le numéro a est à droite du numéro b, puisqu'on suppose a > ; la

différence entre a et b est le nombre de barres DiAGees entre les ee

numéros.

48. Deux nombres inégaux étant donnés, l'un d'eux cst certaine-

ment plus grand que l’autre, c’est-à-dire qu'il peut s’obtenir en lui ajoutant un certain nombre.

Retrancher, ôter, soustraire un nombre d'un auire plus nt AE

c’est trouver le nombre qu’il faut ajouter au plus pelit pour obtenir le plus grand; l'opération s'appelle soustraction, le résullal s ARE reste ou dance.

à B; comme les nombres seuls nous intéressent, c’est cette collection-là que j’appellerai B : outre B, la collection A, puisqu'elle

iection (C). Si de la collection À, on éte la collection B, il reste la collection C ; si on

nombres respectifs d'objets contenus dans les collections A, B, CG. Le nombre c des fig T objets de G est tel qu’en l’ajoutant au nom-