EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET NÉGATIFS
Inversement, quand on a à extraire la racine d’un nombre élevé à une certaine puissance, si l'indice de la racine et l’exposant sont divisibles par un même facteur, on peut supprimer ce facteur et simplifier ainsi la racine.
Ce théorème ne diffère pas du précédent.
On a, par exemple :
440. Les propositions précédentes permettent, étant données plusieurs racines, avec des indices différents, de les ramener à avoir toutes le même indice.
Soient, par exemple, les racines
(DES A ee
Va, VB, VC, a, b, c désignant des nombres entiers; soit m le plus petit multiple commun de a, b, c et soient a’, b', c’ les quotients respectifs de m par a, b, c; on
multipliera les indices a, b, c respectivement par a’, b', c', et l’on élèvera en même temps À, B, G aux puissances a’, b', c'; les racines précédentes seront
remplacées par vre te ue AR LVBN SV Ge
qui leur seront respectivement égales et qui ont même indice. 441. Cette proposition permet d'utiliser les règles des n°435, 436 (p. 443) pour effectuer des produits ou des quotients de radicaux. Soient, par exemple, les quantités V3, VERS, VX;
6 est le plus petit commun multiple des indices 2, 3, 6 ; on aura, en appliquant les règles précédentes,
V3 = ÿ2, ÿ 2 sd 5 —ÿ2 x 52, V3 x 28 x Ÿ 2.5 —ÿ/27.20,57.2,52 — ÿ/29,5t— ÿ/29.12.
De même, QE ; VE 32 $ 5. — Exposants fractionnaires et négatifs.
449. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que les dernières propositions établies ont leurs analogues dans la théorie des fractions. Cette analogie deviendra frappante si l’on adopte la notation des exposants fractionnaires. Dans tout le paragraphe, À désignera un nombre positif, d'ailleurs quelconque.
On n’a pas parlé, dans ce qui précède, de racine dont l'indice serait égal à 4; mais rien n'empêche de considérer une telle racine, pourvu que l’on
convienne de regarder sa valeur comme étant égale à celle du nombre sur lequel elle porte ; on aurait ainsi
VA — A. ù 4
Cette convention est bien conforme à la définition générale des radicaux, puisque, en élevant un nombre à la puissance 1, on reproduit ce nombre. Dés lors, puisque, dans la démonstration des théorèmes du paragraphe précédent, on s’est appuyé uniquement sur cette définition, il est clair que tous ces théorèmes subsisteront, lors même qu’on y fera fire. des racines d'indice égal à un.
443. En désignant par p, q deux nombres naturels, on représente V2 AP par le symbole P !
que l’on énonce A exposant © : est un exposant fractionnaire.
Dans le cas où p est égal à 1, comme A est la même chose que A, on aura par la définition précédente
Dans le cas où q est égal à 1, le symbole A! représente la même chose que A?. Cette convention est conforme à ce qu’on a dit dans le précédent numéro.
Cette notation ne présente aucune difficulté si l’on veut bien se reporter au n° 155 (p. 170) où l’on a dit qu’une fraction devait être regardée comme l'ensemble de deux nombres entiers qui jouent un rôle différent.
Elle est justifiée par ce fait que si les deux fractions : $ Ë sont égales,
on a P 2 KT AGE D p | Si, en effet, les deux fractions Do: sont égales, on a pq" = p'q et, par
suite, AP9' — Ar'9;
extrayons les racines qq’ des deux membres, on aura
17 ave API AATT AP'q;
or, en divisant les indices et les exposants par g' dans le premier membre, par q dans le second, on obtient
Vian
rl ©: 2
