AT "AS

Il est à peine utile de faire remarquer que, par cette proposition, la simplification de la racine qière d’un nombre élevé à une certaine puissance p revient à la simplification d’une fraction, et que la réduction au même indice de plusieurs racines revient à la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.

Mais il y a plus : les règles établies pour le calcul des exposants entiers s'appliquent aux exposants fractionnaires.

444. Pour faire le produit de deux puissances fractionnaires d'un même nombre, il suffit d'élever ce nombre à une puissance dont l’exposant soit . une fraction égale à la somme des deux exposants primitifs.

En d’autres termes, on a en désignant par p, q, p', q!' des nombres

naturels p' pq! + p'q ai DAME A Aa On a en effet

Ê 2e ag — AT — A1 — VENTE p' p'q

[ ed AT == A99 — ‘Ÿ/Ar'I, et, par suite

dr SK fr N/A p9! pu LAVTE

mais, en appliquant le théorème du n° 435 (p. 442), on voit que le second membre est égal à la racine (qgg'è"e du produit A?2/ x A?'4, qui est luimême égal à A»9/ + »/4, puisque les nombres pq’ et p'q sont entiers. D'ailleurs on a, en vertu de la définition, NAT EP ar.

445. La proposition est donc démontrée. On écrit souvent l'égalité qui

lexprime sous la forme p pl p +E A1 x AT — A!

mais il convient de remarquer que le second membre n’a pas de sens par lui-même; il est sous-entendu qu’on doit remplacer la somme + DER

sa définition (n° 160, p. 177), c’est-à-dire par une fraction à ne ee égale à cette somme; cette notation est commode pour permettre l’extension : du théorème considéré au cas de trois, quatre, ... facteurs. Ainsi, de l’égalité précédente, on déduit

p Fe me

A1 sc AT x A1" — alé QUE au

je =

27 Line ee

ï 418 : LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE. | RS

Lo | : | :

# Voici quel sens il faut attribuer au second membre : la somme É + ) ayant été remplacée par une fraction à termes entiers, on lui ajoute la

Ft fraction gi? et l’on obtient ainsi, sous forme d’une fraction à termes se entiers, l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever A ; d’ailleurs, il est TRE rlair que cet exposant peut être aussi bien obtenu en al comme on à voudra la fraction à termes entiers qui est égale à la somme des trois s ! 1! k

Eu fractions Fi Le ae

446. Pour élever à la puissance ï un nombre À élevé déjà à une puissance

Lo entière ou fractionnaire Es il suffit de multiplier par #5 l’exposant de A :

‘s en d’autres termes, on a

à B\T pm

On a en effet, d'après les définitions,

mais on a de même

è + pr Ê ie

ct ‘et la racine q'iême de cette quantité est égale à \/A ou, en vertu de la : pp"

définition des exposants fractionnaires, à A% : la proposition est donc

démontrée.

441. Si, en désignant par p, q, p’, q/ des nombres entiers, on a d :

D ae on aura, ? ' x \â p p" Hits) AN CHA D!

‘en entendant que, dans le second membre, la différence : . soit rem-

placée par une fraction à termes entiers qui lui soit égale, par exemple . ‘ Fe 2 il

par Fo Ud