Cet important théorème est dû à Cauchy
LIMITES. 461 limite A ; à partir d’un certain rang tous les termes seront compris entre A —— et À + < , leurs différences mutuelles seront moindres que €.
20 Elle est suffisante. En effet, supposons-la vérifiée; au nombre positif e correspond alors un nombre naturel n, tel que l'on ait
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pourvu que p et qg dépassent n, on en conclut bien facilement, en raison- “& nant comme au n° 463 (p. 456), que l’ensemble des nombres distincts qui 2 figurent dans la suite est borné en bas et en haut.
Il y a maintenant deux cas à distinguer suivant que cet ensemble contient un nombre fini de termes, ou un nombre infini.
Dans le premier cas, puisque la suite est infinie, il faut bien qu’il y ait un terme de cette suite qui y soit répété un nombre infini de fois; soit a un pareil terme ; quel que soit n, après a, il doit y avoir un terme égal à a; la différence a— a, sera moindre que & en valeur absolue pourvu que p dépasse n ; ceci suffit à montrer que la suite a pour limite le nombre «a.
Dans le second cas, l’ensemble a certainement un élément d’accumulation ; désignons-le par A. Je vais montrer que A est la limite de la suite.
Quel que soit le nombre positif &’, il y a une infinité de termes de l’ensemble, ou de la suite, compris entre À — &’ et A He’ : il y a donc, entre A —-e’ et À + e’, des termes de la suite dont le rang est aussi grand qu'on veut ; quel que soit donc le nombre positif e”, on peut choisir le rang n d’un terme de la suite compris entre À — e&’ et À + e’ pour que tous les termes de la suite dont le rang est plus grand soient compris entre a, — e et a, He” et, par conséquent, entre À —e’ — e" et À He + e'”; tous ces termes seront a fortiori compris entre À —eet A He, sie’ + e" est plus petit que e. Quel que soit le nombre positif e, on peut choisir e’ et es” de façon qu'il en soit ainsi; à ce nombre € correspond un nombre naturel n te] que le terme a et ceux qui le suivent soient compris entre À — s et A Le la suite a A pour limite.
284. Si À est un nombre irrationnel, en lui ajoutant, en lui retranchant un nombre rationnel, en le multipliant par un nombre rationnel autre que zéro, en le divisant par un nombre rationnel, on obtient toujours un nombre irrationnel.
285. Si x est un nombre irrationnel et si @, b, a’, b' sont des nombres rationnels, le nombre
ax + bd
a'x + b' < 1 : ] PAST LE b . est irrationnel, à moins que l'on n'ait RE
286. En désignant par x et e des nombres irrationnels dont les représentations décimales sont
nr = 3,14159265...., e— 2,11828182,..:,
re
