Considérons les deux suites

NO to On bb be

et supposons qu'elles jouissent des propriétés suivantes : 4° Chaque terme de la première suite est inférieur ou égal aux différents termes de la seconde suite.

20 Lorsque n grandit indéfiniment b, — a, a pour limite 0.

Dans ces conditions, les deux suites ont une même limite...

Désignons en effet par (A) et par (B) les deux ensembles formés l’un par les nombres distincts de la première suite, l’autre par les nombres distincts de la seconde suite. D’après ce qu’on a vu au n° 458 (p. 453), l’ensemble (A) a une borne supérieure, l'ensemble (B) a une borne inférieure et ces deux bornes sont égales; désignons-en la valeur commune par A, on a a, A, b, < À, quel que soit le nombre naturel n; mais, en vertu de la seconde hypothèse, on peut, quel que soit le nombre positif e, lui faire correspondre un nombre positif p tel que, sous la condition n > p, on ait b— a <e; sous la même condition, la différence entre À et a, ou b, seront moindres que : en valeur absolue : les deux suites ont A pour limite commune.

Le théorème précédent s'applique en particulier lorsque, les conditions de l'énoncé étant d’ailleurs vérifiées, les termes de la première suite ne vont jamais en décroissant et que les termes de la seconde ne vont jamais en décroissant (1), comme, par exemple, les deux suites formées par les valeurs approchées d'un nombre À à 0,1, à 0,01, à 0,001, . près par défaut pour l’une et par excès pour l’autre. :

474. Pour qu’une suite infinie q,, @, ..…., dn, .… ait une limite, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif s corresponde un nombre naturel n telque la différence entre deux termes quelconques de la suite soit certainement moindre que « en valeur absolue, lorsque les rangs de ces termes ep

sent n (°).

40 La condition est nécessaire; supposons en effet que la suite ait un

1. On se borne le plus souvent à ce cas : M. Hadamard a bien voulu me faire remarquer qu'il y

avait lieu d'introduire la proposition générale dans les éléments.