CAT PRE PAM MOD

tels que l’on ait &, < a,, à, < a, .…, @ < An, et tels que si l'on pose

on ait

289. On appelle moyenne arithmétique de deux nombres leur demi-somme, moyenne géométrique de deux nombres la racine carrée deleur produit. Démontrer que la moyenne arithmétique de deux nombres différents est plus grande que leur moyenne géométrique. La différence entre les deux moyennes est plus petite que le carré de la différence entre les deux nombres divisé par huit fois le plus petit.

290. Si x est un nombre compris entre 0 et 1, le nombre x (1 — x) est inférieur ou égal à +: il ne peut lui être égal que pour =.

291. Si a est la racine carrée à une unité près, par défaut, du nombre A, on a

A— a? Le À — G? RE | Fi NÉS

Si l’on rapproche ce résultat des nos 291 et suivants, on pourra apprécier l’avantage que présente, dans l'extraction de la racine carrée d’un nombre entier, l'emploi de la limite inférieure que l'on a indiquée alors. ù

Voir dans le Bulletin des Sciences mathématiques (1887) un article de M. Darboux |

sur Ce sujct. ï

292. Si a, a’, b, b' sont des nombres rationnels dont les deux derniers ne sont pas des carrés parfaits, on ne peut pas avoir a + Vb— a! + V6! ou a — V6 = a! — VU sans que l'on ait a = a, b = b'; on ne peut pas avoir a + V6 = a! — Vor. Le

293. Démontrer que l’on a, quels que soient le nombre (positif) a et le nombre

- positif) b plus petit que a,

PRE PR ER HE Er N a+ ver = +.

PACE TRE SN LE a D V=- er = |/S Ve

Démontrer que le norbre

RAT MEN murs

est égal à 2 si a est compris entre 1 et 2 et à 2 Va— 1 sia est plus grand que 2. 294. On considère deux ensembles bornés : les bornes supérieure etinférieure du premier sont M et m, les bornes supérieure et inférieure du second sont M'et m’. Démontrer que si l'on considère l'ensemble des nombres différents obtenus en ajoutant un terme du premier ensemble et un terme du second, cet ensemble aura pour bornes supérieure et inférieure les nombres M + M’, m + m'. De même, fensemble des nombres différents obtenus en multipliant un terme du premier ensemble et un terme du second admet pour limites supérieure et inférieure les nombres MM', mm’.

295. Si le nombre ax a pour limite x quand » augmente indéfiniment et silon désigne par a, 6, c, d des nombres fixes dont les deux derniers ne sont nuls ni l'un ni l’autre, le nombre

l ax, + b cæ, + d a pour limite ax + b cx + d?

quand nr augmente indéfiniment.