PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION

J'ai essayé de faire ici un livre d'enseignement, qui puisse servir à ceux qui commencent leurs études mathématiques et à ceux qui les poursuivent, qui soit très élémentaire au début, où les démonstrations prennent, peu à peu, une forme plus abstraite, et qui, à la fin, touche à des sujets d’ordre assez élevé. Je n'ai donc pas cherché l’homogénéité et je n’ai pas craint de montrer les choses sous des aspects divers. Au début, j'ai insisté de mon mieux, en multipliant les exemples concrets, sur la signification des opérations fondamentales ; l'habitude pratique que les enfants ont de ces opérations, et qu’il est indispensable de leur donner de bonne heure, arrive à leur en cacher le sens, 11 faut leur apprendre à se défier de cette habitude, à ne pas la confondre avec l'évidence ; d’ailleurs, une bonne explication de la numération implique l'intelligence de ces opérations, dont les propriétés fondamentales devraient logiquement être étudiées

avant la numération. Ces propriétés fondamentales, je les ai

ensuite reprises et développées, sous une forme plus abstraite, en les plaçant toujours avant l'explication de la règle relative à l’opération correspondante : l'intelligence de ces règles est sans doute importante, elle importe beaucoup moins que la connaissance approfondie des propriétés. Les théories élémentaires de la divisibilité, du plus grand commun diviseur, des nombres premiers sont, depuis longtemps, excellemment exposées, et l’on ne peut y changer que des détails, .sur lesquels il est inutile d’insister ici. Pour ce qui est des fractions, après en avoir expliqué l’origine con-

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wi PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION.

‘crèlé, je les ai regardées résolument comme des systèmes de deux

nombres entiers: c’est là une idée qui n’est pas nouvelle ‘ ; elle offre cet avantage de ne pas sortir du domaine de l’Arithmétique et de préparer le lecteur à d’autres notions, par exemple à lintro-

duction des nombres imaginaires, en Algèbre. Préparer le lec-

teur à ce qu'il apprendra plus tard, c’est là le but que j'ai eu constamment devant les yeux. Après avoir parlé des fractions décimales, j'ai insisté sur les calculs approchés : sans doute, une théorie des erreurs, un peu complète, suppose quelques connaissances en Algèbre ; au moins m'’a-t-il paru nécessaire de poser

les questions et d'indiquer les éléments des solutions ; quant au

reste, le lecteur le trouvera de lui-même, dès que ses connaissance algébriques seront assez développées. H importe de savoir calculer, et de savoir ce qu'on fait quand on calcule. Cette même préoccupation m'a suivi dans le chapitre relatif aux carrés, à la

racine carrée, etc... Dans ce chapitre, la définition de la racine

exac!e est seulement préparée, je suis resté strictement dans le domaine des nombres rationnels.

Je n’ai pas craint de m'arrêter longtemps sur les mesures et

les diverses questions qui se rapportent à ce sujet. D’une part,

on rencontre là une idée essentielle, celle de la proportionnalité,

sur laquelle on ne saurait trop insister ; d’autre part, le système métrique et l'explication des diverses règles élémentaires offrent l'occasion de donner au lecteur quelques connaissances pratiques que ceux-là même qui désirent s’adonner à la pure théorie HG grand tort de mépriser.

Les sujets qu'on vient de résumer constituent la partie détet taire du présent livre : ils représentent l’ensemble des connaissances exigées pour le baccalauréat. |

Les trois derniers chapitres * s'adressent aux lecteurs qui vonln pousser plus loin leurs études scientifiques.

4. Elle a été développée récemment par M. Méray et par M. Ricquier.

2. Ils sont imprimés en petits caractères ; çà et là, dans les chapitres précé-

dents, on rencontre des passages imprimés de la même façon ; ce sont ou des

développements théoriques moins essentiels que le’reste, ou de simples appli-

cations.

PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION. vil

Pour ce qui est des nombres irrationnels, j'ai adopté pleinement l'idée fondamentale de M. Dedekind, qui consiste à définir chaque nombre irrationnel en disant quels sont les nombres rationnels qui sont plus petits ou plus grands que lui. Cette méthode donne, à ce quil me semble, l’idée la plus claire possible du nombre irrationnel, en permettant d’assigner immédiatement à chaque nombre irrationnel sa place dans la suite des nombres : cela vaut bien les quelques efforts qu’elle exige. Je ne crois nullement que ces efforts soient au-dessus de la portée d’un bon élève de la

classe de mathématiques élémentaires, et si, par malheur, celui-ci,

à un moment donné, oubliait le détail de quelque démonstration, du moment qu'il a bien saisi le sens des définitions et la marche générale des idées, cela, à mon sens, n’aurait aucune importance. Les propositions fondamentales sur les limites ont trouvé leur place dans le même chapitre; 1l ne resterait qu’à ajouter quelques mots pour que le lecteur füt en possession des propositions essentielles concernant les séries, dont, toutefois, je n’ai pas parlé ; mais j'ai cru | pouvoir donner quelques indications sur les ensembles ; ces indications, après ce qui a été dit des nombres irrationnels, n’offraient aucune difficulté.

Dans le chapitre sur la mesure des grandeurs, j’ai essayé, sur les conseils de M. Darboux, de tirer ce que l’on pouvait de la vieille définition «une grandeur est tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution » ; je me suis efforcé d'expliquer comment on pouvait établir une correspondance entre les nombres et les états d’une grandeur, et comment dans certains cas cette correspondance réalisait la proportionnalité entre les grandeurs et les nombres. ;

Enfin, dans le dernier chapitre, j’ai donné les premiers éléments de la Théorie des nombres. J'ai développé ces éléments un peu plus qu’on ne fait d'habitude, et je n’ai pas craint d'y faire entrer la lot de réciprocité des restes quadratiques, en sorte que le lecteur qui aura bien voulu me suivre jusque-là puisse au moins soupçonner que la Théorie des nombres est une véritable science, non un recueil de théorèmes isolés, plus ou moins curieux.

Le PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION

{ci et là, dans le texte, les notes ou les exercices, j'ai introduit quelques courts renseignements historiques : je les dois presque tous à mon frère. |

J'ai apporté le plus grand soin au choix des exercices. Rien, peut-être, ne vaut, pour la formation de l’esprit mathématique, les problèmes d’Arithmétique et de Géométrie élémentaire. Ceux que l’on trouvera ici ont été pris en partie dans des livres, recueils ou mémoires divers *; beaucoup ont été choisis pour donner au lecteur quelque ouverture sur des parties plus élevées de la science.

Je dois adresser, en terminant, mes meilleurs remerciements à M. Darboux : il m'a aidé de ses conseils, non seulement pour l’ensemble, mais encore pour les détails, et si ce livre n’est pas meilleur, ce n'est certainement pas à lui qu'il faudra le reprocher.

Paris, 1894.

1. Je n'ai pas cru devoir faire de la bibliographie à propos de ces exercices : mais je dois indiquer quelques-unes des sources où j'ai puisé. Les exercices 42, 61, 83, 84, 85, 117, 129, 130, 131, 438, 164, 166, 168, 170, 172, 191, 204, 207, 298, se trouvent dans l'excellent Traité d'Arithmétique de M. Joseph Bertrand (Paris, Hachette) ; les exercices 21 (y compris la démonstration), 22, 23, 24, 30, 36,58, 52, 83, 104, 105, 106, 114, 115, 124, 195, 126, 443, 155, 161, 176, 1489 sont extraits de la Théorie des nombres de Lucas (Paris, Gauthier-Villars et fils) : les exercices 90, 98, 134, 141, 445, 178, 190, 203, 232, 241, 242, 943, 947, sont pris dans le récueil d'Exercices d’'Arithmétique de MM. Fitz-Patrik et Chevrel, édité chez M. Hermann, recueil que je me permets de recommander au lecteur : les exercices 148, 149,450, 154, 183, 184, 185, sont extraits des Disquisitiones de Gauss ; les exercices 255, 256 et ceux qui sont numérotés de 267 à 280 sont tirés du Traité d'Arithmélique commerciale de M. Brasilier (Paris, Masson). Les exercices 6, 31 se trouvent dans la Zahlentheorie de M. Bachmann (Leipzig, Teubner). Les exercices 10, 53, 120 et 121, 171 sont tirés respectivement de notes ou mémoires de MM. Bourlet, Kronecker, Stieltjes, Catalan. M. C. Stephanos, a indiqué, pour les nombres irrationnels, le mode de représentation qui se réduit, pour les nombres rationnels, à la forme indiquée dans l'exercice 211; c’est là l’origine de plusieurs exercices que reconnaitra le lecteur, en particulier de la proposition contenue dans l’exercice 311. Les propositions contenues dans les exercices 314, 315, 316 sont extraites du Corso di Analisi algebrica de M. Cesàro (Turin Bocca frères). Enfin les importantes propositions contenues dans les exercices 317, 318 et 319 sont dues, ainsi que les démonstrations, à Lejeune Dirichlet et à M. Hermite.