PRÉFACE DE LA NOUVELLE ÉDITION

Dans le premier chapitre de celte nouvelle édition, je me suis efforcé de présenter les définitions et les propriétés essentielles des opérations sur les nombres entiers, indépendamment de la manière d'effectuer ces opérations et de la numération décimale, en les illustrant le plus souvent au moyen d'images familières :

c’est ce que j'avais commencé de faire dans la première édition, mais, à ce qui me semble aujourd’hui, d’une façon beaucoup trop timide. Je n’ai d’ailleurs pas spéculé sur l'essence du nombre entier, ou du zéro, ou de l'addition ; je ne me suis préoccupé ni du minimum des postulats, ni du minimum des mots à employer pour en développer les conséquences, A ceux qui commencent d'éludier une science, la perfection logique, si même elle est atteinte dès le début, risque d’apparaître comme purement verbale ; il importe, non de les étonner par des raisonnements qui leur semblent captieux, où ils se sentent moins convaincus qu’emprisonnés, mais bien plutôt de les rassurer, de leur montrer qu ils savent en partie ce qu’on prétend leur enseigner, d'éclairer et de Rite les connaissances confuses qu'ils ont, de les amener peu à peu à ces formes de raisonnement où l’on fait abstraction de tout ce qui nest pas indispensable à la conclusion et qui sont simples et générales, parce qu'elles sont abstraites. Je me suis donc efforcé de dégager les notions simples qui doivent suffire à constituer l’Arithmétique ; toutefois, à la fin du chapitre, j'ai donné quelques brèves indications, que le lecteur laissera de côté s’il le veut, sur la possibilité d'une construction plus logique que celle à laquelle

je me suis arrêté.

FA

x PRÉFACE DE LA NOUVELLE ÉDITION.

Chemin faisant, en cherchant à exposer de mon mieux celles des propriétés des sommes algébriques qui, par leur nature, font partie d’un cours d’Arithmétique, je me suis convaincu qu'il suffisait d'ajouter quelques mots à cet exposé, ou plutôt d’expliquer quelques façons nouvelles de parler et d'écrire pour avoir introduit les nombres négatifs : je n’ai pas cru devoir reculer là devant *. Nos programmes placent l'introduction des nombres négatifs au début de l’Algèbre, où elle est indispensable, et on la fonde le plus souvent sur des considérations géométriques. Si bonne que soit cette façon de faire, il est permis de rechercher une exposition qui ne demande rien d’étranger à l’idée de nombre.

Pour. ne pas trop m'éloigner des habitudes françaises, qui peuvent très bien se défendre, je me suis astreint à ne parler des nombres négatifs que dans les parties du livre imprimées en petits caractères ; je n'avais plus à les éviter dans le chapitre xn consacré aux nombres irrationnels, aux limites et aux ensembles ; l'exposition de ces sujets est maintenant très voisine de celle que j'ai adoptée dans mon /ntroduction à la théorie des fonctions *.

La notion de fraction doit, à mon avis, être rattachée à celle de mesure ou de rapport, d'où elle tire son origine : c’est ce que j'avais fait dans la première édition ; c’est ce que je fais d’une façon plus systématique dans celle-ci, où ce qui concerne les opérations est aussi rattaché à la même idée; j’ai eu, pour cela, à placer dans le chapitre relatif aux fractions plusieurs propositions que

j'avais réunies autrefois dans le chapitre sur le système métrique.

Je reste d’ailleurs convaincu qu’il convient de détacher la notion de : fraction de son origine concrète, comme on détache le nombre entier des objets qu’il sert à compter, de montrer qu’une fraction peut être regardée comme un couple de nombres entiers et que la théorie

1. À l'étranger, les livres où les nombres négatifs sont introduits dès le début de l’Arithmétique ne sont pas rares. En France, je puis citer le Traité d’Arith-. métique de M. E. Humbert (Paris, Vuibert et Nony).