serait plus juste de l'attribuer à Eudoxe

RSS SE

graduation telle que celle que l’on a décrite au commencement du numéro

précédent. É Tout d’abord, on voit que les hypothèses relatives à la signification des mots : plus grand, plus petit, à l'addition, à l'existence de la différence entre deux grandeurs impliquent de suite les conclusions suivantes. En ajoutant à deux grandeurs égales A, B des grandeurs inégales C, D, on obtient des grandeurs inégales : supposons en effet C > D, il existera une grandeur E, non nulle, telle que l’on ait C = D + E; dès lors on aura

A+C=B+C=B+#+(D+E)=(B + D)HLE:

en vertu de la supposition IT, la grandeur (B + D)-LE, ou A + C, est plus grande que. B + D; il résulte de là que la différence entre les deux grandeurs est unique, c'est-à-dire qu’il n’y a qu'une grandeur déterminée qui, ajoutée à une grandeur plus petite qu'une autre, puisse reproduire cette dernière. Dès lors les théorèmes fondamentaux établis pour les sommes et différences de nombres entiers s'étendent aux grandeurs, ainsi que les théorèmes sur l'addition, membre à membre, des inégalités. * ; Il suffit presque de signaler les égalités

RAF BEC.) AL nB LE nCS (R+p+q+...)Az= nA+pA+qA—+.….

(mn) À = m (nA),

qui sont des conséquences immédiates des Suppositions (I) relatives à l’addition ; les petites lettres m,n, p, q, … y désignent des nombres entiers. La première, par exemple, veut dire qu'on obtient la même chose.en faisant la somme de n grandeurs égales à A+B+LCL …, Où en groupant ensemble, dans cette somme, les n grandeurs égales à À, les n grandeurs égales à B, etc…, et en ajoutant ensuité les résultats. En la rapprochant de la supposition IV, elle montre que lon peut multiplier par un même nombre entier les deux membres d’une inégalité entre des grandeurs. La troisième a été obtenue en SUpposant que dans la seconde figuraient m

nombres entiers n, p, g,.… tous égaux à n; elle veut dire que la somme de

mn grandeurs égales à A est égale à la somme de m grandeurs dont chacune

est égale à n fois A. 6 486. En vertu de la supposition V, si l’on considère la suite de grandeurs

en progression arithmétique A, 2A, JA, 4A, ne :

obtenue en ajoutant à elle-même Ja grandeur déterminée non nulle A, on finit par trouver dans cette suite des termes qui dépassent telle grandeur B que l’on voudra; on peut dire encore qu'une grandeur déterminée B de l'espèce considérée tombe entre deux termes de cette suite ou coïncide avec l’un de ces termes : si deux grandeurs B, C ne comprennent entre elles aucun terme de cette suite, elles coïncident avec deux termes consé-