DES GRANDEURS DIRECTEMENT MESURABLES. FT

symbole (G) désignera l'espèce de la grandeur considérée et les lettres. A, B, G,... désigneront des grandeurs déterminées de l'espèce (G) ; toutes. ces propriétés sont impliquées par l'hypothèse que voici : la grandeur (G) ést susceptible d’une graduation dans laquelle à chaque nombre correspond une grandeur déterminée de l’espèce (G), ou des grandeurs égales; à des nombres inégaux correspondent des grandeurs inégales, le sens des inégalités étant le même ; à la somme de deux nombres a, b correspond la somme À + B des grandeurs qui correspondent à ces nombres. Réciproquement, à chaque état de la grandeur (G) correspond un nombre, etc.

I. On sait ce que c'est qu'ajouter deux grandeurs de l'espèce (G); les définitions de l’addition et de l'égalité satisfont aux conditions suivantes :

APB=B-FA; , A+(B+C)=(ATB)+C;

si l’on à B = C, on à aussi À + B— A +C.

Il en résulte que, dans une somme d'autant de termes que l'on veut, on peut interverlir l’ordre des termes et remplacer tels termes que l'on veut. par leur somme effectuée.

II. On sait ce que c’est que la grandeur nulle d'espèce (G), grandeur que l'on fait correspondre au nombre 0, et que l’on représente par le même symbole 0. Sa définition doit satisfaire à la condition À + 0 — A, à cause de la propriété correspondante des nombres ; dans cet état nul, la grandeur (G), qui ne modifie aucune grandeur de la même espèce à laquelle on l’ajoute, cesse, en quelque sorte, d'exister : telle est la longueur d’une ligne dont les deux extrémités coïncident.

IL. Si C n'est pas la grandeur nulle, on a A+C>A;il résulte de cette condition que la grandeur nulle est la seule qui, ajoutée à À, reproduise A.

IV. Si l’on a À >> B, il existe une grandeur C, non nulle, telle que l’on ait A=B+C.

V. Si A n’est pas la grandeur nulle, quelle que soit la grandeur B, il existe un nombre entier m tel que l’on ait mA > B : dans le premier membre de cette inégalité, mA représente la somme de m grandeurs égales à À: cette somme s'appelle aussi le produit de A par m. Cette supposition, que l’on appelle souvent axiome d'Archimède (1), est nécessitée par la propriété analogue relative aux nombres.

VI. Si m est un nombre naturel autre que I, quelle que soit la grandeur B, il existe une grandeur A telle que l’on ait mA =B, c'est la mième partie de B : en d’autres termes, on peut diviser B en m parties égales.

Il est à peine utile de répéter encore une fois que toutes ces suppositions, calquées sur des propriétés bien connues des nombres, sont nécessaires pour que la correspondance décrite au commencement de ce numéro entre les nombres, d’une part, et les divers états de la grandeur (G), d'autre part, soit possible.

485. Inversement, si la grandeur (G) jouit de ces propriétés et d'une autre encore dont on parlera plus tard, il sera possible de réaliser une: