partie de A,, se représente par le symbole Faisons correspondre au
| x f S 1 ; + nombre cette grandeur B; à la somme de q nombres égaux à Pt c'est-à-
ee : 1 1
dire au nombre 1, correspondra bien la grandeur A, ; le nombre — est d'ailq
leurs le seul qu’on puisse faire correspondre à B pour qu'il en soit ainsi.
Si p est un nombre entier, au nombre à qui est la somme de p nombres
égaux à on devra faire correspondre la grandeur pB, ou pa c'est-à-
PA ; , À: ; * dire la somme de p grandeurs égales er cette somme se représente
souvent par le symbole FA; c'est, par définition, le produit de A par la
fraction. Si la fraction © était égale à un nombre entier n, c'est-à-dire
si l'on avait p = ng, la grandeur GA ou pB serait égale à ng fois B ou encore
à la somme de n grandeurs égales à gB; elle serait égale à nA,, elle corp
respondrait au nombre à égal FS On reconnait aussi aisément que si
les deux fractions à termes entiers te sont égales, les grandeurs qui
leur correspondent sont aussi égales. Il suffira, pour s'en convaincre, de se reporter aux raisonnements que l’on a faits au début du chapitre VI, quand
on a introduit la notion de l’égaiité de deux fractions. Ainsi à des nombres
KL
égaux correspondent des grandeurs égales et à chaque nombre rationnel & correspond une grandeur déterminée A. Cette grandeur se représente par aA,; on dit qu'elle est le produit de A, par a et l'on écrit Aa Ce nombre a est la mesure de À quand on prend À, pour unité : c’est aussi, par définition, le rapport de À à A, et l’on écrit aussi
en n'altachant pas à cette égalité d'autre sens qu'à l'égalité À = aA,. Il est maintenant facile de vérifier que pour les grandeurs ainsi numérotées, la condition essentielle du n° 484 est vérifiée, c’est-à-dire qu'à la somme de deux où plusieurs nombres rationnels quelconques correspond une gran-
deur égale à la somme des grandeurs qui correspondent à ces nombres.
Il suffit, pour cela, de supposer que tous ces nombres rationnels soient représentés par des fractions à termes entiers et de même dénominateur. Du même coup, il est prouvé qu’à deux nombres rationnels inégaux «, a! tels que l'on ait a < a’ correspondent deux grandeurs À, A' telles que l’on ait À < A’: car le nombre a!’ est la somme d’un nombre a et d’un autre
nombre rationnel autre que 0; la grandeur A’ est donc la somme ‘de à
et d’une autre grandeur autre que la grandeur nulle; elle est plus grande que A: la condition fondamentale est vérifiée.
. 488. Enfin, la graduation ainsi définie pénètre partout sans laisser de lacune : en d’autres termes, entre deux grandeurs inégales AIDANT VE toujours une grandeur numérotée au moyen de quelque nombre rationnel.
En effet, désignons par D la différence (non nulle) entre A’ et A/’. Il existe
(n° 484, V) un nombre entier q tel que l’on ait qD © À; désignons par B la qième partie de A, ; on aura certainement D => B, car la supposition D <B impliquerait (n° 485) l'inégalité 9D = qB ou gDÆ=A,;. Considérons dès lors
la suite des grandeurs ou progression arithmétique 0, B, 2B, 3 B;:.,, nümé:
“ 15258 | rotées au moyen des nombres 0, or …; les grandeurs A’, A// comprennent certainement entre elles au moins un terme de cette suite, puisque leur différence est supérieure à B; le numérotage pénètre donc entre les grandeurs A’, A//.
489. Dès lors on peut faire correspondre à chaque grandeur À de
l'espèce (G) un nombre rationnel ou irrationnel: un nombre rationnel si elle
n'a pas échappé à la graduation que l’on vient de décrire, et dans le cas contraire, un nombre irrationnel 4 plus grand que tous les nombres rationnels qui correspondent aux grandeurs numérotées et moindres que À, plus petit que tous les nombres rationnels qui correspondent aux grandeurs numérotées et plus grandes que A. Ce nombre & sera encore la mesure de À quand on prend A, pour unité, ou le rapport de A à A, et l’on écrira
