DES GRANDEURS DIRECTEMENT MESURABLES

Réciproquement, j'admettrai qu’à chaque nombre irrationnel & correspond une grandeur À de l'espèce (G), supérieure à toutes les grandeurs mesurées par des nombres rationnels moindres que %, inférieure à toutes

les grandeurs mesurées par des nombres rationnels plus grands que &.

Gette grandeur, si elle existe, est certainement unique, puisque entre deux grandeurs inégales il ÿ en a une plus grande que la première, plus petite que la seconde et qui est mesurée par un nombre rationnel. Admettre l'existence de la grandeur qui correspond au nombre irrationnel œæ, C’est imposer une condition de plus à la grandeur (G), condition sur le sens de laquelle on s’est suffisamment expliqué au n° 477. On a établi, dans ce même numéro, que la condition fondamentale était toujours vérifiée, lors même quil s'agissait de grandeurs correspondant à des nombres irrationnels. La graduation est entièrement terminée.

490. Il reste enfin à prouver que si des grandeurs correspondent à des nombres quelconques, même irrationnels, leur somme correspond à la somme de ces nombres : il suffit évidemment de considérer le cas de deux grandeurs À, A'; désignons par œ, x les nombres qui les mesurent; la grandeur À —+ A’ est plus grande que la somme de deux grandeurs respectivement plus petites que A, A’,en particulier que la somme de deux grandeurs respectivement mesurées par des nombres rationnels plus petits que «, x’: le nombre qui mesure A + A’ est donc plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques plus petits respectivement que œ, œ’. On voit de mème que le nombre qui mesure À + A’ est plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que &, x’; le nombre qui mesure À + A’ est donc x + æ/.

Je désignerai comme directement mesurables les grandeurs (G) qui jouissent des propriétés que l’on vient d'expliquer.

491. On a supposé que la graduation de la grandeur mesurable (G) avait été faite en faisant correspondre la grandeur A,, non nulle, au nombre 1 ;

Supposons maintenant qu'on établisse une seconde graduation en faisant

correspondre au nombre 1 une autre grandeur A;; comment passera-t-on d'une graduation à l’autre ?

Rappelons d’abord l'attention du lecteur sur ce fait essentiel: quand on à choisi l'unité avec laquelle on mesure la grandeur (G), la correspondance entre chaque nombre et chaque état de la grandeur est entièrement déterminée par les conditions suivantes : à des nombres égaux correspondent des grandeurs déterminées égales ; à la somme de deux nombres correspond la somme de deux grandeurs mesurées par ces deux nombres ; à deux nombres inégaux 4, a’, tels que l’on ait a < a’, correspondent des grandeurs déterminées inégales A, A’ telles que l’on ait À A': les deux premières conditions permettent de déterminer la grandeur qui correspond à chaque nombre rationnel ; la seconde achève cette détermination pour les nombres irrationnels.

I suit de là que si, par un procédé quelconque, on a trouvé un mode de correspondance entre chaque nombre rationnel ou irrationnel et chaque

“482 LEÇONS D’ARITHM ÉTIQUE.

- grandeur de l'espèce (G) qui satisfasse aux trois conditions et qui, en ‘outre, fasse correspondre au nombre 1 une grandeur déterminée À;, ce ‘mode de correspondance est assurément le même que celui qu’on a décrit ‘dans le numéro précédent, en partant de la grandeur A, comme unité.

Ceci posé, soit à un nombre fixe quelconque rationnel ou irrationnel, mais différent de 0.

En supposant qu'on ait pris la grandeur A; comme nitE. on obtient un premier mode de correspondance entre chaque grandeur et chaque nombre. Imaginons un second mode de correspondance qui fasse correspondre à chaque grandeur de l'espèce (G) le produit par À du nombre qui Ja mesurait dans le premier modé de graduation. En d’autres termes, dans le second mode, à chaque nombre a correspond la grandeur qui, dans le

a Eu premier mode, correspondait au nombre re Il est clair que la seconde

graduation jouit des trois propriétés qu’on vient de rappeler, puisque des nombres égaux restent égaux quand on les multiplie ou qu’on les divise par à, que pour multiplier ou diviser par à la somme de deux nombres il suffit de les multiplier ou de les diviser par à, el que, enfin, on peut multiplier ou diviser par à les deux termes d’une inégalité entre des nombres. Maintenant, dans le second mode de graduation, la grandeur qui correspond

au nombre 1 est celle qui, dans le premier, correspondait au nombre 55 la

grandeur qui correspond au nombre à est celle qui, dans le premier, correspondait au nombre 1, c’est la grandeur A,.

492. Supposons que l’on mesure la grandeur (G) en prenant pour unité la grandeur A;, et choisissons pour À l'inverse du nombre qui mesure À, quand on prend À, pour unité: le mode de graduation de la grandeur (G)

-qui résulte de ce qu’on prend A, pour unité coïncidera avec le second mode.

-de graduation que l’on vient de définir, puisque le second mode satisfait |

aux trois conditions et que, en outre, il fait correspondre au nombre 4 la grandeur À.

En résumé, on passe de la première graduation, où A, est l'unité, à la seconde, où A, est l’unité, en multipliant chaque nombre par un méme

AE x facteur à, ou en le divisant par dE est le nombre qui mesure A, quand

on prend A, pour unité, c'est le rapport a à est le nombre qui mesure | : ;

3 er 3 À À, quand on prend A, pour unité, c'est le rapport & ; en d’autres

termes :

Le nombre qui mesure À quand on prend A; pour unité, ou lé rapport 4

À È A7 St égal au produit du nombre qui mesure A quand on prend À, pour : |

unité, c'est-à-dire du rapport —; par le nombre qui mesure À, quand on .

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