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où figurent des rapports de grandeurs, peut maintenant, au moyen du

second énoncé, être regardée comme une égalité, d’ailleurs évidente, entre des nombres. |

Il est à peine utile de dire qu’on vient de compléter la démonstration des théorèmes des numéros 175, 176, 482.

$ 3. — Grandeurs proportionnelles.

493. Considérons deux espèces de grandeurs mesurables (G), (G’) liées ensemble de façon qu'à chaque état A de la première corresponde un état A! de la seconde ; inversement à l'étal A’ de la seconde correspond l’état A de la première.

Supposons la correspondance telle qu'à deux grandeurs déterminées ‘égales de l’espèce (G) correspondent toujours deux grandeurs déterminées égales de l’espèce (G/), et qu’à la somme de deux grandeurs déterminées de l’espèce (G) corresponde toujours la somme des deux grandeurs correspondantes de l'espèce (G/); je vais démontrer que le rapport de deux grandeurs déterminées quelconques de l'espèce (G) est égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de l'espèce (G/) (n° 359).

Observons d'abord que, en vertu des hypothèses, les grandeurs nulles d'espèces (G) et (G’) se correspondent nécessairement, puisque la grandeur nulle est la seule qui, ajoutée à une autre grandeur, ne la modifie pas.

D'ailleurs, si l’on considère deux grandeurs A, B de l'espèce (G) et les deux grandeurs correspondantes A’, B’ de l'espèce (G/), on aura 4 > B’ si l'on a AB : en effet, cette dernière hypothèse implique l'existence d'une grandeur C, non nulle, telle que l’on ait À = B +C; la grandeur correspondante C/ ne sera pas nulle non plus et l’on aura A’ = B' + C, donc A’ > B.

Ceci posé, mesurons la grandeur (G) en prenant pour unité une grandeur déterminée A, de cette espèce et la grandeur (G’) en prenant pour unité la grandeur A; qui correspond à À, ; les nombres de la graduation relatifs aux divers états de (G) seront les mêmes que les nombres de la

graduation relatifs aux états correspondants de (G’); il suffit pour s'en.

convaincre de se reporter à la facon détaillée dont on a expliqué comment la graduation devait se faire. On peut remarquer aussi que si, après avoir gradué la grandeur (G), on fait correspondre dans (G/), à chaque nombre a,la grandeur A’ correspondant à la grandeur A de l'espèce (G) qui est mesurée par le nombre a, on aura réalisé un mode de graduation de (G’) qui satisfait aux trois conditions du n° 491 et qui en outre fait correspondre au nombre 4 la grandeur A;. Il semble bien inutile d'insister sur cette assertion évidente, d'où il résulte que le mode de correspondance qu'on vient d'imaginer entre les nombres et les grandeurs

(G') est bien le même que celui qu'on obtiendrait si l’on mesurait les.

grandeurs en prenant A, pour unité.

Le rapport de deux grandeurs étant égal au rapport des nombres qui Les mesurent, la proposition énoncée est démontrée.

Les grandeurs (G), (G’) qui satisfont aux conditions énoncées sont dites proportionnelles.

On a donné dans les chapitres X et XI de nombreux exemples de grandeurs proportionnelles,etla proposition précédente avaitété démontrée dans le cas où les grandeurs comparées étaient commensurables.

$S 4. — Recherche de la commune mesure.

494. Il nous reste à répondre à une question qui s’est sans doute présentée

à l’esprit du lecteur : étant données deux grandeurs A, B d’une espèce mesu-

rable (G) telles que leur rapport - soit un nombre rationnel, c’est-à-dire,

d’après ce qui a été dit plus haut, telles que B ou une certaine partie aliquote de B soit contenue exactement dans À, comment trouver cette partie? En d’autres termes encore, en reprenant les façons de parler du chapitre X, si les grandeurs A, B sont commensurables, admettent une commune mesure, comment trouver cette commune mesure ?

Désignons cette ‘commune mesure par C et supposons qu’elle soit contenue exactement a fois dans À, b fois dans B, on aura

A at, : B—60,

Le rapport à sera, d’après le n° 487, égal à. Des égalités précédentes on

tire bA = aB ;

"4 réciproquement, s’il existe deux nombres entiers a, b tels que bA