RECHERCHE DE LA COMMUNE MESURE

soit égal à aB, on reconnaît immédiatement, en admettant (n° 484, VI) que la grandeur B puisse être divisée en b parties égales, que la bième partie de B est contenue a fois dans A, en sorte qu’il y a certainement une commune mesure à À et à B. Ce résultat peut d’ailleurs s'établir sans faire intervenir la possibilité de cette division (1).

L'application du même algorithme (n° 129) qui nous a servi à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres permet de trouver la plus grande commune mesure des deux grandeurs A, B, si elle existe.

Supposons À > B; siB est contenu exactement n fois dans À, en sorte que l’on ait

And, il est clair que toute mesure commune à A et à B sera B ou une partie aliquote de B ; B sera la pius grande commune mesure entre À et B.

1. Je dois cette observation à M. E. Lacour; elle offre assurément quelque intérêt, car elle permet de définir le rapport £ sans faire intervenir d’autres hypothèses que la supposition V du n° 484, en dehors des suppositions relatives à l'égalité, à l'inégalité et à l'addition. Si en effet on veut comparer la fraction à termes entiers 2 aux grandeurs A et B, on aura nécessairement l'une des trois égalité ou inégalités qui suivent

gADpB, gA=pB, ga € pB; on constate sans aucune peine, en se fondant seulement sur ce qu’on peut multiplier par un

nombre entier les deux membres d'une égalité ou d’une inégalité entre des grandeurs, que, si l'on se place dans l’un de ces cas, l'inégalité ou l'égalité correspondante subsiste quand on

remplace p, g par les termes (entiers) d'une fraction égale à F ; que, si l’on est dans le cas où l'on a gA > pB, cette inégalité subsiste quand on remplace p, q par les termes (entiers) d'une fraction plus petite que Fe etc. D'après cela on a un moyen de définir le rapport à comme plus grand que tous les nombres rationnels pour lesquels on a gA © pB, égal au nombre Le s’il ÿ en a un, pour lequel on a gA = pB, plus petit que les nombres rationnels :

pour lesquels on a gA << pB. La seule difficulté consiste, dans le cas où il n'existe pas de nombres rationnels pet g tels que l'on ait gA = pB, à prouver que parmi les nombres ration-

nels : pour lesquels on a gA > pB, il n’y en a pas un qui soit plus grand que les autres. S'il

/ y en avait un, désignons-le par D: on aurait g'A > p!B. Il existerait alors (n° 484, V) un

f entier m tel que l’on eût m(g/A — p/B) > B, ou mg'A > (mp' + 1)B : or, la fraction "— est plus grande que ci celle-ci ne serait donc pas la plus grande des fractions ? pour

lesquelles on a gA > pB. On prouve de même que parmi les fractions : pour lesquelles on a

gA € pB, il n’y en a pas de plus petite que toutes les autres. On définit donc bien ainsi un nombre irrationnel &. Cette définition, où n'intervient pas la possibilité de diviser B en

parties égales, permet d'établir ensuite les propositions fondamentales RPRR AA ETATS A