HAS LB

ASE AE GER BNC

qui sont le fond de toute la théorie de la mesure des grandeurs.

Si B n’est pas contenu exactement dans A, considérons la suite de

grandeurs

À tombera entre deux termes de cette suite n,B et (n, + 1)B, et l’on pourra poser A =n,B +B,,

en désignant par B, une grandeur plus petite que B; inversement, cette égalité et la condition B, <B déterminent sans ambiguité Le nombre entier n, et la grandeur B.. |

On reconnait immédiatement, sur l'égalité A= n,B + B,, que toute grandeur contenue exactement dans A et dans B est contenue exactement dans B,, que toute grandeur contenue exactement dans Bet dans B, est contenue! exactement dans A, en sorte que les communes mesures de A et de B, s'il y en a, sont certainement les mêmes que celles de B et de B..

On pourra opérer sur B et B, comme sur A et B et, si B ne contient pas exactement B,, le mettre sous la forme

B == "nB; + B:, (B2 a B;) :

puis mettre B, sous la forme B, —n,B; + B3, (B; << B2),

etc... : les communes mesures entre deux termes consécutifs de la suite A, B, B,, B:, B:,.… sont certainement les mêmes : si la suite se ter mine, si l’on arrive à une grandeur B, qui soit exactement contenue dans la précédente, en sorte qu'on ait | ue

” Bin, 11B

il est clair que B, sera la plus grande commune mesure entre B, set B, et, par suite, entre A, B; toute commune mesure à À, B sera une partie aliquote de B,..

Je vais maintenant montrer que s'il existe deux nombres entiers & et b. tels que l’on ait

bA = aB, l'opération se terminera ; on aura, en effet, alors, b(n,B + B;)=n,0B -L 6B, = aB

et cette égalité exige qu’on ait n,b < a, on peut donc l'écrire

(a — nb) B —= bB;, comme B, est plus petit que B, il faut que a — n,b soit plus petit que b; il en résulte que m, est le quotient de la division, au sens de la théorie des

OL

nombres entiers, de & par b, et que a— n,b, qui sera désormais désigné par b,, est le reste de cette division ; on aura d’ailleurs

b,B — bB,.

Cette égalité, en remplaçant B par n,B; + B;, montrera de même que

est le quotient de la division de b par b, et que b — n,b, — b, est le reste de cette division ; l'opération décrite correspond donc exactement à la

. recherche du plus grand commun diviseur de a par b et se terminera em

même temps qu'elle. Elle fournira la plus grande commune mesure entre

PA et B.

Lorsqu'il n'y a pas de commune mesure entre A et B, l'opération peut se continuer indéfiniment, elle définit alors une suite de nombres entiers

TM ND ue Me:

Le lecteur, S'il est en possession de la théorie des fractions continues, reconnaitra comment cette suite de nombres entiers permet d'avoir des

valeurs approchées du rapport :