THÉORÈME DE FERMAT

$ 3. — Nouvelles conséquences de la périodicité des restes. Théorème de Fermat.

513. Développons maintenant d’autres conséquences de la périodicité des restes, relatifs au module b, de la suite des multiples

.…, EVA 34, TUE 24, Lo DEL &, 0, €, 24, 34, .

d'un nombre entier a.

Supposons a et b positifs et a < b.

Imaginons un cercle dont la circonférence soit divisée en b parties égales et supposons que, en parcourant la circonférence dans un sens déterminé, on ait placé, sur les points de division, les numéros 0, 4, 2, ..., b — 1, puis que, en marchant dans le même sens, l’on joigne ces points de division de a en a par des droites, en partant du point marqué 0; on joindra ainsi successivement les points dont les numéros sont respectivement

0, 4, 24, 34, as

tant que ces nombres sont inférieurs à b; mais dès qu’ils deviennent égaux ou supérieurs à b, les termes de cette suite doivent être remplacés par leurs restes (mod. b).

D'après les résultats qui précèdent, on voit que le premier point par lequel, en continuant de cette façon, on passera une seconde fois, sera le point 0; en d’autres termes, c'est au point 0 que la ligne brisée, décrite de cette façon, se ferme.

Si a est premier à b, les restes successifs seront, dans un certain ordre, les nombres 0, 1, 2, …, b — 1; 0 sera le premier de ces restes; avant de retrouver le reste 0, il faudra avoir trouvé les restes 1, 2, …, b — 1; on passera donc par tous les points marqués avant de fermer la ligne brisée ; quand elle se fermera, elle aura b côtés.

Au contraire, si a n’est pas premier à b, les restes successifs seront, dans

un certain ordre, les nombres 0, d, 24, …, b— d,ily en aura 2 de diffé-

rents ; le premier sera 0 et on retombera sur le reste 0 ou sur le point marqué 0, dès que l’on aura passé par tous les points 0, d, 24, ….,b—d;

la ligne brisée, quand elle se fermera, aura à côtés.

Les figures fermées que l'on forme ainsi sont étudiées, en Géométrie, sous le nom de polygones réguliers (convexes ou concaves) : on forme celles qui ont b côtés en divisant la circonférence du cercle en b parties égales et en joignant les points de division de & en 4, a étant un nombre premier à b et inférieur à b: il est clair qu’on obtient la même figure en joignant les points de division de 4 en a ou de b— a en b — a; d’ailleurs, si a est premier à b, il en est de même de b — a et inversement ; le nombre des

figures distinctes que l'on pourra former ainsi est donc la moitié du nombre de nombres premiers à b et inférieurs à 6.

514. Théorème de Fermat. — Soit p un nombre premier absolu et a un entier non divisible par p, a sera premier à p; parconséquent,les nombres a; 24, .…, (p —1)a seront, dans leur ensemble, congrus (mod. p) aux nombres 1, 2, …., p—1; donc, relativement au même module, le produit

a xX2a X 3a X .… X (p —1)a

est congru au produit 4.2.3... (p—1); la différence entre ces deux nombres, c'est-à-dire

BEN A0 SpA) 08, nn —(g 114) X1.2.3...(p—1),

est divisible par p, mais le nombre premier p est premier avec chacun des facteurs 1, 2, 3, .…., p — 1 et, devant diviser le produit de ces nombres par & —Ÿ— 1, doit diviser ce dernier facteur : donc: :

Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, & =! — 1 est. divisible par p; en d'autres termes encore, on a .

@'—1=0 (mod.p).

Par exemple, 21? — 1 — 4095 est divisible par 13 ; le quotient est 315.

Cette proposition, qui est capitale dans la théorie des nombres, est due à Fermat.

On peut l’énoncer un peu autrement ; la congruence

@dT—1=0 (mod.p),

qui a lieu pourvu que a ne soit pas divisible par le nombre premier p, entraine la suivante :

d—a=0 {mod.»p)

Or celle-ci est vraie quand «a est divisible par p; elle est donc vraie quel que soit l’entier a.

515. Généralisation. — Euler a généralisé le théorème de Fermat; la démonstration de la proposition à laquelle il est parvenu est toute pareille à la précédente.

Supposons a et b premiers entre eux. Si « est un entier quelconque, on sait que le plus grand commun diviseur de œa et de b est le même que celui de b et du reste de «a par rapport au module b. C’est aussi le même, que le plus grand commun diviseur de & et de b: par conséquent, le reste de aa, par rapport au module b, sera premier à b si & est premier à b et réciproquement. |

Désignons pour un instant par À le nombre de ceux des termes de la Suite 1, 2, ..., b — 1 qui sont premiers à b et désignons ces termes par

Pi lances Te