THÉORÈME DE WILSON

Si on considère la suite a, 24, ..…., (b —1)a, les seuls termes de cette suite qui, relativement au module b, fournissent des termes premiers à b sont les nombres 7,4, 74, .…, 7,4; ces termes fournissent d’ailleurs comme restes des nombres distincts, inférieurs à b et premiers à b, c’est-à-dire les nombres 7, los, TX pris dans un certain ordre. Dans leur ensemble, les nombres r,4, 1,4, ..…,7,4S0ntdonc congrus (mod. b) aux nombres 7, lo, ..., Ty: il en résulte que (a* —1}r,r,… r, est divisible par b; mais ce dernier nombre étant premier à 74, Ta …, gs il faut que l'on ait

d'—1—=0 (mod.b).

C'est dans cette congruence que consiste le théorème d'Euler : il contient le théorème de Fermat, car si b est un nombre premier, # est égal à b—1.

On donnera plus loin un procédé pour calculer le nombre #, connaissant b (n° 527). Observons seulement ici que le théorème de Fermat généralisé fournit, si l’on sait calculer 4, un moyen de résoudre la congruence du premier degré

ax + a = 0 (mod. b),

en supposant a et b premiers entre eux; il suffira, en effet, de prendre

æ= — da! (mod. b).

En particulier, si b était premier, on pourrait prendre, en vertu du théorème de Fermat lui-même,

æ—=—a'a? {mod.b).

$ 4. — Nouvelle démonstration du théorème de Fermat. Théorème de Wilson. Restes quadratiques.

516. Revenons au théorème de Fermat pour en présenter la démonstration sous une autre forme, qui va nous conduire à des conséquences nouvelles et importantes.

Soit p un nombre premier plus grand que 2 et a l’un des nombres 1,2,..., p—1; soit D un nombre quelconque, non divisible par p.

La congruence

ax=D (mod.p)

admet une racine, puisque p est premier à a; cette racine, ne pouvant être 0, est congrue (mod. p) à l’un des nombres 1, 2, …, p — 1; il y a donc parmi ces nombres un nombre a’ et un-seul tel que l'on ait

aa = (mod. p).

Ce nombre a’ peut être égal au nombre a ou différent; s’il lui est égal, c’est que l’on a \ =D (mod.p)

et que, par conséquent, la congruence du second degré

x =D (mod. p) admet une solution a.

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter.

1° Le nombre D est tel que la congruence

=D (mod. p)

ne puisse pas être vérifiée; s’il en est ainsi, les nombres a, a! pris parmi les nombres 1,2, ..…., p — 1 sont certainement différents et ces p — 1 der-

niers nombres peuvent être séparés en Ls . couples tels que le produit de.

deux nombres pris dans un même couple soit toujours congru à D (mod. p};

dans ce cas, on a p—1