p—1)=—1 (mod. p

on voit que dans le cas 4° du numéro précédent, ‘où la congruence x? = D (mod. p) est impossible, on a

D?=-1 (mod.p)

et que, dans le cas 2°, où la congruence x? = D (mod. p)admet une racine, on à

lun des deux nombres D ? +1, D ? —:1 étant ainsi divisible par p, leur produit

est certainement divisible par p; donc, pourvu que D ne soil pas divisible parp,ona Dr-1—1=0. (mod.p).

C'est le théorème de Fermat : il est démontré à nouveau, en supposant.

p > 2; il subsiste évidemment pour p — 2.

518. Prenons D = — 1, le nombre (— 112 est égal à +1 ou à — 1, Pet |

su.vant que est pair ou impair, ou, comme l'on dit, suivant que p.

est de la forme de 4n + 4 ou de la forme de 4n + 3. Dans le premier cas, la congruence

LA = 0, | (mod.»)

est possible ; dans le second cas, elle est impossible.

En d'autres termes, si p est un nombre premier de la forme 4n FL AiLYS a un nombre entier + tel que x? + 1 soit divisible par p; Si au contraire p est de la forme 4n + 3, x? + 1 n’est jamais divisible par p quel que soit le nombre entier x. C’est là une proposition qui se rattache à un beau théorème d’Arithmétique que je me contente d’énoncer: |

La condition nécessaire. et suffisante pour qu’un nombre premier impair soit la somme de deux carrés est que ce nombre soit de la forme än + 1, ’

519. Nous avons rencontré, chemin faisant, une règle pour reconnaitre S'il était, ou non, possible de satisfaire à la congruence

æ =D ;: (mod: p); à

où p est un nombre premier impair.

Les nombres D, non divisibles par p, pour lesquels cette congruence est possible, ou, si l'on veut, les nombres D qui sont congrus (mod. p) au reste du carré d’un nombre entier, suivant le même module, s'appellent restes quadratiques de p. Les nombres D pour lesquels cette congruence est impos-. Sible s'appellent non-restes quadratiques de P, ou, plus brièvement, nonrestes.

Pour reconnaitre, lorsque l’on se donne le nombre D non divisible par k P, si la congruence est possible, on pourra, au lieu d'appliquer la règle précédente, former les carrés des nombres 1,2, ..., p—14ét chercherceux qui sont congrus à D (mod. p); il est inutile d'aller plus loin (n° 501), à cause de la périodicité des restes (mod. p) des termes de la suite que l'on obtient en remplaçant, dans %?, x par la suite des nombres entiers. Il suffira

; . : nt même de former la suite des carrés des nombres-4,9 1% 5» car les | carrés de deux nombres a et p — a étant congrus (mod. p), la suite des :

Fe «à

D LEE : 9 a + 2, .., D —1 reproduirait

les restes précédemment obtenus en ordre inverse. Quant aux carrés des

carrés des nombres suivants

nombres 1, 2 prb : : ; | GHADPSS A. 20 3» ils Sont certainement incongrus, puisque, comme … Re :

on l’a vu au n°516, les carrés de deux nombres pris dans la suite 1,2, .….,p—1

RESTES QUADRATIQUES. 51h)

ne peuvent être congrus (mod. p) que sileur somme est égale à p. Ainsi, les restes (mod. p) des nombres