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restes qui sont tous distincts, seront les seuls termes de la suite 1, 2, .…, p— 1 qui soient restes quadratiques de p; les autres seront non-restes. Il x
DE p—1 2 2
a donc, parmi ces nombres, non-restes.
restes quadratiques et
Par exemple, si p — 17, les restes quadratiques sont congrus (mod. 17) à 4, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16; les non-restes sont congrus à 3, 5, 6, 7, 10, de 12, 14.
520. Ce que l’on vient de dire des nombres 1,2, .…, p—1 s'applique manifestement à un système complet de nombres incongrus suivant le module p, d’où l’on aurait exclu le nombre divisible par p; dans un ARS He
= non-restes. Soient
x 1 tel système, il y a restes quadratiques,
US dis ot les restes quadratiques pris dans un tel système, et
b1, D,, .…, b,—1 les non-restes.
Le produit de deux restes quadratiques ou de deux non-restes est un reste quadratique ; le produit d’un reste quadratique par un non-reste est un non-reste.
Soit en effet a un nombre entier non divisible par p; la suite des nombres obtenus en remplaçant æ dans ax par les éléments d'un système de p —1 nombres incongrus entre eux et à zéro (mod. p), forme un pareil système, car (n° 505) si l’on substituait à la place de x tous les éléments d’un système complet de nombres incongrus (mod. p), y compris le nombre divisible par p, on reproduirait un pareil système et il est clair que c’est l'élément divisible par p du premier système qui engendrerait l'élément divisible par p du second système. Par conséquent, parmi les nombres
4» Az, vers Apt, AO1s Abe, +, AD 1, 2 2
p—1 Or, la première partie du théorème est évidente : si &, f sont des restes
quadratiques, il y a des nombres entiers æ, 7 tels que l’on ait
— À Le non restes,
il y a restes quadratiques et
LEA R P=$ (mod. p) :
on aura donc (zy)? = «8 (mod. p)
et «B est bien un reste quadratique.
510 LECONS D’ARITHMÉTIQUE. RNA Si donc a est un reste quadratique,
ad;, Alas … A4 p—1
Pl
sont aussi des restes quadratiques, et par suite les pes nombres restants
ab, ‘abs, ce 3 db 1
ne À
sont des non-restes : donc le produit d’un reste quadratique par un nonveste est un non-reste.
Si maintenant a est un non-reste, les nombres
AU), Aa; see lp a
sont des non-restes, on vient de le démontrer: donc les nombres
ab,, Gb, er. 5 y 4
sont des restes quadratiques; en d'autres termes, le produit d’un non-reste par un non-reste est un reste quadratique.
Ces propositions, que l’on vient d'établir directement, résulteraient sans aucune difficulté du caractère (n° 517) auquel on reconnait qu'un uombre D est reste quadratique ou non-reste.
Si, par exemple, a, b sont non-restes, on a
SDS (mod. p), :
et par suite ; ?
nb SU en (mod. p),
donc ab est un reste quadratique de p.
Je ne me suis occupé de la recherche des solutions de la congruence
@ =D | (mod. p) que dans le cas où le module est un nombre premier impair. C’est que, en effet, les autres cas se ramènent à celui-là, comme il résultera facilement de théorèmes généraux dont je renvoie l'énoncé et la démonstration au ST En En ; 00 $ 9. — Loi de réciprocité. nu.
521. Étant donné un nombre premier impair, p, il n'y a, commeon vient a de le voir, aucune difficulté à déterminer les nombres D qui sont restes quadratiques de p; le problème inverse, « étant donné un nombre D, reconnaitre quels sont les nombres premiers impairs dont D est reste quadratique, ou ceux
pour lesquels D est non-reste », est beaucoup plus difficile: sa solution repose sur un des théorèmes les plus beaux et les plus importants de l’Arithmétique, théorème connu sous le nom de loi de réciprocité; il a été découvert par Euler et par Legendre. Il n’a été entièrement démontré que par Gauss, qui n’en a pas donné moins de six démonstrations distinctes. Ge théorème: a depuis été l’objet de beaucoup d'autres travaux.
Avant d'y arriver, je donnerai d’abord une transformation du caractère qui permet de reconnaitre si D est, ou non, reste quadratique de p (n° 517): Cette transformation est due à Gauss.
522. Désignons toujours par p un nombre premier impair positif et par D P —
