D D—1(&+10 +9 DE D

= (p)t 0. 4 RO 4

Les trois nombres D — 1, p + 1, p' + 1 étant pairs, leur produit est

divisible par 8, les exposants de — 1 sont pairs, et l'on a bien

(ar) =)

Si, D, p, p' étant impairs, D était négatif, on aurait

Gr) GG)

Or les deux membres de cette égalité sont respectivement égaux à D PPT VA À T) p+p —2 Gens, OG)en 2, PP P/ \?

(mod. 2).

et l'on a

car cette congruence, en faisant tout passer dans le premier membre,

devient (Rester da

(mod: 2); sous cette forme, elle est évidente. On a donc bien encore

(ap) = (5) (a)

{l reste enfin à examiner le cas où D est pair; soit, en désignant par D’ un nombre impair,

De:

on aura, en utilisant les propriétés 3° et 4°,

D-ED-E)0 0 (7 QC)

de même

et l’on voit tout de suite, puisque l’on a

que l'égalité à démontrer revient à prouver que l'on a

CENT RS SMS [AU «PP ; pe ap + ar : (mod. 2),

congruence qui équivaut à celle-ci :

gs, CENTS ; œ ne = 0 (mod. 2):

or cette dernière est évidente puisque (p? — 1)(p'? — 1) est divisible par 64.

524. Les propositions qui précèdent permettent de calculer rapidement la valeur d’un symbole () quand on se donne numériquement D et »; on

rappelle que ces nombres sont premiers entre eux, que p est impair et positif. D'abord, si l’un de ces nombres contient en facteur un carré parfait, on pourra supprimer ce facteur. Si l’on a, par exemple, en Fo parA et B des nombres entiers, D — A?B, on aura |

(5) = 5) * (5) = (Go) *G) * (5

à cause de la propriété 4°; mais le produit () () est positif; on a donc

Ge.

La même démonstration s'applique au cas où p admettrait un facteur carré

parfait : on pourra donc remplacer D par le produit des facteurs premiers qui entrent dans D avec des exposants impairs, chacun de ces facteurs étant affecté de l’exposant un. De même pour p. L'usage des propriétés 4° et 2°

permet de ramener le calcul de () au cas où D est impair et positifs

ensuite on pourra remplacer () par un produit de facteurs symboliques

analogues avec des numérateurs et des dénominateurs symboliques pre miers, positifs, impairs. En sorte qu’on pourrait se borner au cas où D

et p sont de pareils nombres. Quoi qu'il en soit, on peut aussi, et cela dans. :

tous les cas, remplacer D par son reste (mod. p). Si cé reste est pair, on pourra toujours en appliquant les propriétés 4° et 3° ramener le calcul du

symbole () au calcul d’un autre symbole () dans lequel D' est impair de

et moindre que p; en appliquant ensuite la loi de réciprocité, on ramènera

le calcul de (5) à celui de (&). On remplacera de même p par son reste.

(mod. D’), etc, on ramènera finalement le calcul à celui d’un symbole tel Li |

que (). qui est égal à 1. D'ailleurs il est clair que le calcul peut se faire

de différentes façons.

Soit, par exemple, à calculer la valeur de Car)

cz Le) a

tx) =):

mais 997 est égal à 887 + 110; on a donc

997 110 11 3 as (ous) = (ee) = (65) > (5) x (5):

le dernier facteur est égal à + 1, puisque 87 est congru à — 1 (mod. 8); d’ailleurs, puisque 5 est de la forme 4n + 1,ona

11 et 87 sont de la forme #n — 1, on a donc 11 87 — À Gear cm) finalement, on a 3988\ i SATA

525. Arrivons maintenant à la question posée au n°521 : le nombre D étant donné, trouver les nombres premiers p tels que D soit reste quadratique, ou non-reste, de p.

Cherchons, par exemple, les nombres premiers dont 3 est reste quadratique ; p étant un tel nombre on doit avoir

on a d’ailleurs, par la loi de réciprocité,

QT:

Ja valeur du second membre dépend du reste de p (mod. 3) et de la parité

On a

de P … . c'est-à-dire du reste de p (mod. 4) : elle dépendra donc finalement du reste minimum de p (mod. 12), qui peut être +1, —1, +5, —5.

= La valeur de (5) est 1 dans le premier et le dernier cas, — 1 dans les és

. deux autres: en examinant ensuite, suivant les cas, la valeur de (— 1) ? ,

on reconnait que les seuls nombres premiers dont 3 est reste quadratique sont de la forme 12n +1. 3 est non-reste des nombres premiers de la

forme 19n + 5.

522 x LECONS D'ARITHMÉTIQUE.

526. La recherche des nombres premiers p, qui ne divisent pas le nombre … . donné D et pour lesquels la congruence

Îl

0 (mod. p)

est possible, s’est présentée de la facon suivante. | ù

C'est un problème très ancien, problème qui ne pouvait manquer de se poser quand on a connu la propriété du carré de l'hypoténuse d’un triangle Ë rectangle, que de chercher à reconnaître les nombres qui pouvaient être mis sous la forme de la somme de deux carrés, ou, ce qui est la même chose, des nombres que l’on pouvait obtenir en remplaçant dans l’expres- i sion æ? + y?, æ et y par des nombres entiers, Une généralisation bien E

naturelle de cette question est de rechercher si un nombre donné peut être obtenu en remplaçant dans l'expression ax? + bxy:+ cy?, où -a, bc

sont des nombres entiers donnés, x et y par des nombres entiers, ou :1 encore, comme l'on dit, de reconnaitre les nombres qui peuvent être repré- de sentés par la forme ax? + bæy + cy?. C'est là un des problèmes les plus. intéressants de l’Arithmétique supérieure. Un autre problème analogue est simplement de reconnaitre quels sont les diviseurs d'une telle forme, c’està-dire les diviseurs des nombres obtenus en remplaçant æ,y, dans

ax? + bxy + cy?, par des nombres premiers entre eux. Un cas particulier de ce problème, auquel d’ailleurs se ramènent les autres, consiste à. rechercher les diviseurs, et en particulier les diviseurs premiers, de la forme plus simple 4? — Dy?; il n’y a lieu que de chercher les diviseurs premiers qui ne divisent pas D, puisque ceux qui diviseraient D devraient diviser x et, ainsi, sont évidents. Il est clair que, si p est un nombre premier impair dont D soit reste quadratique, p est un diviseur de la forme

x? — Dy?, pour y = 1 et pour une valeur de æ égale à une racine de la congruence :

Ale SES 5) eo ANS ON STE

ASS ER Se ÉTÉ le D

Eu de

- x — D=0 (mod. p).

Réciproquement, si p est un diviseur premier impair de la forme x? — Dy?, il existe deux nombres entiers premiers entre eux a, b tels que l'on ait

a — Di = 0 (mod. p).

Il est clair que p ne divise pas b, car, autrement, b diviserait aussi a. Il existe donc un nombre entier 4’ tel que l’on ait

bb = 1 (mod. p);

en multipliant par b'? les deux termes de l'avant-dernière congruence ef en remplacant (bb'}? par 1, il vient -

(ab'}? — D = 0 (mod. p);

donc D est reste quadratique de p. Donc les diviseurs premiers impairs de la forme x? — Dy? sont les nombres premiers impairs dont D est reste