EU
étant respectivement des racines des congruences (2) et le nombre æ, étant pris comme on vient de l'expliquer, on a
(mod. a), (mod. b);
Sie se 25 C'ant d'/'S 246 0" 102
le nombre f(æ,) étant ainsi divisible par a, b, c, … est divisible par m: ainsi æ, est une racine de la congruence (1). On remarquera que tout nombre æ congru respectivement à &, fi, y, … suivant les modules respectifs a, b, c, …, fournira la même racine que x,, puisque ce nombre sera congru à x) (mod. m). Inversement toute racine x, de la congruence (1) fournissant un système de solutions (toutes égales à x,) des congruences (2), on voit que le procédé précédent fournira. certainement toutes les racines de la congruence (1), pourvu qu’on l’applique à fous les systèmes de nombres æ B, y, … qui vérifient respectivement les congruences (2).
On observera que deux systèmes distincts œ, f, y, -…., œ', fi", y", … de
. solutions des congruences (2), c’est-à-dire tels qu’on n'ait pas à la fois
œ—= a (mod. a), BG = £’ (mod. b), Y=Y (mod. c),
conduisent à deux solutions distinctes &,, æ,: on a en effet, par exemple, Lo — Lo = & — x (mod. a);
si donc æ9— % était divisible par m, « — œ/ serait divisible par a, de même GB — g' serait divisible par b, etc …; or nous venons de supposer qu'il n'en était pas ainsi.
On peut donc, en décomposant en facteurs premiers le module » d'une congruence
f(x) = 0 (mod. m),
où f(x) est un polynome entier en æ à coefficients entiers, ramener sa résolution à la résolution de congruences de la forme
f(æ) = 0 (mod. p”),
p étant un nombre premier.
533. Observons que toute racine de cette dernière congruence est une racine de la congruence
f(æ) = 0 (mod. p"—").
Supposons qu’on sache résoudre cette dernière congruence; chaque racine de la première congruence devra être congrue (mod. p"—*) à quelque
racines, on devra DR
sr
= Xl SD VE y étant un nombre entier que l’on cherchera à déterminer par la congruenc f&o+p"7y)=0 (mod. p');
le lecteur un peu familier avec l'Algèbre reconnaîtra sans peine que la
résolution de cette congruence se ramène en général à la résolution ao ‘une
congruence du premier degré. | Le ARS Si donc on'sait résoudre la congruence MIRE
* av
f(x) = 0 (mod. p), on saura résoudre la congruence | fa) = 0 (mod. p°), puis la congruence f(æ) = 0 (mod. p°h ele
: Cette méthode, avec de légères oi A None dans le cas où p est égal: à - 2, s'applique aux congruences de la forme
2 D —0 (mod. p"},
en supposant que p soit un nombre premier qui ne divise pas D. Je me contenterai d'énoncer les résultats.
534. Si p est un nombre premier autre que 2, qui ne divise pas D, la condition nécessaire et suffisante pour que 18 congruence |
æ—D=0 (mod. p') soit possible, est que la congruence æ — D=0 (mod. p) “
Le soit-elle même. On reconnait d’ailleurs directement que la congruence proposée ne peut avoir que deux racines incongrues (mod. p SE La congruence < ER
x?—D=0 (mod, 2), De
où D est un nombre impair, admet pour solutions tous les nombres i impairs,. si n est égal à 1 ou 2: elle admet donc une solution dans le premier a deux dans le second.
La congruence
ax?— D — 0 (mod. 8);
où Dest un nombre impair, n'admet de solution que si D est congru à 1 (mod. 8). Si cette dernière condition est vérifiée, la congruence admet quatre racines distinctes, savoir 4, 3, 5, 7.
La congruence
æ —D=0 (mod. 2”),
où D est un nombre impair et n un nombre plus grand que 3, n’est possible que si l’on a D = 1 (mod. 8) ({).
Si cette condition est vérifiée, la congruence proposée a quatre racines distinctes.
D’après ces résultats partiels, il est aisé de reconnaitre si la congruence
æ =D (mod. m),
où D est un nombre premier à m et où m est de la forme p“g*y..., ou 9" peqéy"…, est possible ou non, et de calculer le nombre de ses solutions distinctes : p, q, r, … désignent des nombres premiers autres que 2. |
$S 8 — Des congruences à une inconnue.
Cas où le module est un nombre premier.
535. Arrivons maintenant aux congruences prises suivant un module premier p. Mais auparavant faisons quelques remarques générales sur les nombres congrus suivant un module premier p.
En général, quand on considère un module quelconque m premier ou non, les nombres congrus suivant ce module peuvent être regardés comme équivalents, en ce sens qu'ils peuvent se substituer les uns aux autres dans les opérations faites sur des nombres entiers, qui ne comportent que des additions, soustractions et multiplications, à condition, bien entendu, qu'on néglige dans les résultats les multiples de m. Cela revient à dire que les congruences, prises toujours suivant le même module m, peuvent être traitées comme des égalités. En ce sens, les multiples dem doivent être regardés comme équivalents à 0. Toutefois, lorsque m n’est pas premier, il s’introduit une différence capitale avec les théories ordinaires; c’est que, en effet, un produit de facteurs peut être divisible par m sans que l’un des facteurs soit divisible par m. En d'autres termes, un produit peut être congru à 0 (mod. m) sans que l’un de ses facteurs soit congru à 0, tandis qu'un produit de nombres entiers ne peut être nul que si l’un de ses facteurs est nul,
Au contraire, lorsque le module est un nombre premier p, cette analogie
1. C’est dans ce cas qu'il y a lieu de modifier la méthode générale; pour déduire une racine x de la congruence proposée d'une racine æ9 de la congruence æ? = D (mod. 2 —1) on posera æ = Zo + LM et l'on cherchera à déterminer y de manière à satisfaire à la proposée.
TANNERY. 1e
520 LEÇON s D’ ARITHMÉTIQUE.
de parler € au cas où le module est A d’un nombre congru à ee qu'il est nul (:) (mod. p), on peut dire : Un produit de facteurs ne peut être, nul (mod. p) sans que l'un de ses facteurs le soit. Dans le même ordre d'idées, en supposant toujours qu'il ne soit question que de congruences … prises suivant le module premier p, il serait naturel de remplacer ‘ l'expression congrus (mod. p) par l'expression égaux (mod. p). Je conser-. verai toutefois le mode de langage habituel. En ce sens il n’y aurait que. p nombres distincts, savoir 0, 1, 2, ...,p—1, tous les autres étant conan (mod. p) à ceux-là. |
536. Étant donnés deux nombres a, b dont le second nest pas nul (mod. D} il y a un nombre et un seul, si l'on néglige toujours les multiples de p, qui ’érifie la congruence |
bx = a Ho p).
Il serait naturel, ainsi que Gauss l’a proposé, de regarder ce nombre comme le quotient (mod. p) de a par b et de le représenter par le symbole ; (mod. p) Seule, la cr par le nombre 0 demeure impossible. Ces fractions sym= boliques . (mod. p), qui représentent en réalité des nombres entiers, pourraient être soumises à des règles de caleul pareilles à celles des fractions ordinaires : on pourrait multiplier leurs deux termes par * “un. même nombre non nul (mod. p), etc...
537. Dans le même ordre d'idées, il est naturel d'appeler identiquement. congru à zéro (mod. p) un polynome Avat les coefficients sont nuls (mod. p)},. c’est-à-dire tout polynome qui peut être mis sous la forme p#{x), (x) étant un polynome entier en x à coefficients entiers. Deux polynomes à coefficients entiers seront identiquement congrus (mod. p):si leur différence est un polynome identiquement congru à zéro. On reconnaît tout de suite que, sion. fait des opérations d’addition, de soustraction, de multiplication sur diver: polynomes à coefficients entiers, on peut remplacer dans ces opérations ces | polynomes par d’autres polynomes qui leur soient identiquement congru (mod. p). Les deux séries d'opérations fourniront deux polynomes identiquement congrus (mod. p). Si dans un polynome entier en æ, à coefficients : entiers, on appelle terme du plus haut degré le terme du plus haut degré dans ce polynome dont le coefficient ne soit pas pul (mod. p}, sil'on an
des termes dé plus haut dan et de hé bas degré sont ae congrus (mod. p) aux produits des coefficients des termes du plus haut degré d’une part, et des termes du plus bas degré de l'autre, en sorte que
. Je dois à M. Borel ce expression, ainsi que la forme donnée à quelques-unes des he qui sont exposées ici.
le produit ne sera certainement pas identiquement congru à zéro, Si l’un des deux facteurs n’est pas lui-même identiquement congru à zéro. Ce théorème s'étend immédiatement au produit d'autant de polynomes qu’on voudra. On voit aussi qu’en appelant degré d’un polynome le degré du terme le plus élevé défini comme plus haut, on peut dire que le degré du produit de deux polynomes entiers en æ est égal à la somme des degrés des deux facteurs. Enfin étant donnés deux polynomes entiers en æ, f(x) et$ (x), on dira que f(x) est divisible (mod, p) par Y(æ) s'il existe un polynome Q{x) entier en +, tel que le polynome f(x) soit identiquement Congru au produit des polynomes Ÿ(x), Q(x). Le lecteur qui connait. la théorie du plus grand commun diviseur algébrique reconnaitra sans. peine que cette théorie s'étend, ainsi que ses conséquences les plus impor-tantes, à la divisibilité (mod. p). Je laisserai de côté ce sujet, malgré son ‘importance, pour m'arrêter sur quelques résultats d'ordre plus élémentaire.
538. Si un polynome f(x) entier en æ devient nul (mod. p) quand on Y remplace æ par le nombre entier a, c’est-à-dire si f{a) est divisible par p, le polynome f{x) est divisible (mod. p) par æ — a.
En effet f(x) — f(a) est algébriquement divisible par (æ — a) et le quotient est un polynome à coefficients entiers ÿ(x); on a donc identiquement
ffæ) = (2 — a)Y{x) + f(a); mais, f(a) étant, par hypothèse, un nombre divisible par p, la proposition est évidente.
Réciproquement, il est clair que, si le polynome f(x) est divisible (mod. p} par æ — 4, a étant un nombre entier, le résultat de la substitution de a à æ dans f(x) est nul (mod. p).
939. Si, a, b, €, … étant des nombres entiers dont deux quelconques ne sont pas congrus (mod. p), le polynome f(x), entier en x, est divisible (mod. p) par æ — a, par & — b, par æ — c, …, il est divisible (mod. p) par le produit (x — «)(x — b)(x — c).... R
. En effet f(x) étant divisible (mod. p) par x — a, on peut écrire identiquement \ fx) = (& — a)fi(æ) + pAs, À, étant un nombre entier et f;{x) un polynome entier en æ à coefficients entiers; en remplaçant dans Le résultat x par b, on obtient, puisque f{b) est divisible par p,
(b — a)f(b) = 0 (mod. p); puisque b — a n’est pas nul (mod. p), on a donc fi(b) = 0 (mod. p):
on en conclut que fi(æ) est divisible (mod. p) par &— b, de même parx — e, etc. ; on peut donc écrire identiquement
file) = (æ — b) f(x) + p4s
- A, étant encore un nombre entier et f,(x) un polynome entier en 2800 coefficients entiers; en remplaçant dans (x — a(fi(æ) + pAs, fix) par cette valeur, on en conclut qu’on peut écrire identiquement ee
f() = (æ — a){e — b}fx) + phi(v),
ÿ(x) étant un polynome entier en æ du premier degré, à coefficients “A entiers. En remplaçant dans cette identité x par c,on en conclut, pusqies 5
f(c) est divisible par p,
Oæ=(c—a)(c—b)f(c) (mod. p);
comme aucun des nombres ç — a, © — b n'est nul (mod. p), on en conclut “4 " que fi{c) est nul (mod. p), ou, si l’on veut, que f,(x) est divisible (mod. ») 3
par æ — c. Le raisonnement se continue; on pourra, dans l'identité fl) = (e — a)(e — de) + ph) |
remplacer f(x) par un polynome de la forme (x — chf;(x) + pAs, f(x) ayant encore ses coefficients entiers et A, étant un nombre entier; on obtiendra une identité de la forme
fa) = (e — d)(e — b)(a— fe) + pH, nn N.
où (x) est un polynome entier en æ, à coefficients entiers, du second. He. degré, et cette identité montre bien que le polynome f(x) est divisible 54 (mod.p) par (x — a){x — b)(x — c). En général s’il y a r nombres à, b, €, ….,
on mettra f (æ) sous la forme.
f(æ) = (& — a)(x — bjr — c)...f,(æ} + pŸ,(&),
f(x) étant un polynome entier en x, dont le degré est n = r18 12 ‘14 degré du polynome f{x) est n, et dans lequel le coefficient de la plus haute
puissance de æ est le même que dans f{æ), ainsi qu’il résulte de la théorie
de la division algébrique. Quand à Ÿ,. (x), c’est un polynome entier en æ. M
de degré r — 1.
940. Il résulte de là qu’un polynome du degré n ne peut pass annuler 4 + (mod. p) pour plus de n valeurs de la rte incongrues deux à 4 +44
(mod. p).
Si, en effet, dans l'identité précédente, on suppose que les nombres 4 a, b, c, …, l, incongrus deux à deux, soient en nombre n, on peut écrire
identiquement, en désignant par K le coefficient de x" dans (x) fe) = K(æ— a)(x — b)(x — c)... (x — 0) + ps 1x)
Ÿ,1 étant un polynome à coefficients entiers : si f(x) pouvait s'annuler
(mod. ») pour un nombre entier x, incongru (mod. p) à a, b, .…, l, on voit. en faisant æ = x, dans l'identité précédente, qu'on aurait
K(xy — à) (ty — d) (x — €) … (to —l) = 0 (mod. p),
ce qui est impossible.
Ainsi, une congruence du degré n à une inconnue
ffæ) = 0 (mod. p),
C'est-à-dire une congruence dans laquelle le premier membre f(x) est un polynome entier en x de degré égal à n, ne peut avoir plus de n racines distinctes. Si elle admet n racines distinctes et que l’on connaisse ces. n racines, on pourra mettre le premier membre sous une forme spéciale, comme on l'a vu au numéro précédent. |
541. Il est clair qu'on obtient une congruence équivalente à la proposée en remplacant'son premier membre par un polynome qui lui soit identique ment congru (mod. p). Supposons en particulier que ce premier membre soit: identiquement congru (mod. p) au produit de deux polynomes (x), 0(x) entiers en #, on aura, quel que soit le nombre entier æ’,
fx’) = (x) 0(x") (mod. p);
d'ailleurs, pour que le nombre entier f(x’) soit nul (mod. p), il faut et il suffit que l’un des nombres entiers g(x/), 6(æ') soit nul (mod. p); on en conclut que les racines de la congruence
joe f&)=0 (mod.p) sont les mêmes que les racines, prises dans leur ensemble, des congruences
2) ÿ(x) =0 (mod. p),
“3 O(xz) = 0 (mod. p).
Si, en particulier, f(x) est de degré égal à n et sila congruence (1) a. n racines distinctes, la somme des degrés des polynomes g{x), 6(x) sera égale a n; donc chacune des congruences (2) aura exactement autant de
racines distinctes qu'il y a d'unités dans son degré. Par exemple, la congruence
æ—1—=0 (mod.p)
a p — À racines distinctes, d’après le théorème de Fermat, à savoir les.
nombres 4, 2, .…, p — 1; on à d'ailleurs identiquement, en supposant, p> 2, L p—i p—1
| ami 4 (x ? —1){x ? +4); donc les congruences
(Pts æ*—1—=0 (mod. p), p—1
584 FE OA EUONE D'ARITHMÉTIQUE. un. di P ——
Er HS racines de la première sont les tas quadratiques de b, les À 5 racines
“à ji 2 ont chacune ip
À racines ditinctèss c'est ce qu’on savait déjà; les}
de la seconde sont les non-restes. | Donnons maintenant une application du LAÉRTRne du n° 530. La congruence de degré p — 1 Ra
A De —1=0, (mod. p).
admet p — 1 racines distinctes, par exemple les nombres 1,2, D — 45 il en résulte que le polynome a T1 1 est divisible (mod. p) par le radlé (x — 1)(x — 2)...(æ — p + 1), et comme le coefficient de la pue haute puissance de & est un, on peut écrire identiquement ten DTA = (m —4)(e —2)..(x — p +4) E pt)
ÿ (x) étant un polynome entier en x, à coefficients entiers: il en résulte
-que tous les coefficients du polynome ?
sont divisibles par »p; en d'autres termes, si l'on veut, ce polynome est | identiquement congru à 0 (mod. p). Le ne indépendant æ, en particulier, est — 1 — 1.2...(p — 1); on a donc
