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548. Considérons une congruence de la forme z"— D = 0 (mod. p),

p étant un nombre premier et D un entier non divisible par p. nr.

En désignant par g une racine primitive de p et en prenant les indices. suivant cette base, on voit que si x est regardé comme une racine de kB. À congruence Drécédente, on doit avoir FR

nlnd. x = Ind. D (moë, p=1)s. | or

inversement, si cette dernière congruence du premier débné: par rapport

à Ind. x est vérifiée, il est clair que la proposée le sera. Pour qu’elle

admette des rie il faut et il suffit que le plus grand commun divi- si

seur à de n et de p — 1 divise Ind. D (n° 510). S'il en est ainsi, elle admettra,

en regardant Ind. æ comme l’inconnue, & solutions incongrues (mod.

p — 1), auxquelles correspondent à racines distinctes de la proposée. La

condition de possibilité à laquelle nous parvenons ainsi dépend, au moins.

en apparence, de la racine primitive g, qui a servi de base aux indices. Lu

convient de la transformer. Rd En désignant par d l'indice de D, dans la base g,onaura .

19f= D: {mod,p)

et, par suite, ee FRERES

(mod. D).

1. Ces derniers nombres sont tirés d'une table construite par M. Wertheim et qui confient

. les mêmes indications pour tous les nombres Hier HA à 3000. (Acta mathematica, t. XVII, p. 315.) pi

élevant à la puissance

CONGRUENCES BINOMES. JÈL

Mais, si le plus grand commun diviseur à de net de p—1 divise d, le

p—1 Ë nombre À ER d = (p — DE est un multiple de p — 1, par conséquent

le premier membre est congru à { (mod. p). On doit donc avoir : p—1

DS —1 (mod. p).

Inversement, si cette condition est vérifiée, & doit diviser d; en effet, en p — 1 Ô

les deux membres de la congruence

pe D (mod. p),

on oblüent alors g ÿ —K | (mod. p),

doit être divisible par p — 1,

d'où il résulte que le nombre entier Le = :

ce qui suppose que d soit divisible par à. Ainsi : La condition nécessaire et suffisante pour que la congruence

x" = D (mod. p),

où p est un nombre premier et D un nombre entier non divisible par p, admette des solutions, est que l'on ait

DA 1 (mod. p),

en désignant par à le plus grand commun diviseur de n et de p — 1. Si

cètte condition est vérifiée, la congruence proposée admet à racines

distinctes.

Ce théorème contient, comme cas particulier, la proposition du n° 517,

relative au cas où n est égal à 2.

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