ktant donnée une progression géométrique indéfinie

dont le premier terme est 1 et la raison a, si l'on divise tous les termes ‘par un nombre à premier à a, lès restes se réproduiront périodiquement. Il existe en particulier une infinité de termes qui fournissent comme reste le nombre 1; sin est le plus petit exposant pour lequel a? — 1 soit divisible par a, la période des” restes se compose de n termes différents. Déterminer cette période dans le cas où a—=92, b = 93.

La proposition précédente, dont diverses conséquences seront développées dans le chapitre dernier, est le fondement de la théorie générale des caractères de divisibilité dans un système de numération dont la base est a.

414. Si a! est premier à b et si b’ est premier à a, le plus grand commun diviseur de a et de b sera le même que le plus grand commun diviseur de aa'et de bb’.

442. Si le plus grand commun diviseur des nombres m, b, c est l'unité, le plus grand commun diviseur des trois nombres ma, b, c est le même que celui des trois nombres @, b, c.

413. Si dest le plus grand commun diviseur de a et de b; si d'est le plus grand commun diviseur de a’ et de b et si d et d' sont premiers entre eux, le grand commun diviseur de aa’ et de b sera dd”.

444. Si l’on applique la méthode pour chercher le plus grand commun diviseur à deux termes consécutifs de la suite de l’exercice 20 (p. 89), on trouvera comme restes successifs les termes précédents de cette suite. Deux termes consécutifs de cette suite sont premiers éntre eux.

415. Dans la suite de l'exercice 20 (p. 89), on sait (Ex. 59, p. 106) que l’on a

Um+n —= Un—1i Um + Un Um+1.

Démontrer que le plus grand commun diviseur de um+n et de um est le même que celui de un et de à; ce plus grand commun diviseur est égal à ua, en désignant par d le plus grand commun diviseur de » et de n.

416. On considère n nombres a, b, ce, ; on prend le plus grand commun

diviseur de deux quelconques d'entre eux, et l’on conserve tous les nombres différents a’, b!, c', … que l'on peut obtenir ainsi; on opère sur a’, b', c', … comme on a fait sur a.b, c, …. etc. Au bout d'un nombre fini d'opérations, on aura le plus grand commun diviseur des nombres proposés. 417. Dans l'opération du plus grand commun diviseur, il est impossible que plus de deux restes consécutifs tombent entre deux mêmes termes de la suite de l'exercice 20 (p. 89); s’il en tombe deux, il n'y en aura aucun dans l'intervalle suivant.

En partant de là, montrer que l'opération du plus grand commun diviseur exige un nombre de divisions au plus égal à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres (Ex. 24, p. 90).

4148. Le plus petit commun multiple de deux nombres est 96; l’un de ces nom-

bres est 6, quel peut être l’autre ?

‘449. Si m est premier à b, le plus petit commun multiple de ma et de 6 est

420. Soit À le plus grand commun diviseur des p nombres &,, &@:, + &p; soit B le plus grand commun diviseur des q nombres b,, b,, ., b4: le plus grand commun diviseur des pg produits que l’on peut former en prenant un facteur parmi les nombres a,, @, …, av et l’autre facteur parmi les nombres b,, b,, .…, bg, est AB.

Ce théorème subsiste quand on remplace les mots « plus grand commun diviseur » par les mots « plus petit commun multiple ».

424. Si le plus grand commun diviseur des nombres m, a, b est l'unité, le plus grand commun diviseur de m et de ab est égal au produit du plus grand commun diviseur de m et de a par le plus grand commun diviseur de "= et de b.