Ou, plus correctement, les diviseurs communs à à, b, c

439 LEGONS D'ARITHMÉTIQUE.

447. Plus grand commun diviseur de deux nombres. — Considérons d’abord le cas de deux nombres @, b. Si a est divisible par b, tout diviseur de b est un diviseur de son multiple a, donc les com-

muns diviseurs de a et de b sont les mêmes que les diviseurs de 6: | Supposons maintenant qu'aucun des deux nombres &, b ne soit

divisible par l'autre; les deux nombres a, b sont alors différents; de. supposons 4 > b. | AE Les diviseurs communs à a et à b sont les mêmes que les diviseurs 4 communs à bet au reste c de la division de a par b. a Soit, en effet, q le quotient de la division de a par 6, on aura d — bg +c. | % Tout nombre qui divise a et b divise aussi bg : il divise une somme = a et l’une de ses parties bg : il divise donc l’autre c. Tout nombre À qui divise b et c divise aussi bg : il divise les deux parties bg et c Re d'une somme, il divise donc cette somme qui est égale à a. Ainsi o. les communs diviseurs de a et de b sont des communs diviseurs de : bet de c ; les communs diviseurs de b et de c sont des communs : 20 |

diviseurs de a et de b. Si l’on range dans un premier tableau tous les communs diviseurs de a et de b et dans un second tableau tous les communs diviseurs de b et de c, tout nombre qui figure dans le premier tableau figure dans le second, tout nombre qui figure dans le second tableau figure dans le premier ; les nombres qui figurent dans un des tableaux sont les mémes que ceux qui figurent dans l'autre. Le théorème est démontré. Rex |

Si c divise b, les diviseurs communs de c et de b sont les mêmes que les diviseurs de €; puisque les diviseurs communs de & et de b sont les mêmes que ceux de cet de b, ils sont aussi les mêmes que les diviseurs de c. de

Si ç ne divise pas b, on a fait cependant un pas, puisque € est plus pelit que b et que, ainsi, la recherche des communs diviseurs de a, b est ramenée à la recherche des communs diviseurs des deux nombres plus petits b et c. Soit alors d le reste de la division de b par c; les communs diviseurs de & et de c sont les mêmes que les communs diviseurs de c et de d; si d divise c, les communs diviseurs de c et de d sont les mêmes que les diviseurs de d;sidne divise pas €, soit e le reste de la division de c par d, les commur ; diviseurs de c et de d sontles mêmes que les communs diviseurs de detdee; sie divise d, ils sont les mêmes que les diviseurs dee; si e ne divise pas d, on continuera de la même façon.

Les restes successifs c, d, e, .… vonten diminuant à chaque fois,

UE Lcd ges Lis à L ANS ELU, UEFA EE pr TN RE 0

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on ne peut en trouver qu'un nombre limité; mais d’un autre côté, on ne peut être arrêté dans la suite de ces opérations que si l'on rencontre un reste qui divise le précédent : cette circonstance se présentera donc nécessairement. Elle pourra se présenter, en particulier, dans le cas, d’ailleurs remarquable, où l’on parvient à un reste égal à 1 ; ce reste divise certainement le précédent. Soit, dans tous les cas, À le reste qui divise le reste précédent g. Les communs diviseurs de a et de b sont les mêmes que ceux de b et de c, qui sont les mêmes que ceux de c et de d, qui sont les mêmes que ceux de d et de e, .…, qui sont les mêmes que ceux de g et de À : et. ces derniers sont les mêmes que les diviseurs de À.

Donc les diviseurs communs de a, b sont les mêmes que les diviseurs de } (1). :

Etant donnés deux nombres a, b, différents de zéro, il existe un nombre h lel que les diviseurs communs de a, b soient les mêmes. que les diviseurs de h; ce nombre, qui peul s'oblenir par les opéralions précédentes, s'appelle le plus grand commun diviseur de à, b, nom qui est évidemment justifié, puisque h est le plus grand diviseur de h.

Considérons, par exemple, les nombres 360 et 172; en divisant 360 par 172, on a pour quotient 2 et pour reste 16 ; en divisant 172 par 16, on a pour quotient 10 et pour reste 12; en divisant 16 par 12, on a pour quotient 1 et pour reste 4; en divisant 12 par 4, on a pour quotient 3 et pour reste 0. Les diviseurs communs de 360 et de 172 sont les mêmes que les diviseurs communs de 172 et de 16, qui sont les mêmes que les diviseurs communs de 16 et de 12, qui sont les mêmes que les diviseurs communs de 12 et de 4, qui sont les mêmes que les diviseurs de 4, puisque 12 est un mulüple de 4.

On adopte souvent la disposition suivante pour les calculs, disposition qui montre l'enchaîinement des divisions; au lieu de placer les quotients au-dessous des diviseurs, on les a placés au-dessus, afin de laisser la place libre pour les restes ; d’ailleurs ces quotients n’ont ici aucune importance :

2 10 4 3 360 | 472 | 46 | 42 | 4 944 160 12 12 16 | 421 4 | 0 4 est le plus grand commun diviseur.

1. M. Vacquant, inspecteur général -de l'Université, a bien voulu appeler mon attention sur la

418. On peut profiter de quelques simplifications pour cette recherche. Remarquons d'abord que pour démontrer que les diviseurs communs de x et de b étaient les mêmes que ceux de b et de c, on s’est fondé. uniquement sur l'égalité Le a — bq +0,

qui n'implique pas que c soit plus petit que b, qui n'implique done pas que c soit le reste de la division de a par b;-cette supposition n’est intervenue que plus tard, quand on a remarqué que les restes successifs allaient . en diminuant ; mais, dans tous les cas, rien n’empêche, pourvu que a, b, c soient liés par une relation telle que la précédente, de substituer la recherche du plus grand commun diviseur de b et de c à la recherche du plus grand commun diviseur de a et de b.

Il en serait évidemment de même si 4, b, c étaient liés par une relation telle que î

a—bq — 0,

car rien n'empécherait de reprendre sur cette égalité, en les modifiant à peine, les raisonnements que l'on a faits sur l'égalité a = bg + c.

Or, en supposant toujours que c soit Le reste de la division de a par b, on a évidemment

si b — c est plus petit que c, il sera avantageux de le substituer à c dans la recherche du plus grand commun diviseur ; c’est ce qui arrivera si l’on à b<2c; ainsi dans l'exemple précédent, au diviseur 12 on pourra substituer le diviseur 16 — 12 = #4, et supprimer une division.

419. Règle. — Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres dont aucun n’est nul, on divise le plus grand par le plus petit ; si la division se fait exactement, le plus petit est le plus grand commun diviseur cherché ; sinon on divise le nombre employé comme diviseur par le reste de la division ; puis, le nombre employé comme diviseur dans cette nouvelle division par le reste qu'elle fournit, et amsi de suite, jusqu'à ce qu'une division réussisse. Le nombre employé alors comme diviseur est le plus grand commun diviseur cherché. Pour simplifier cette recherche, on peut d'ailleurs uliliser les remarques précédentes. |

420. Plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. — Considérons maintenant le cas de plusieurs nombres DCE dE puisque les diviseurs communs à deux de ces nombres @, b sont les mêmes que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur Di

convenance qu'il y a à insister tout d'abord sur cet énoncé et à ne faire intervenir que plus tard la notion de plus grand commun diviseur. GCelte observation acquiert toute sa portée dans la théorie du plus grand commun diviseur algébrique, qui est, au fond, identique à celle qu'on vient d'exposer.

est clair que les communs diviseurs de a, b, c, d, .… serontles mêmes que les communs diviseurs de D, €, d, … ceux-ci sont les mêmes que les diviseurs communs de D’, d,..., en désignant par D' le plus erand commun diviseur de D et de €, elc...; on finira par n'avoir plus que deux nombres et les diviseurs communs à @, b, c, d,.… seront évidemment les mêmes que les diviseurs du plus grand commun diviseur de ces nombres-là. Étant donnés autant de nombres que l’on voudra, il existe donc un nombre dont les diviseurs sont les mêmes que les diviseurs communs des nombres donnés ; on lui donne le nom de plus grand commun diviseur ; on ramène la recherche de ce plus grand commun diviseur au cas de deux nombres, en s'appuyant sur ce qu'on ne change pas les diviseurs communs de plusieurs nombres en substituant à deux de ces nombres leur plus grand commun diviseur. — Il est d’ailleurs évident qu’on pourrait aussi bien remplacer trois, quatre, … de ces nombres par leur plus grand commun diviscur.

Soient, par exemple, les nombres 360, 180, 54, 372. 180 est le plus grand commun diviseur de 360 et de 180, le plus grand commun diviseur des quatre nombres est le même que le plus grand commun diviseur de 180, 54, 372; le plus grand commun diviseur de 180 et de 54est 18; celui de 372 et de 18 est 6 : le plus grand commun diviseur des quatre nombres est 6, et les communs diviseurs de 360, 180, 54, 372 sont les mêmes que les diviseurs de 6.

Dans la pratique, quand on a à chercher le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, il est généralement avantageux de commencer par les plus petits.

4924. Quand on multiplie deux ou plusieurs nombres par un même facteur, leur plus grand commun diviseur esl multiplié par ce facteur. On entend par là que le plus grand commun diviseur des nouveaux nombres est égal au plus grand commun diviseur des anciens nombres multiplié par le facteur par lequel on les a multipliés eux-

mêmes.

Dans le cas de deux nombres, cette proposition résulte du procédé

exposé pourobtenir le plus grand commun diviseur de deux nombres.

Reprenons les notations du n° 417 (p. 132) : soient a, b les deux

nombres proposés, c le reste de la division de a par b, d le reste

de la division de b parc, .…, h le plus grand commun diviseur.

Si l’on multiplie les nombres a et b par un facteur "m, c’est-à-dire si on substitue aux nombres a, b les nombres am, bm, le reste c sera aussi multiplié par.m, c'est-à-dire que cm devra remplacer c; de même le reste de la division de bm, par cm sera dm ; tous les restes

456 = LEGONS D’ARITHMÉTIQUE.

seront multipliés par m : le plus 8 orand commun diviseur, qui est le dernier de ces restes, sera aussi niibpné par m.

Ainsi le plus grand commun diviseur de 360 et de 172 est # : cos de 360 ><5 —1800 et de 172 ><5 = 860 sera 4><5 — 20.

Considérons maintenant le cas de trois nombres @, b, €; soient D

le plus grand commun diviseur de 4, b et D' le plus grand commun diviseur de D et de c, c’est à-dire le plus grand commun diviseur de

a, b, c: je dis que le plus grand commun diviseur de am, bm, cm est D'm ; en effet le plus grand commun diviseur de am et de bm est Dm ; le plus grand commun diviseur de Dm et de cm, ou le plus grand commun diviseur de am, bm, cm, est D'm

Du cas de trois nombres on s'élève A au cas de

quatre, cinq, .… nombres. La proposilion est générale.

Quand deux ou plusieurs nombres sont divisibles par un même nombre m, il en est de méme du plus grand commun diviseur ; si on effectue les divisions, le plus grand commun diviseur est lui-

méme divisé par le nombre m; c'est-à-dire que le plus grand commün diviseur des nouveaux nombres. est égal au plus grand commun diviseur des anciens, divisé par m.

On peut démontrer cette proposition de la même façon que la

précédente ; on peut aussi observer qu'elle en résulte.

Considérons, par exemple, les trois nombres a, b, c divisibles par m; soit D leur plus grand commun diviseur ; soient g/, b', c! les résultats de la division de a, b, c par m, et soit D' leur plus grand commun diviseur : le plus grand commun diviseur de ma’, mb!, mc! sera en vertu de la proposition démontrée en premier lieu, égal à mD' ; on aura donc D —mbD', en d'autres termes D' est le sos de la division de D par m.

122. Nombres premiers entre eux. — En particulier, si l’on die

les nombres a, b,c, .… par leur plus grand commun diviseur D, Ie

| Se De plus grand commun diviseur des quotients 4’, b', c',.. sera —

k D ou 1. Les quotien ts n'auront pas de diviseur commun autre que 1.

Réciproquement si les nombres a’, b', c’, ..…. ont pour plus grand

commun diviseur l'unité et si D est un nombre quelconque, le plus

grand commun diviseur des nombres 4'D, DD, c'D, .…, obtenus en …

multipliant par D les nombres a/, D’, c', .…, sera le DrOdLEe de 4 par D, c'est-à-dire D.

Lorsque le plus grand commun diviseur de deux nombres est 1, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux; ainsi 8 et 11

sont premiers entre eux. On peut donc dire : Quand-on divise deux

nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients sont

premiers entre eux; ainsi Zn — 90 et y — 43 sont premiers entre eux ; réciproquement quand deux nombres sont premiers entre eux et qu'on les mulliplie par un troisième nombre, ce troisème nombre est le plus grand commun diviseur des produits (!).

On dit que plusieurs nombres sont premiers entre eux deux à deux, lorsque chacun de ces nombres est premier à chacun des autres. Ainsi 3, 8, 11 sont premiers entre eux deux à deux ; 10, 42, 7, ne sont pas premiers entre eux deux à deux, quoique le plus grand commun diviseur de ces nombres soit égal à 1.

Remarquons en passant que lorsque deux nombres sont premiers entre eux, tout diviseur de l'un est premier avec tout diviseur de l’autre ; car, si ces deux diviseurs étaient multiples d'un même nombre, il en serait de même des deux nombres proposés.

123. Les propositions qu'on vient d'établir, bien qu’elles ne soient qu’un cas particulier du théorème du n°121 (p.135), sont très importantes et iln'est peut-être pas inutile de remarquer que la proposition directe résulte immédiatement de ce que le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres

est le plus grand de leurs communs diviseurs.

Si on désigne encore, en effet, les nombres donnés par a, b, c,.., par D leur

. plus grand commun diviseur, par a’, b',c'.... les résultats obtenus en divisant D ? AP

a, b, c,... par D, je dis que a’, b', c',... ne peuvent avoir d'autre diviseur commun #” que l'unité ; si l’on a en effet

4, = «M; br bm, Cut, les égalités a = 4 D; bb D; CCD res entrainent a = a''mD, GS GARD, tm Dese

en sorte que les nombres aq, b, c auront pour commun diviseur le nombre mD, plus grand que D si m est plus grand que 1.

Quant à la réciproque, elle deviendrait évidente de la même façon si l'on admettait que fout diviseur commun à plusieurs nombres a, b, c,... est un diviseur du plus grand D des communs diviseurs de ces nombres. Cette proposition a été démontrée plus haut en s'appuyant sur l’opération même qui fournit le plus grand commun diviseur, elle le sera autrement un peu plus bas.

1. Ces façons de parler s'étendraient d’elles-mêmes au cas de plusieurs nombres, si l'on convenait de dire que plusieurs nombres a, b, c, ...sont premiers entre eux quand leur plus grand commun diviseur est 1. À ce sujet, le langage varie un peu suivant les auteurs: quelqies-uns disent, dans ce cas, que les nombres sont premiers entre eux, pris dans leur ensemble ; d'autres n'appel-

lent nombres premiers entre eux que ceux que nous appelons premiers entre eux deux à deux,

Pour éviter toute confusion, quand il s'agira de plusieurs nombres, je dirai : nombres dont le plus grand commun diviseur est l'unité.

4138 LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE. e

194. On ne change pas le plus grand commun diviseur de deux nombres en multipliant l'un d'eux par un facteur premier à l'autre.

Soient en effet «&, b les deux nombres; soit m un nombre premier à b : je dis que le plus grand commun diviseur de a et de b est le même que le plus grand commun diviseur de maetdeb.

I] faut montrer que les diviseurs communs de ma et de b sont les

mêmes que les diviseurs communs de a et de b : les divi-.

seurs communs de a et de b sont évidemment des diviseurs communs de ma et de b : il suffit donc de montrer que les diviseurs communs de ma et de b sont des diviseurs communs de a et de b,

c'est-à-dire qu'ils divisent a; or, par hypothèse, le plus grand com-

mun diviseur de b et de m est 1; le plus grand commun diviseur

de ba et de ma sera donc a; mais tout nombre qui divise b et ma divise aussi ba et ma ; il divise donc leur plus grand commun diviseur a, ce qu'il fallait démontrer. | ne .

Inversement, on n’altérera pas le plus grand commun diviseur entre deux nombres @, b en divisant l’un d’eux par un nombre premier à l'autre. On suppose essentiellement que la division se fasse exactement. | , Cette proposition est au fond identique à la précédente : dire, en supposant que m soit premier à b, que le plus grand commun diviseur de a et de b est le même que le plus grand commun diviseur de ma et de b, ou dire que le plus grand commun diviseur de ma et

de b est le même que le plus grand commun diviseur de a et de b,

c’est dire la même chose. :

125 On obtient deux conséquences importantes de ce théorème en supposant successivement que b, que l'on regarde toujours comme premier à m, divise le produit ma ou soit premier avec a. ne, 1e Si b divise le produit ma, il est le plus grand commun diviseur de b et de ma, et par suite de b et de a, puisqu'il est premier avec m : il divise donc le nombre a. Par Suite : Fo Si un nombre divise un produit de deux facteurs et qu'il soil premier avec l'un d'eux, il divise l'autre. ee Par exemple, 6 divise 60—12 <5; il est premier avec à, il divise donc certainement 12 ; 15 divise aussi 60, il ne divise aucun des facteurs 12 et 5, mais il n’est premier avec aucun d'eux. | 9e Si b est premier avec 4 comme avec 7, il est premier avec 74,

puisque le plus grand commun diviseur de b et de ma doit être À,

comme le plus grand commun diviseur de b et de a. Donc : Tout nombre qui est premier avec les deux facteurs d'un prodr:il est premier avec ce produit.

La première proposition est une des propositions les plus importantes de l’arithmétique, et c’est la facilité avec laquelle elle se déduit de la considération du plus grand commun diviseur qui est la raison de l’ordre adopté dans la présente théorie.

La seconde proposition se généralise comme il suit: =

126. Si un nombre est premier avec tous les facteurs d'un produit, il est premier avec ce produit.

Le théorème est démontré quand le produit ne comprend que deux facteurs ; supposons qu’il en contienne trois, p, q, r, et Supposons le Hrubre a premier avec chacun des nombres p, q,r : je dis : qu'il est premier avec le produit pgr; en effet, étant premier avec p, 4, il est premier avec pq; étant premier avec pq et r, il est premier avec pq <r—pqr. Du cas de trois facteurs, on passe au cas de quatre, cinq, … facteurs. La proposition est générale.

Si deux produils sont tels que chaque facteur de l'un soit premier avec chaque facteur de l’autre, les deux produits sont premiers enire eux.

Soient en effet abc, pgrs pe deux produits ; supposons que chacun des nombres &, b, c soit premier àp, à g,à r, às: asera premier au produit pgrs, de même b et c; pgrs étant premier à a, à b, à c, sera

premier à leur produit abc.

Ainsi 3 est premier avec 4, 5, T,il sera premier à leur produit 140 ; 3 et 15 sont premiers à chacun des nombres 4, 5, 7 : le produit 3 XX 13 = 39 sera premier au produit 4xX<5>x<1—140,

Comme cas particulier des théorèmes précédents, on aura, en supposant les facteurs égaux dans chaque produit, les théorèmes suivants :

Si deux nombres sont premiers entre eux, l'un d'eux est premier avec toute puissance de l'autre ; toule puissance de l'un sera première avec toute puissance de l'autre.

Ainsi 7 et 5 sont premiers entre eux : il en est de même de T et den 125, de 55.et de 7° — 2101 (1).

127. Quand un nombre est divisible par plusieurs autres qui sont premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Supposons que le nombre A soit divisible par les nombres @, b, premiers entre eux; soit g le quotient de A par à, on aura A — ag: le nombre b, premier à a, divise le produit ag; il doit donc diviser le facteur g ; si g' est le quotient, on aura g—bg' et par Suite

A = aqg= a (bg) = abg',

1. L'ordre que j'ai adopté dans les numéros précédents (121-126) a été indiqué par Lejeune Dinchlet. (V. Dedekind, Vorlesungen über Zalhlentheorie.) |

ce qui montre que A est divisible par ab et que le quotient de la division est g'. | + de :

Supposons maintenant que À soit divisible par les nombres 4, b,c,.

premiers entre eux deux à deux : À étant divisible par les deux

nombres @&, b, premiers entre eux, est divisible par leur produit ab, :

mais ce produit est premier au troisième nombre € (n° 126, p. 139)

puisque € est premier à chacun des facteurs a, b ; À étant divisible

par les deux nombres ab et c, premiers entre eux, est divisible par.

leur produit abc. ie

Du cas de trois nombres a, b, ec, on passera au cas de quatre nombres, à, b,c, d,elc... : la proposition est générale. Il convient de la rapprocher du théorème du n°104 (p.119), en vertu duquel on obtiendra le même quotient final en divisant successivement le : nombre A par les différents facteurs du produit, ou par le produit.

498. Un nombre A, différent de zéro, est dit commun multiple de plusieurs nombres 4, b, ©, … s'il est divisible par chacun d'eux. Des nombres a, b, c, … étant donnés, le produit de ces nombres, multiplié par un facteur arbitraire, est un commun multiple de ces

nombres ; ceux-ci admettent donc une infinité de communs multi

ples ; parmi ces communs multiples, il y en a un qui est plus petit que tous les autres; en effet, de deux choses l’une : ou il n° y a pas de commun multiple plus petit que le produit des nombres a, b, c, alors ce produit est le plus petit commun mulüple cherché; ou il y a quelque commun multiple inférieur à ce produit; mais les nombres

inférieurs à ce produit abc .… étant en nombre limité, il en est de :

même des communs multiples inférieurs à abc... ; parmi ceux-ci, il y en a un qui est plus petit que tous les autres.

Si Les nombres a, b, c,. sont premiers entre eux deux à deux,

il résulte du théorème précédent que tout commun multiple de ces nombres est un multiple de leur produit abc... : ce produit est donc le plus petit commun mulliple des nombres a, 8, c,.… et tout commun

multiple de ces nombres est un multiple de leur plus petit commun .

multiple. La méthode même qui permet de trouver le plus petit commun mulüiple montrera d’une façon générale, que les multiples communs à deux ou plusieurs nombres s’obtiennent en multipliant l’un d’eux (le plus petit) par un nombre arbitraire. p

429. Considérons d’abord deux nombres, @, b; soit D leur plus

grand commun diviseur; soient a/, b' les quotients de la division dea,bparD;ona 1

et les nombres a/, b' sont premiers entre eux. Tout multiple de a s'obtient en multipliant & par un certain nombre »; il peut donc se représenter par a Dm. Si l'on veut que ce nombre soit un multiple de à, 1l faut choisir m de façon que a/Dm soit divisible par b ou bD;

si g est le quotient on aura

a'Dm = b'Dg,

ou, en divisant par D (qui n’est pas nul), a'm = b'q ;

il faut donc que b' divise am; or il est premier avec a’, il faut qu'il divise m. Réciproquement, si m est divisible par ?’, il en sera de même de am, et par suite a'mD sera divisible par DD — 6 {n° 104, p.119). Ainsi tout commun multiple de a et deb s’obtiendra en mettant dans le produit a Dm, à la place de m, un multiple de b' et, géciproquement, tout nombre obtenu de cette façon est un multiple commun de @, b; or, tout multiple de b' est de la forme kb’, k étant un nombre naturel quelconque ; done, tout multiple commun de 4, b

est de la forme | a'D x< (kb) =abDXK<K,

et réciproquement : on voit donc que les multiples communs de a, »

sont les mêmes nombres que les multiples de a’b'D; on les obtiendra tous en donnant à k les valeurs 1, 2, 3, ..… Le plus petit est ab D.

Par exemple, le plus petit multiple commun de 360 et 172 est égal 36 es au produit de 172 par ie — 90 : il est 15480; les multiples de 15480 sont les multiples communs de 360 et 172.

Si les nombres a, b sont premiers entre eux, on a D=—1, q'= 4, b! = b, et la démonstration précédente montre que les multiples communs de &, b sont les mêmes nombres que les multiples de leur produit : c’est la proposition du n° 128 (p. 140).

Le nombre a’b'D s'appelle plus petit commun mulliple des nombres a, b; cette dénomination est évidemment justifiée. On peut

: ab l'écrire ab!, ou a'b, en encore “p ; car on a vu (n°102, p.118), que

pour diviser par D le produit ab, il suffisait de diviser par D l’un de ses

ab | : d ie, :

facieurs : —- est donc la même chose que a'b. Nous sommes par-

venus au théorème suivant : .

Le plus petit commun multiple de deux nombres s ’oblient en divisant leur produit par leur plus grand commun diviseur ; les mulliples communs de deux nombres sont les mêmes nombres que les multiples de leur plus petit commun mulliple.

130. Si l’on a maintenant plusieurs nombres, 4, b, c, d, par exetiples et que l’on cherche les communs multiples de ces nombres, on peut remplacer deux d’entre eux, a, b, par exemple, par leur plus petit

* commun multiple M; les multiples communs de @, b étantles mêmes

nombres que les multiples de M, il est clair que les multiples

communs de a, b, c, d seront les mêmes que les multiples communs des nombres M, e, d'; si l’on désigne maintenant par M! le plus petit

commun multiple de M et de c, il est clair que les communs mul tiples de M, €, d seront les mêmes que les communs multiples de M’, d; enfin, si l’on désigne par Mle plus petit commun mullüple de

M', d, les communs multiples de M’, 4 seront les mêmes nombres

que les multiples de M. | ie

Le raisonnement est général et l’on voit que : 1° Étant donnés autant de nombres qu’on veut, il existe un nombre m tel que les multiples communs des nombres donnés soient les mêmes nombres.

que les multiples de m; ce nombre m s'appelle le plus petitcommun

mulliple des nombres donnés ;

2 Dans la recherche du plus petit commun mulliple de plusieurs nombres, on peul remplacer deux ou plusieurs de ces nombres par leur plus petit commun multiple.

Par exemple, le plus petit commun mulliple de 360, 172, 18, a1

est le même que le plus petit commun multiple de 15480 (qui est le -

plus petit commun multiple de 360 et de 172) et de 126 (qui est le petit commun multiple de 18 ct de 21); et comme 18 est le plus grand commun diviseur de 15480 et de 126, le plus petit commun

multiple cherché est égal au produit de 15480 par — 42 il est |

donc 108360.

431. Il ne sera pas inutile de remarquer que le théorème fondamental « les multiples communs à deux ou plusieurs nombres sont les mêmes nombres que les multiples de leur plus petit commun multiple » peut être déduit directement de la notion de pius petit commun multiple.

Soit en effet M le plus petit commun multiple des nombres a, b, c.... tel qu'il a été défini au n° 128 (p. 440) et soit M' un commun multiple de ces

et par suite

nombres; si M’ n’est pas divisible par M, soit M’ le reste de la division de

M’ par M; M” devra être divisible par a, db, c,.… (n° 417, p.132) ; M” est donc un commun multiple de a, b, c,...; mais M” est plus petit que M; M ne serait donc pas le plus petit commun multiple,

Gette proposition entraine la proposition analogue relative au plus grand commun diviseur.

On observera d’abord que si le commun multiple de plusieurs nombres D, D’, D”,... figure parmi ces nombres, c’est certainement le plus grand d'entre eux. Ceci posé, soient a, b, c,... plusieurs nombres et D, D', D"... tous leurs communs diviseurs ; les nombres a, b, c,... étant des multiples de D, D’, D”,.,. seront divisibles par leur plus petit commun multiple, qui ainsi fera nécessairement partie des nombres D, D’, D"... et sera donc le plus grand d'entre eux. On a ainsi une seconde démonstration de la propriété fondamentale du plus grand commun diviseur (1).

432. La condition nécessaire et suffisante pour que M soi le plus petit commun'multiple des nombres a, b, c,... est que M soit divisible par chacun de ces nombres et que les quotients soient premiers entre eux.

4° Si M est le plus petit commun multiple de a, b, c,.., les quotients obtenus en divisant M par a, b, c,... sont premiers entre eux : désignons, en effet, ces quotients par a’, b', c',..., on aura

Ras UD es OCR; si a’, b', c'.…. avaient un diviseur commun # autre que 1, on pourrait poser pe RQ PS ef 1) Es !

12 JE 0 mm) SAT M2 | RAI NOR COR CES:

M serait donc divisible par # et l’on aurait

: dr De ES

. serait donc un commun multiple de a, b, c,...,et M ne serait pas le plus petit commun multiple de ces nombres.

20 Si M est un commun multiple, mais non le plus petit commun mul-

…. tiple de a, b, c,.….., les quotients de la division de M par a, b, c,... ne sont

pas premiers entre eux.

Soit, en effet, m le plus petit commun multiple de a, b, c,.… et soien m

Me br:

4. Elle est tirée d'un Mémoire de M. Stieltjes (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. V).

d’ailleurs M est divisible par m; soit À le quotient, qui, par hypothèse, est plus grand que 1 : on aura

M nt rh Rech à

d’où l’on déduit que les quotients de la division de M par a, b, c,... sont respectivement a'h, b'h, c'h,..., et qu'ils admettent le diviseur commun k(!). Quand on multiplie ou qu'on divise plusieurs nombres a, b, c,... par un méme nombre h, le plus petil commun multiple des nombres a, b, c,... est multiplié où divisé par h. (Les divisions de a, b, c,.. par À sont supposées se faire exactement.) k ; Soit, en effet, M le plus petit commun.multiple de a, b, e,...; Mh sera divisible par ah, bh, ch... et les quotients sont les mêmes que les quotients de la division de M par a, b, c,.….: ils sont donc premiers entre eux; donc MA : est le plus petit commun multiple de ah, bh, ch... La démonstration est la même quand on divise par À. 7 :

133. Ces dernières propositions, qui montrent l’analogie de la théorie du - plus petit commun multiple et du plus grand commun diviseur, ont été établies sans le secours de cette dernière théorie. : Observons que la proposition qui nous à servi de point de départ, « Le plus petit commun multiple de deux nombres a,-b, dont Île plus grand

es ab , L Fe bee commun diviseur est D, est D », en résulte immédiatement : en effet, on a

b Se c’est-à-dire que le nombre n est divisible par a et par b et que les quotients

: b a : ee sont respectivement 5’ D : ces quotients sont premiers entre eux, puisque

D est le plus grand commun diviseur des deux nombres a, b; donc (n° 131, 3

p. 143) = est le plus petit commun multiple de a et de b, le lecteur démon-

trera de même la proposition suivante, d'ailleurs facile à généraliser : -

Étant donnés trois nombres a, b, c, si D est le plus grand commun divi-

seur des produits be, ca, ab, le plus petit commun multiple de a, b, c est abc Ro.

Exercices. ie

407. Quel est le plus grand commun diviseur des nombres 360 >< 473, 172 >< 361 ?

1. Ces démonstrations ne s'appuient que sur la définition du plus petit commun mulliple de deux. ou plusieurs nombres, et sur la propriété fondamentale « Tout multiple de plusieurs nombres es un tnultiple de leur plus petit commun multiple » ; elles font exactement pendant aux démonstralions du n° 123 (p. 137), pour le plus grand commun diviseur. -

égal au produit par » du plus petit commun multiple de a et de 6.

408. Parmi les nombres inférieurs à 100 quels sont ceux qui ont avec 360 le plus grand commun diviseur 4 ?

109. Si à est premier avec a et si l’on divise par 6 les nombres

on obtiendra b —1 restes différents, dont aucun n'est nul et qui ne sont autres que les nombres 1, 2, 3, .…, b — 1 rangés dans un certain ordre.

De nombreuses conséquences de cette proposition seront développées dans le chapitre dernier.