Fractions qui mesurent la même grandeur. — Une longueur

qui peut être mesurée par un nombre entier ne peut évidemment être mesurée que par ce seul nombre entier.

4 5 Deux fractions qui ont même dénominateur, — et 7 par exemple, et qui ont des numérateurs différents, ne peuvent pas mesurer la : (11) VE SANS :

même longueur: dire en effet que la fraction — mesure une cer-

laine longueur, cela veut dire que si on divise l’unité de longueur en 7 parties égales, la longueur considérée contientexactement 4 de ces parties, ni plus, ni moins.

Le rapport d’une longueur À à une longueur B ne peut s exprimer ni par deux nombres entiers différents, ni par deux fractions qui aient même dénominateur et des numérateurs différents.

Mais il y a une infinité de fractions qui peuvent être ee

comme le rapport de la longueur A à la longueur B où, si l’on veut, …

comme la mesure de A quand on prend B pour unité.

Quand on dit en effet que la fraction + est le rapport de A à B, on

entend qu'il y a une commune mesure à A et à B, à savoir un certain segment C, contenue exactement a fois dans À, b fois dans B; en d’autres termes A est la réunion de a segments égaux à C placés bout à bout, et B est la réunion de b segments égaux à C placés bout à bout : divisons en c parties égales chacun de ces segments ; on voit que la cième partie de C estune commune mesure à A et à Bcontenue exactement c < a fois dans A etc><b fois dans B ; il est aussi légi-

time de dire que le rapport de A à B est — que de dire que ce rap-

a Se ; ac port est 7; 90 peut aussi bien dire qu'il est Ge» car les deux frac-

Ca ac 4 . s : É Eh pe ont même numérateur et même dénominateur :

Deux fractions dont l’une s'obtient en multipliant les deux termes de l’autre par un même nombre naturel mesurent la même longueur, expriment l'une et l’autre le rapport d'une même longueur A à une même longueur B.

Le raisonnement précédent s'applique sans rien changer lorsque

tions

b est égal à 1, lorsque le rapport de A à B est ou a. On peut dire

Des ; DIN TRE tout aussi bien, dans ce cas, que le rapport de A à Ben ao est-à-

dire une fraction dans laquelle le numérateur est divisible par le dénominateur, le quotient étant a.

Il est aisé de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que

Med : :

deux fractions; 7, mesurent la même longueur, expriment le

rapport d’une même longueur A à une même longueur B. D’après les raisonnements précédents, les deux fractions ab! ab bb? bb =

mesurent respectivement les mêmes longueurs que les fractions or b ° b! , divise l’unité de longueur en bb' parties égales, au lieu de la diviser en b puis en b/ parties égales ; mais elles ont maintenant même dénominateur ; elles ne peuvent mesurer la même longueur que si elies ont même numérateur, que si l’on a ab'=— «'b.

elles expriment les mesures de ces longueurs quand on

4170 LEÇONS D’ARITHMETIQUE. | F Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que deux fractions ‘# mesurent La méme longueur consiste en ce que le produit du numé- : rateur de la première par le dénominateur de la seconde soût égale É. au produil du numéraleur la seconde par le dénominateur dela première. FR Cette condition et le raisonnement sur lequel elle est appuyée È subsistent quand le dénominateur de l’une des fractions, de la pre- 4 mière par exemple, est 1 ; la condition nécessaire est suffisantepour que les deux fractions +, T mesurent la même longueur est alors. 4 ab!— a. Puisqu’on entend la même chose quand on dit qu'une lon- 4 gueur est mesurée par la fraction . ou par le nombre entier 4, on. 4 peut énoncer la proposition que voici. ‘4 Pour qu'une fraction mesure la méme longueur qu'un nombre 4 entier, il faut que le numérateur de la fraction soit divisible par le : dénominateur et que le quotient soût le nombre entier considéré. \: $ 2. — Deuxième définition des fractions. “4 Égalité. Réduction au même dénominateur. 4

155. Définition abstraite des fractions. — Je vais maintenant faire 2 abstraction de l’origine concrète des fractions et adopter les défini-. tions suivantes que les explications qui précèdent justifient amplement : 4 Une fraction est l’ensemble de deux nombres entiers, appelés l un « numérateur, l'autre dénominaleur, qui jouent des rôles différents. © Cet ensemble, soumis à des règles de calcul qui seront bientôt explis quées, est appelé lui-méme un nombre. Le numérateur el le déno- 4 minateur sont les deux termes de la fraction. 4 On écrit le numérateur au-dessus a dénominateur en les séparant a par une barre. ci Le numérateur peut être un nombre entier quelconque, le dénominateur un nombre entier quelconque autre que 0. 4 Il est clair que toutes les définitions relatives à l'égalité et aux “à opérations à effectuer sur les nouveaux nombres doivent être reprises. “4 l'une après l’autre. 4 456. Égalité. — Par défuihion, une fraction dont le déngindieu 1 est 1 est égale à son numérateur ; elle est ainsi égale à un nombre D entier. À. 3

Deux fractions sont égales si le ut du numérateur de la pre- ‘4

mière par le dénominateur de la seconde est égal au produit du numérateur de la seconde par le dénominateur de la première ; autrement elles sont inégales.

Pour jusüfier cette définition abstraite de l'égalité, il faut montrer que deux fractions égales à une troisième fraction sont égales entre elles. Cette proposition, à la vérité, est évidente au point de vue concret, puisque les trois fractions mesurent la même longueur ; il est bien aisé de la vérifier sans faire intervenir aucune notion étrangère à la pure Arithmétique.

Soient, en supposant que à, b, a!, b', a!, b' soient des nombres

ru ; ; MOULE RULES naturels, %? 77 deux fractions égales à la fraction Jr. On a, d’après

la définition de l'égalité, abat; db — a"D';

en multipliant en croix ces deux égalités, on obtient

a'b'a!b = ab'a"b', ou (a!b) SX (a!”b!) Res (ab!) SC (a!'b").

Les deux nombres entiers a'b, ab! donnent le même produit quand

on les multiplie par le nombre entier 4/’b", qui n’est pas nul: ils /

sont donc égaux. C’est dire que les deux fractions © sont

a à DD égales.

La démonstration subsiste quand &/ est égal à 1; c’est-à-dire que deux fractions égales à un nombre entier sont égales entre elles.

Pour qu'une fraction soit égale à une autre fraction dont le numéraleur est nul, 1 faut et il suffit que son numérateur soit aussi nul.

En effet, si dans l'égalité ab'= ab, qui exprime en général que les 4 a. a!

fractions 3? Sont égales, on suppose a—0, ab! devient nul et

pour que a'b soit aussi nul, puisque b est essentiellement différent de zéro, il faut que a! soit nul.

Toutes les fractions à numérateur nul doivent donc être regardées

010 ; comme égales ; l’une d’elles est la fraction Le dont le dénominateur

est 1, et qui doit, d'après ce qu’on a dit plus haut, être regardée comme égale à son numérateur 0 : |

Toute fraction à numérateur nul est égale à 0. 457. En multipliant les deux termes d’une fraction par un même nombre naturel, on obtient une fraction égale.

0 : : » 5 + Soit — la fraction donnée, je dis que, en désignant par ®m un

nombre naturel quelconque, on a :

(4) am . # Des De

cette égalité, en effet, veut dire que l’on a abm —bam, ce qui est évident.

Lorsque les deux termes rune fraction sont divisibles par un méme nombre naturel, en les divisant par ce nombre, on oblient une fraction égale. :

En effet, par le théorème précédent, la première fraction est égale à la seconde.

Considérons une fraction dont le numérateur a soit divisible par le dénominateur à ; soit g le quotient de la division de a parb; on

aura a — bg, la fraction ne A aussi égale, d’après le théo-

rème précédent, à , et par conséquent à g, en vertu d’une con-

vention antérieure. Ainsi :

Lorsque le numérateur d’une fraction est divisible par le déno-

minateur, cetle fraction est égale au quotient de la division du numérateur par le dénominaleur.

Par conséquent, la notation des fractions contient comme cas particulier la notation expliquée au n° 101 (p. 116) pour représenter une division, quand celle-ci peut s'effectuer exactement.

Puisque, une fraction étant donnée, il y a une infinité de fractions | qui lui sont égales, il est naturel de chercher parmi ces fractions

celle qui est la plus simple de toutes, celle dont les termes sont les plus petits possibles.

458. Simplification. — Le précédent théorème permet de AA fier une fraction, en divisant les deux termes par un diviseur com-

mun. Par exemple, on peut remplacer g PTT.

On peut ainsi simplifier une fraction tant que les deux termes ne sont pas premiers entre eux.

Une fraction non nulle étant donnée, il suffit d’ailleurs de diviser les deux termes de cette fraction par leur plus grand commun divi:

%; ES le M EE te

seur pour obtenir une fraction égale et dont les deux termes soient premiers entre eux (n° 122, p. 136).

Par exemple, le plus grand commun diviseur entre 1172 et 360

ARE Pr À est 4; la fraction 360 est égale à la fraction = , dont les deux ter-

mes sont premiers entre eux.

Une fraction dont les termes sont premiers entre eux ne peut plus être simplifiée par le procédé qui consiste à supprimer un facteur commun aux deux termes ; elle ne peut pas être simplifiée par un autre procédé ; en d'autres termes, il n'existe pas de fraction qui lui joit égale et dont les termes soient plus petits; cela résulte du jhéorème qui suit.

Toute fraction égale à une fraction dont les termes sont premiers (:) entre eux a ses termes équimulliples des termes de celte dernière, c'est-à-dire que les termes de la première fraction s'obtiennent en multipliant les termes de la seconde par un même nombre naturel.

Soient, en effet Fear deux fractions égales, dont la seconde a

ses termes premiers entre eux ; on a ab'—4’b ; en vertu de cette égalité, b' divise ab ; ilest premier avec a’, il doit donc diviser bd; soit q le quotient ; on a b= b'q. En remplaçant dans le nombre a'b, le facteur b par b'q, on obtient le nombre a'b'q qui doit toujours êlre égal à ab'; les deux nombres égaux a'b'q, ab' restent encore égaux quand on a supprimé le facteur commun b", différent de 0 ; on a donc à la fois a — a'q, b—= b'q : les deux termes a, b de la première.fraction s’obtiennent donc bien en multipliant par un même nombre g les deux termes @/, b' de la seconde ; ils sont plus grands qu'eux, sauf dans le cas où, g étant égal à 1, ils leur seraient égaux ; cette dernière circonstance se présenterait forcément si la première fraction devait, comme la seconde, avoir ses termes premiers entre eux : deux fractions égales dont chacune à ses deux lermes premiers entre.eux sont égales terme à terme.

On appelle fraction irréductible une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux : cette dénomination est justifiée par limpossibilité de trouver une fraction à termes plus petits, qui soit égale à une fraction irréductible.

J'appellerai nombre fractionnaire toute fraction égale à une frac-

1. Cet énoncé exclut la considération des fractions dont le numérateur serait nul, puisque 0 n'est. premier à aucun nombre.

tion irréductible dont le dénominateur n’est pas 1. Un nombre fractionnaire ne peut pas être égal à un entier. Au contraire, un nombre entier peut toujours être regardé comme une fraction, dont le

dénominateur serait 1. Comme l’on dit, les fractions comprennent

les nombres entiers.

159. Réduction au même dénominateur. — Des fractions étant données, on peut se proposer de trouver des fractions qui leur

soient respectivement égales et qui aient toutes le même dénomi-

nateur.

Soient les fractions

do LES 0 ADS On parviendra évidemment au résultat en multipliant les deux

termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs des autres : on obtiendra ainsi les fractions

D OCZ 15<4><A9 D'CarCs RSA Sal De».

qui sont respectivement égales aux précédentes et qui ont le même dénominateur. On peut les écrire

La solution que l’on vient d'indiquer n’est pas la seule; il yen a une infinité d’autres, et parmi toutes ces solutions il y en a une plus simple que toutes les autres.

Supposons les fractions données irréductibles et He com-

ment des fractions qui leur sont égales respectivement peuvent avoir le même dénominateur. Nous pouvons raisonner sur les frac-

tions précédentes

an no +

qui sont irréductibles. Soit M un nombre qui puisse servir de dénominateur commun à des fractions respectivement égales à celles-là..

multiple de 4; ainsi M doit être un multiple de 4; pour la même raison, il doit être un multiple du dénominateur de chacune des