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l’un exprime en combien de parties on a divisé l'unité de longueur, l’autre combien la longueur considérée contient exactement de ces parties : ces deux nombres entiers jouent, comme on le voit, un rôle très différent: pour les distinguer l’un de l’autre, on leur donne des noms différents, on les écrit à des places différentes, on les énonce de façons différentes: | |

Le nombre entier qui exprime en combien de parties égales on a divisé l’unité de longueur s’appelle dénominateur ; le nombre entier qui exprime combien de parties contient exactement la longueur considérée s’appelle numérateur ; on écrit le numérateur au-dessus du dénominateur, en les séparant par une barre: dans l'exemple précédent, on écrira

FES on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur, en les séparant par le mot sur (sept sur cinq); ou bien on énonce le numérateur, puis le dénominateur en lefaisant suivre de la terminaison ième (sept cinquièmes) ; cette dernière façon de s’exprimer rappelle parfaitement les opérations que nous venons de décrire.

Elle comporte des exceptions quand le dénominateur est 2, 3, ou 4; on énonce alors le numérateur et on le fait suivre, suivant les cas, des mots demi, tiers, quart : ainsi, on dira trois demis, deux D 020 tiers, cinq quarts pour énoncer les symboles GS’ 37

Enfin, l’ensemble des deux nombres entiers (numérateur et dénominateur) écrits ou énoncés ainsi de manière à distinguer leurs rôles

respectifs est une fraction.

Les fractions sontregardées comme des nombres; dans l'exemple L < 7 précédent, la fraction 5 est la mesure de la longueur RS (*).

152. Les longueurs que l’on peut mesurer au moyen de fractions sont celles que l’on peut obtenir en divisant l’unité de longueur en un certain nombre entier de parties égales et en portant, l’une au bout de l’autre, plusieurs de ces parties. A la vérité, on n’obtient pas ainsi toutes les longueurs : c’est là un point sur lequel nous aurons à revenir. Mais il convient de remarquer tout de suite que, sion divise

1. La notation — a déjà été employée au n° 101 (p. 116), pour exprimer le quotient de la division

du nombre entier a par le nombre entier b quand cette division peut se faire exactement. Le lecteur peut faire un instant abstraction de ce qui a été dit alors, Ja concordance des deux notations lui

apparaitra bientôt.

l'unité de longueur en un assez grand nombre entier b de parties égales, chacune de ces parties deviendra très petite. Si, en désignant par a un nombre enter, la longueur à mesurer contient a de ces parties et n’en contient pas a 4-1, elle sera comprise entre deux. longueurs, mesurées respectivement par les fractions

D. pe et l'erreur commise en substituant l’une ou l’autre de ces longueurs à la longueur considérée sera moindre que l’une quelconque des b parties de l'unité; elle pourra être aussi ee qu'on voudra, pourvu

que à soit assez grand. Les deux fractions +, TR NOR dites des mesures approchées, la première par défaut, la seconde par excès,

de la longueur considérée, à — j près.

Dans la pratique, lorsque l'erreur ainsi commise n est pas appréciable avec nos instruments de mesure, il n’y a aucune raison d’en tenir compte : pratiquement, les nombres entiers et les fractions suffisent à mesurer toutes les longueurs. D'ailleurs, pour le moment, nous ne considérons que des longueurs qui puissent être mesurées par des nombres entiers, ou par des fractions : ces longueurs sont dites commensurables à l'unité.

153. Rapport. Commune mesure. — La notion de rapport ne diffère. pas au fond de celle de mesure.

Deux segments de droite RS et AB (fig. 14), par exemple, sont dits commensurables entre eux (‘) quand il y a un certain segment qui est contenu exactement un certain nombre de fois dans RS et exactement un certain nombre de fois dans AB ; un tel segment est ce que l’on appelle une commune mesure à RS et à AB; il permettrait, si on le prenait pour unité de longueur, de mesurer RS et AB au moyen de nombres entiers; dans la figure 14, cette commune mesure est contenue exactement 7 fois dans RS et 5 fois dans AB.

Dans le présent chapitre, du moment qu’on parlera du rapport de deux grandeurs, on supposera, parlà même, que ces grandeurs sont commensurables entre elles, qu'elles ont une commune mesure contenue exactement un certain nombre de fois dans la première, un certain nombre de fois dans la seconde.

Le rapport de deux grandeurs (de la prendre à la seconde) est.

1. On peut sous-entendre les mots « entre eux » quand il n'y a pas à rie d'ambiguïté. On dit, dans le même sens, que RS est commensurable à AB, que AB est commensurable à RS.

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second intervalle au premier est —.

AB à AB doit s’écrire nu

une fraction dont le numérateur exprime combien de fois la com-

mune mesure est contenue dans la première grandeur, dont le dénominaleur exprime combien de fois la commune mesure est contenue dans la Seconde.

On peut dire aussi que le rapport de la première grandeur à la seconde est une fraction qui sert de mesure à la première grandeur quand on prend la seconde pour unité.

Le rapport de RS à AB, dans l'exemple précédent, est la fraction 5? le rapport de AB à RS serait la fraction

On peut déduire RS de AB en divisant AB en 5 parties égales et en plaçant bout à bout 7 segments égaux à l’une de ces parties : RS est

sept fois le cinquième de AB ou, comme on dit, les sept cinquièmes

(5) de AB. On peut déduire AB de RS en divisant RS en 7 parties égales et en plaçant bout à bout 5 segments égaux à l’une de ces parties : AB est les cinq septièmes eo de RS. Chacune des 5 partes de AB est égale à chacune des 7 parties de RS; elle est une commune mesure entre AB et RS.

Le rapport de deux intervalles de temps dont le premier vaut

SRE 7 7 minutes et dont le second vaut 5 minutes est 5. Le rapport du

Il peut arriver que l'une des deux grandeurs que l'on compare soit contenue un nombre entier de fois dans l’autre : elle est alors la commune mesure entre elle-même et l’autre longueur ; elle est con-

. tenue exactement 1 fois dans elle-même.

Ainsi, dans la figure 13, AB est contenue exactement 3 fois dans PQ ; le rapport de PQ à AB doit, d’après les conventions qu'on vient

Fe 1 de faire, s’écrire TJ: le rapport de AB à PQ est 3 - Le rapport de

Avant de parler de rapport, on n'avait pas introduit de fractions avec un dénominateur égal à 1. On ne disait pas que la mesure de PQ, quand on prend AB pour unité, est la fraction T mais bien le nombre entier 3; on ne disait pas que l'unité de longueur était

RNA ES mesurée par la fraction T > Mais bien par le nombre 1.

Il convient d’user du même langage, soit que l’on parle de mesure ou de rapport ; c’est pourquoi on opte la convention que voici: Lorsque n est un nombre entier, on dit avec la même Re

tion que le rapport de la grandeur A à la grandeur B est = ou quil

æst n : on entend simplement que A contient exactement n fois la |

grandeur B ; le rapport de B. à A est alors 7 - En disant que le rap-

port de À à Best-- ou qu’il est 1, on entend que les deux grandeurs

A et B sont égales.

Naturellement, on dira aussi bien que la mesure de A, quand on

prend B pod unité, est le nombre entier # ou la fraction J

Le rapport du mètre au décimètre est ou 10; le rapport du

décimètre au mètre est 70 : Le rapport de l'heure à la minute est

; À 7 °u 60. Le rapport de la minute à l’heure est 50 E° regardant le

franc comme ayant la même valeur que 20 sous, on dira que le rap-

port de la valeur du franc à celle du sou est ou 20; le rapport de

la valeur du sou à celle du franc est .