CC0S

sm' TT ï —

f-/ic2

2ecosi

donc l'intensité est maximum en même temps que sin'^Ti — >— ;

ainsi les anneaux réfléchis, dans le.s deux cas que nous avons examinés, ont leurs intensités maxima lorsqu'on a

îî(îcosi^-^(9//-r i) '

et l'intensité maxima a pour valeur

4c» àif

(i-c*)*-h/ir* (i-hcj

Puisque les intensités des anneaux transmis, ajoutées à celles ik$ juiieaux réfléchis, doivent donner une somnie constante égale à

l'unité, il en résulte que les anneaux transmis ont leur intensité maximum quand ies anneaux réfléchis ont leur intensité minimum, et leur intensité minimum quand les anneaux réfléchis ont leur intensité maximum. Les anneaux transmis ont donc pour intensité

maximum l'unité et pour intensité minimum . ,^xt'

On voit que, pour les anneaux transmis, les minima ne sont jamais nuls, et que par conséquent ces anneaux ne peuvent jamais être complètement obscurs. Lorsque c^ est très-petit, c'est-à-dire au voisinage de l'incidence normale, les minima des anneaux transmis diflerent peu des maxima.

Quand la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, on a c = T — ^. — -, • Si, dans ce cas, l'ande d'Incidence est ' iangli-+-r) ' ' o

celui de la polarisation complète, on aura t+r= 90 degrés, et c=o, d'où 1 = 0 et T= 1, c'est-à-dire que, lorsque la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, si l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, les anneaux réfléchis disparaissent complètement quelle que soit l'épaisseur de la lame, et les anneaux transmis ont pour intensité l'unité, ou plutôt, l'intensité élaut indépendante de la couleur, on aura , à la place des anneaux transmis, une lumière blanche et uniforme.

352. Inteiisltés des »Biie»uiL réIléeMs et tr»iisiiiis lonMiue 1» lumière ineldente est poterisée dsns un plsn queleouque. — Le cas où la lumière incidente est polarisée dans un plan quelconque ne présente aucune difliculté, et les formules qui s'y rapportent se déduisent immédiatement des précédentes. Soit en effet a l'angle du plan de polarisation du rayon incident avec le plan d'incidence , et prenons pour unité l'intensité du rayon incident; on peut décomposer ce rayon en deux autres, l'un polarisé dans le plan d'incidence , l'autre polarisé perpendiculairement à ce plan, et les amplitudes de ces deux composantes 'seront respectivement cosa et sina. Si Ton applique à chacune de ces composantes les formules que nous avons trouvées plus haut, on aura les intensités des deux composantes du rayon réfléchi et des deux com-' posantes du rayon transmis. Comme ces deux composantes sont po-

iarisées à angle droit et sans différence de phase, il suffit, pour avoir Tintensité du rayon réfléchi ou du rayon transmis , d'ajouter les intensités des deux composantes, ce qui donne pour les anneaux réfléchis et transmis

4c' sm TT — ^ — 4c sm* tt — r —

I == cos^a — . 4- sin^ a —p^

(i -c«)»-+- 4c«sin«7r î^^' (i -c'«)«+4c'«sin« w —^

1 = cos^a --— .4-sm^a

(i— c')»-h4c*sin'7r — j — (i— c*)*-h4c*suî'7r — .-

Dans ces expressions il faut prendre

sin(<-r) / __ tang (i - r)

sm (i-hr) tang(i-+-r)

On voit donc que , dans le cas oii la lumière est polarisée dans un plan quelconque, les maxima et les minima se produisent, pour les anneaux réfléchis et transmis, dans les mêmes conditions que lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan. Les minima des anneaux réfléchis sont encore nuls et les maxima égaux à

4c'co8*a 4c'*sin*a Pour les anneaux transmis, les maxima sont égaux à Tunité et les

minima à

(i— c*)cos*a (i —c^')siii*a (i-k-à^* ' (n-c'«)

On voit de plus que, dans le cas actuel, il n'existe aucune incidence pour laquelle les anneaux disparaissent, quelle que soit l'épaisseur de la lame.

353. l^^larlMittoB de» mMie»m rélÊémUîm et ti*»i toniv>^ li^ Imiilére incidente cet natiurelie. — Si Ton

considère la lumière naturelle comme formée de deux faisceaux po-

larisës à angle droit et ayant chacun pour intensité -> on aura, pour

la composante du rayon réfléchi polarisée parallèlement au plan d'incidence , l'intensité

. . . arcosi ac*sm*7r — ^ —

(i — cy-h 4<?'sm*7r — ^ —

et pour la composante polarisée perpendiculairement an plan d'incidence ,

,. . . a^cosi 2c*sm'7r — r —

(i —c •)•-+- àc*sin*7r — r —

Il est facile de voir que le rayon réfléchi est partiellement polarisé dans le plan d'incidence, ce qui n'a pas lieu de nous surprendre puisque l'eflet ordinaire de la réflexion est de polariser la lumière naturelle dans le plan d'incidence. En effet, Ja-4ifférence

2c*sm* TT — j — 2c *sm*7r — r —

(i -c*)»4- 4c*sin*7r — r — (i — c *)*-f4c*sm'7r — ^ — peut s'écrire sous la forme d'une fraction ayant pour numérateur

. « 2f COS l

â sin" w ^^^ [c« (i - c'^f- c'» ( 1 - ^Y\ ;

c^ étant plus grand que c'^ et chacune de ces quantités étant moindre que l'unité, cette dernière quantité est positive, et par conséquent l'intensité de la lumière réfléchie est plus grande pour la composante polarisée parallèlement au plan d'incidence que pour la composante polarisée perpendiculairement à ce plan.

Pour la lumière transmise, ce sera l'inverse : ce sera la compo^ santé polarisée perpendiculairement au plan d'incidence qui aura la

500 RÉFLEXION ET RÉFRACTIOiN DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.

plus grande intensité, et par suite la lumière transmise sera polarisée partiellement et perpendiculairement au plan d'incidence.

Ce dernier résultat semble en contradiction avec une expérience d'Ârago. Il recevait la lumière réfléchie ou transmise par la lame mince sur un prisme biréfringent dont la section principale était parallèle au plan d'incidence. 11 obtenait ainsi deux systèmes d'anneaux, Tun dû aux rayons ordinaires, et l'autre aux rayons extraordinaires. Or il remarqua que, lorsque* l'angle d'incidence était celui de la polarisation complète, les anneaux disparaissaient dans l'image extraordinaire, et on avait à la place absence de lumière pour le rayon réfléchi, lumière blanche plus intense pour le rayon transmis. Cela tient uniquement à ce fait que nous avons signalé plus haut (351), que si, la lumière étant polarisée perpendiculairement au plan d'incidence , l'angle d'incidence devient égal à celui de la polarisation complète, c'^ est nul, et par conséquent l'intensité du rayon transmis ou réfléchi devient indépendante de l'épaisseur et de la couleur, nulle pour le rayon réfléchi, et égale à l'unité pour le rayon transmis.

35&. EiLplIcatloB des eiLpérlesees de Younip sur le» BeauiL m eentre Mane et à eentre noir. — L'amplitude des différents rayons réfléchis dont la superposition constitue le rayon réfléchi total décroit rapidement; donc le signe de la somme des amplitudes de tous les rayons réfléchis, sauf le premier, est le même que le signe de l'amplitude du second rayon réfléchi. Or les amplitudes du premier et du second rayon réfléchi sont--cetc(i — c-). Si le milieu intermédiaire est placé entre deux milieux semblables, comme nous l'avons supposé jusqu'ici, ces deux amplitudes sont toujours de signe contraire, et, par conséquent, il y aura toujours changement de signe dans la vitesse d'un des deux premiers rayons réfléchis, mais d'un rayon seulement, à la première ou à la seconde surface.

Supposons d'abord le milieu intermédiaire moins réfringent que les deux autres; si alors la lumière incidente est polarisée dans le

plan d'incidence, c a pour valeur — ^ -j: et est positif; le changement de signe a donc lieu à la seconde surface; si la lumière est

polarisée perpendiculairement au plan d'incidence^ c a pour valeur

^ . — ^ et le changement de signe a lieu à la première ou à la

seconde surface « suivant que i + r est plus petit ou plus grand que 90 degrés y c'est-à-dire suivant que l'angle d'incidence est plus petit ou plus grand que l'angle de polarisation complète.

Si le milieu intermédiaire est plus réfringent que les deux autres et si la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, c est négatif, et le changement de signe a lieu à la première surface; si, dans le même cas, la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence , le changement de signe aura lieu à la première ou à la seconde surface, suivant que l'angle d'incidence est plus grand ou plus petit que l'angle de polarisation complète.

En somme, lorsque le milieu intermédiaire est compris entre deux milieux semblables, il y a toujours changement de signe pour un seul des deux premiers rayons réfléchis. D'oii il résulte que, dans ce cas, les anneaux réfléchis sont toujours h centre noir et les anneaux transmis à centre blanc.

Il n'en est plus de même quand les deux milieux entre lesquels se trouve la lame sont difl'érents. Supposons d'abord que l'indice du milieu qui forme la lame soit intermédiaire entre les indices des deux milieux qui la comprennent. Les deux réflexions se font alors dans les mêmes conditions, et les deux premiers rayons doivent, ou ne pas changer de signe, ou changer de signe tous deux, l'un à la première et l'autre à la seconde surface. Dans l'un comme dans l'autre cas, la réflexion n'introduit pas de changement de phase et, par conséquent, les anneaux réfléchis doivent être à centre blanc, et ' les anneaux transmis à centre noir; c'est ce qu'a vérifié Young(38).

Enfin considérons le cas oii les deux milieux qui comprennent la lame mince sont tous deux plus réfringents ou tous deux moins réfringents que le milieu de la lame, tout en ayant des indices trèsdifférents.

Supposons, pour fixer les idées, que les deux milieux aient des indices supérieurs à celui de la lame mince , et que la lumière incidente soit polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Le rayon

réfléchi à la première surface a alors pour amplitude + 7— ^y-; — r-,

l'amplitude du rayon incident étant prise pour unité. De même le

rayon réfléchi à la seconde surface a pour amplitude . ^;- — r»

l'amplitude du rayon qui tombe sur la seconde surface étant prise pour unité. On a, dans la supposition que nous avons faite, t^r et t> / ; si, de plus, on suppose r > r', c'est-à-dire le second milieu plus réfringent que le premier, le changement de signe aura lieu à la première surface et non à la seconde tant qu'on aura i+r<C 90*, c'est-à-dire tant que l'angle d'incidence est inférieur à l'angle de polarisation complète pour le premier milieu : dans ce cas, les anneaux réfléchis sont à centre noir. Si l'on a i+ r> go* et t+r' < 90% c'est-à-dire si l'angle d'incidence a une valeur intermédiaire entre celles des deux angles de polarisation complète relatifs aux deux milieux, il n'y a de changement de signe ni à la première ni à la seconde surface, et alors les anneaux réfléchis sont à centre blanc. Enfin, si l'on a t + r'>90% c'est-à-dire si l'angle d'incidence surpasse l'angle de polarisation complète relatif au second milieu, le changement de signe a lieu seulement à la seconde surface, et les anneaux réfléchis sont de nouveau à centre noir.

Au lieu de faire tomber sur la lame de la lumière polarisée per<» pendiculairement au plan d'incidence, on peut y faire tomber de la lumière naturelle, et recevoir ensuite les rayons réfléchis sur un prisme biréfringent dont la section est parallèle au plan d'incidence : l'image extraordinaire donnée par le prisme ne se composera alors que de lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, et présentera, suivant la valeur de l'angle d'incidence, les difl'érentes apparences que nous venons d'indiquer.

Ces apparences sont assez difficiles à vérifier, parce qu'il faut employer deux substances bien transparentes dont les indices soient très-diflerents. Airy les a vérifiées le premier en se servant de sulfure de zinc et de verre.

E. — Polarisation par dipfractiok.

355. Rapports entre les phénomèiies de 1» polarisation par dlifraetion et la dtreetion des vibrations de la lumière polarisée* — C'est à M. Stokes qu'on doit les premières recherches

sur les modifications que la diffraction peut imprimer à la lumière polarisée^'). Il avait spécialement pour but de déterminer quelle est, sur un rayon polarisé reclilignement, la véritable direction des vibrations, si ces vibrations sont parallèles ou perpendiculaires au plan de polarisation. Les phénomènes de l'interférence des rayons polarisés laissaient, comme on sait, le choix entre ces deux hypo* thèses, sans rien décider en faveur de l'une d'elles. Fresnel, d'après la théorie mécanique de la double réfraction qu'il donna, fut conduit à regarder les vibrations de la lumière polarisée comme per* pendiculaires au plan de polarisation; mais cette théorie reposait, comme nous l'avons vu (118), sur un grand nombre d'hypothèses, dont plusieurs sont peu exactes. Les travaux de Poisson et de Gauchy sur la théorie de la double réfraction montrèrent qu'en faisant sur des coefficients constants des hypothèses également admissibles on arrive à trouver les vibrations, soit parallèles, soit perpendicubires au plan de polarisation. Enfin Fresnel a donné delà réflexion et de la réfraction de la lumière une théorie qui s'accorde avec l'expérience, et pour l'établissement de laquelle il s'appuie, d'une part, sur ce que les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation, et, d'autre part, sur trois principes (311), dont deux sont évidents, savoir : la continuité du mouvement de l'éther et Ih conservation de la force vive. Mais le troisième de ces principes n'était, h cette époque, qu'une hypothèse consistant h admettre que l'élasticité de l'éther est constante dans tous les corps et que la densité de l'éther dans un corps est d'autant plus grande que ce corps est plus réfringent et proportionnelle au carré de l'indice de réfraction du corps par rapport au vide. Ce qui n'était qu'une hypothèse a été vérifié depuis. par les expériences de M. Fizeau, qui consistent à observer le déplacement que subissent Us franges d'interférence lorsqu'un des faisceaux qui produisent ces franges a à traverser un milieu pondérable animé d'un mouvement dans la direction du rayon. Dans ces expériences, il a reconnu que la vitesse de l'éther dans le milieu en mouvement est bien celle qu'on peut déduire du

(') Cambr. Trani,, IX, i. — Arm, iU chim. et dephy$., (3), LV, hç^i. — Inêt, XX, |. — Phil. 3%., (/i), Xin, 159; (4), XVIII, AflG.

bOU RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.

principe de Fresnel^'^ Donc, en s'appuyant^ dans la théorie de la réflexion et de la réfraction, sur des principes tous certains et sur cette hypothèse que les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation, on arrive à des conclusions conformes à l'expérience. Si, au contraire, on admet que les vibrations sont parallèles au plan de polarisation, on arrive à des résultats diamétralement op* posés à ceux que donne l'expérience»

Mais, en i85o, époque à laquelle M. Stokes fit ses observations, le principe sur lequel s'appuie Fresnel n'avait pas encore été vérifié par M. Fizeau, de sorte que sa théorie contenait encore quelque chose d'hypothétique.

Supposons qu'on produise les phénomènes de diffraction non plus avec de la lumière naturelle, mais avec de la lumière polarisée rectilignement. Prenons sur la surface de l'onde un élément trèspetit : cet élément peut être considéré comme envoyant des rayons dans toutes les directions. Sur les rayons normaux à la surface de Tonde les vibrations sont parallèles aux vibrations primitives, mais, sur les rayons obliques, les vibrations ne peuvent rester parallèles aux vibrations primitives, car elles doivent élre perpendiculaires au rayon, et ce rayon est oblique par rapport aux vibrations primitives. Le plan de polarisation des rayons diffractés doit donc avoir tourné d'un certain angle par rapport au plan de polarisation de la lumière incidente. On peut calculer cet angle en supposant successivement les vibrations parallèles ou perpendiculaires au plan de polarisation, et voir quels sont les résultats qui s'accordent le mieux avec l'expérience.

356. Théorènie de M. SfoUefi siir I» dlreetion de» vibratàmmàm de I» lumière dUTraetée. — M. Stokes a traité mathématiquement cette question en considérant l'éther comme un milieu solide, en tant du moins que la résultante des pressions sur un élément n'est pas toujours normale sur cet élément, comme cela a

(0 Pour ces expériences de M. Fizeau, et en général pour lout ce qui est relatif au rnouvement communiqué à Téther par le mouvement des corps pondérables et à Tinfluence du mouvement de la terre sur les phénomènes optiques, voir dans le présent ouvrage, t. IV {Conférence» de physique), les Leçons sur la vitesse de la lumière.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE FRESNËL. 505 lieu dans les fluides; de plus, il a suppotic que les vibrations transversdles, c'est-à-dire perpendiculaires à la direction du rayon, se transmettent seules, et que les vibrations longitudinales, c'est-àdire parallèles à la direction du rayon, ne sont pas transmises. Il a trouve ainsi que l'angle de la direction des vibrations sur le rayon diffracté avec la direction des vibrations sur le rayon incident est toujours le plus petit possible, ou, en d'autres termes, que si , par un point du rayon diffracté , on mène une parallèle à la direction des vibrations sur le rayon incident, la direction des vibrations sur te rayon réfracté est dans te plan passant par la droite ainsi menée et par le rayon diffracté : de plus, celte direction est perpendiculaire au rayon diffracté; elle est donc complètement déterminée.

Soient (fig. 67) ON la direction du rayon incident, OM la direction des vibrations sur ce rayon , OF la direction du rayon diffracté, OQ la direction des vibrations sur ce rayon, ^ et a les angles que OQ et OM font avec la perpendiculaire OZ au plan de diffraction, 6 l'angle du rayon diffracté avec le rayon incident.

D'après ce que nous venons de voir, 00 est compris dans le plan POM.

Considérons l'angle trièdre formé par '''«■*'■ es trois droites OM, OQ, OZ; ce trièdre

est rectangle suivant OQ, car OQ et OZ sont perpendiculaires à OP; donc OP est perpendiculaire au plan QOZ, et, par suite, le plan POM, ou, ce qui revient au niâme, le plan QOM est perpendiculaire au plan QOZ. On a donc, d'après une formule connue,

lang 0 = tang a cos 6.