COS
cosr = — 7-»
d*où l'on lire
* cos (
cosr
£n remplaçant wl par cette valeur dans les expressions des intensités et des changements de phase on a, pour le cas où la lumière est polarisée dans le plan d'incidence,
. , cos* i cos *
//r H ; 2m cos Y
D cosV cosr "^
, , cos* / , cos I
m' H r— + am cos v
cos-r cos/* '^
cos I .
r 2m sm Y
à cosr ^
COS" l
cos*/-
et, pour le cas où la lumière est polarisée perj^endiculairement à ce
plan ,
. cos* I , cos i
ni* — T- + 1 — 2m cos Y
wj, cos*r cosr ^
. cos* i . cos I
m* — 5- + i + ^rn cos y
cos r cosr ^
cos i .
-,, a m siu Y
à cosr ^
" A . cos* I
cos*r
Ces dernières formules ont été données en second lieu par Mac (luUagh, et ce sont celles qui lui parurent les plus probables.
On peut du reste retrouver ces formules par un autre genre d'induction, moins mathématique, mais de même valeur que le précédent, et qui est dû également/à Mac Guliagh. Cette induction consiste à chercher comment il serait le plus simple de modifier les formules relatives aux corps transparents, de manière à donner une signification plus étendue aux coefficients qui y entrent et à les rendre propres à expliquer les phénomènes de la réflexion métallique.
Dans le cas des corps transparents, si la lumière est polarisée
dans le plan d'incidence, on a pour l'intensité Rdu rayon réflëi^hi
D (sin i cos r — cos i sin rf
(sin I cos r-+- cos i sin r)* '
d*où, en développant et en divisant par sin^ rcos^ r,
sin* i cos'' i siu i cos i
Rsin-r cos'r sinrcosf-
sni- 1 , cos* £ sni t. cos i siiir cos*/' Mil r cos r
On
et en posant
il vient
SlII /
snw*
cos l . ^
cos /• ^
On trouve de même, pour le cas où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence ,
/i*^*-M-+-an^'
L'induction de Mac (îuUagh consiste à supposer que pour les métaux les coefficients de Ç>^ et de ^ ont des valeurs différentes de n^ et de n. Soient M'^ et N ces coefficients ; Mac Cullagh suppose que leur rapport est encore égal à n, c'est-à-dire que Ton a
Le cas des corps transparents ne sera plus alors qu'un cas particulier, celui oij M = N. Les intensités R et R' prennent la forme
p, \rg*-n-aN(p
" M*^-+- 1 -+- aN^ '
574 RÉl<LEX10.N ET RÉFRAOTIOI< DE LA LUM^E POLARISÉE. L'expression de R peat se mettre sous la forme
en multipliaat les deux ternies de la fraction par le dënominateur. En ajoutant et rétranchant au numérateur le terme AM-^^, on arrive à l'expression
Si Ton suppose M'^>'N^, R est la somme de deux carrés, et par suite peut être considéré comme provenant d'une expression de la
forme a + b\/—i interprétée à la manière de Fresnel, c'est-à-dire que R serait égal à a^ + b^^ et que la différence de phase serait donnée par la relation
D'ailleurs, puisque M*-^ est plus grand que N% on peut écrire
N^Mcosx-
el R devient alors
p !Vl«-i-(p»-aM^cosx "" M»-»-^-^aM^cosx *
Pour la différence de phase on a
S 'jM^sinv
On trouve de même, pour le cas où la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence,
" '^M»^-hi-i-aM(pcosx'
S' aM0 sin y ^»gair^° M'y»-! •
Ces formules sont tout à fait identiques à celles qui ont été trouvées plus haut.
On peut en déduire facilement l'expression de la différence de
phase des deux composanlies du rayon réfléchi polarisées parallèlement et perpendiculairemenl au plan d*incidence. On a en eflet
2 M^ sin X a M^ sin x
lctng.j.r-^-=^ —j—^^^.
d'où
' S -S' aM<psinx(M«-n)((p*-i)
tang îiTT ^ (M*«.^*) (M«^«- ,) 4-^M«(p*sin*x*
Ces formules avaient d'abord été déduites par Mac GuUagh d'une théorie qu'il n'a pas fait connaître. On peut cependant reconstruire ce travail d'après quelques indications que l'auteur a conservées. Mac Cullagh admettait qu'à la surface des métaux la lumière réfractée est absorbée à une trèsrpetite profondeur, et pour exprimer ce fait mathématiquement il donnait pour expression au mouvement
vibratoire du rayon réfracté le produit de sin â w m par une expoqen-
tielle à exposant négatif très-grand , proportionnel h la distance h la surface. Il admettait aussi le principe des forces vives; quant au principe de la continuité-^ il le restreignait, sans expliquer pourquoi , aux composantes du mouvement vibratoire {larallèles à la surface de séparation , ce qui était contraire k sa théorie des corps transparents. Mais ce qui l'a surtout empêché de publier sa théorie de la réflexion métallique, ce sont les difficultés 'qu'il a rencontrées pour expliquer les propriétés du diamant; il aurait fallu lui attribuer un pouvoir absorbant considérable pour rendre compte de l'analogie qu'il présente avec les métaux.
388. Tliémple de CaiMlij» — E&teiuil#n du prtnci|ie de eeMtliiiilté. — Gauchy-'^ a, de son côté, donné des formules qui pour la plupart s'accordent avec celles de Mac Gullagh. Il n'a pas publié sa théorie, mais il en a fait connaître les principes, et cela suffit pour retrouver ses résultats dans tous les cas où ces principes s'appliquent directement.
«') C. /?., Il, Ûa7; VIII, 553, 658; IX, 737; XXVI, 86. — /ourn. deUouviUé, Vil, 338. -—/luf.. Vil; ]i»5, iâ9,is5.
57fi RÉFLEXION ET ItÉFR icrriO.N DE l,A LUMIÈRE l»OLARISÉE.
Le principe sur lequel repose la théorie de Cauchy est celui de la continuité du mouvement, auquel il a donné plus d'e\tension <|uc Fresnel. Fresnol et Mac Gullagh dérinissaient la continuité en admettant (|ue deux molécules placées de |iart et d'uulre de la surface de séparation à une distance infmiment petite ont des vitcssra de vibration qui ne diffèrent que de quantités inlinlnient petites. Cauchy a développé ce principe de la manière suivante : considérons, loul le long d'une normale ii la surface de séparation SS'(rig. 76), elà un instant donné, les molécules les plus voisines de cette normale, et menons des ordonnées perpendiculaires à cette normale et proportionnelles aui composantes des vitesses suivant la normale; la courbe ainsi déterminée sera une courbe sinusoïde. Deux molécules qui sont à une distance infiniment petite l'une de l'autre ne peuvent avoir des vitesses dont les composantes parallèles à la normale diffèrent de quantités de même '''' ■ ordre que ces vitesses, car il en résulterait
des forces inlinîes par rapport à celles qui font mouvoir les molécules, et ces forces détruiraient cet excès de vitesse ; niais ces vitesses composantes ne peuvent pas non plus être rigoureusement égales, car alors le mouvement vibratoire no pourrait plus se propager. Les composantes des vitesses de deux molécules inlinlnient voisines diffèrent donc, mais de quantités infiniment petites par rapport à ces vitesses. Il doit en être de même pour deux molécules m et m' infiniment voisines situées de part et d'autre de la surface de séparation dans les deux milieux, c'est-à-dire que la courbe ne doit présenter aucune discontinuité au point où elle traverse la surface.
Cauchy va plus loin : pour lui II y a différence infiniment petite non-seulement entre les composantes des vitesses de deux molécules infiniment voisines, mais encore entre les dérivées de ces composantes, ou, ce qui revient au même, entre les composantes des forces parallèles à une direction donnée. Car, s'il en était autrement . ces forces varieraient de quantités linles en passant d'une molécule à luic autre aiulcculc iufinimenl volsiac, cr qui est Impossible.
On a donc Aim\ <'(|uations pour exprimer la continuitë du mouvement vibratoire suivant la normale, et, pour exprimer que le principe est complètement vrai, il faudra encore poser des équations semblables pour deux autres axes per|)endiculatres au premier, c'est-à-dire parallèles a la surface de Keparalion et perpendiculaires entre eu\.
389. AwUMtt«B de to MiéMrto «e CTMidlr mn ««rp* transparents. — Nous allons d'abord appliquer le principe de Gauchy aux corps transparents. Nous étudierons en premier lieu le cas où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. Comme nous supposons les vibrations perpendiculaires au rayon et au plan de polarisation, il n'y aura à considérer qu'un seul système d'équations se rapportant à Taxe mené *"'«■ Ti- dans le plan de la surface d« séparation
perpendiculairement au plan de polarisation, c'est-à-dire au plan d'incidence.
Considérons (lig. 77) deux points m et m', situés sur une même normale et k une même distance : de la surface. Supposons qu'au temps { la vitesse de vibration de la molécule qui se trouve au point I, où la normale rencontre la surface de séparation, vitesse due au mouvement du rayon incident, ait pour expression sin sirq:- La vitesse de vibration de la molécule qui se trouve en m, due au mouvement incident, sera la même que celle du point p obtenu en abaissant du point m une perpendiculaire sur le rayon incident qui passe par le point 1. Or, on a
lfi^~ :cosi:
donc la vitesse de vibration du point M au temps t dans le mouvement incident sera
La vilesse de- vibration du point m dans le mouvement réfléchi aura, à la même époque t^ pour expression
vsma7rl;r, T^j'
Quant à la vitesse de vibration du point m\ elle est égaie a celle du point p' situé sur le rayon réfracté passant par le point I et pied de la pei* pesdicuiaire abaissée du point m' sur ce rayon. On a
lp'== -■ z cos r;
par conséquent, la vitesse du point m dans le mouvement réfrocté est égale, à l'époque (, à
/t zcosi\ u sm 97r Lj,H r* 1 •
Si z tend vers zéro, la somme des deux premières vitesses approche de plus en plus d'être égale à la troisièqie vitesse , et à la limite , p'est-à-dire pour z= o, il y a égalité, ce qui donne l'équation
i 4-e? = tt.
C'est celle que Fresnel déduit du principe de continuité.
Pour avoir la seconde équation, il faut écrire que la somme des dérivées par rapport à z des deux premières vitesses est égale à la dérivée de la vitesse du rayon réfracté quand z= o, ce qui donne
d'où
a^rcosi t tiTTcosi t aTrcosr t
j- cos aws;— V 5- cos 97rrj;== u Y' cos 9Tnpi
cos i / \ M cos r
X sin i
et, en remplaçant j-> par
smr
(1 — r)sinrcost = usintcosr.
C'est l'équation que, dans la théorie de Fresnel, on déduit du principe des forces vives.
Ces formules ont reçu la sanction de l'expérience et confirment les
RÉFLEX10.^ MÉTALLIQUE. 57y
idées théoriques de Gauchy sur la continuité du mouvement .vibratoire. D'ailleurs , cette théorie est empreinte d'une rigueur à iaqaellc> on ne peut guère échapper, et, comme les fonuules auxquelles elle conduit supposent les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation , on a ainsi une nouvelle preuve en faveur de cette hypothèse. C'est là un point sur lequel Gauchy a beaucoup insisté.
Le deuxième cas, celui oii la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, présente de grandes difficultés, dont on a bien indiqué la solution, mais d'une manière peu rigoureuse. Il faut dans ce cas décomposer les vibrations suivant deux axes, ce qui donne quatre équations incompatibles. Si l'on admet le principe dans toute sa rigueur, il ne reste qu'à conclure qu'on n'a pas tenu compte de quelque particularité. On regarde les vibrations comme perpendiculaires au rayon incident, au rayon réfléchi et au rayon réfracté, si près de la surface que soient les points de ces rayons que l'on considère. Il y aurait donc à la surface un changement brusque dans la direction des vibrations , ce qui est contraire à ce qui se passe ordinairement dans les phénomènes physiques. Aussi Gauchy, au lieu d'un changement brusque, admit un changement graduel, mais rapide, de sorte que le changement devient complet à une très-petite distance de la surface de séparation. Il exprima cette condition par l'introduction dans les calculs de deux nouvelles constantes indéterminées dont la valeur est fournie par deux des équations. Da reste, cette théorie n'a pas été développée par Gauchy, et nous n*y insisterons pas davantage.
