AppIleAtleii de Im théorie de €mut§kj mwK méteux
— L'application de la théorie de Gauchy aux métaux ne présente pas de difficultés nouvelles. Considérons d'abord le cas oii la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. Les équations s'établissent comme pour les milieux transparents. La vitesse du point m (fig. 7 7) dans le mouvement vibratoire de la lumière incidente a
^H x~]' Dans le rayon réfléchi nous
admettons une diflérence de phase due au fait de la réflexion; ce changement de phase est prouvé par l'expérience, et d'ailleurs, s'il était nul, il disparaîtrait dans la suite des calculs qui doivent en
donner la valeur. La vitesse du mouvement vibratoire réfléchi est donc, au point m et au temps t,
i . (p— : cos
// , ©- :cos A
Quant au rayon réfracté, l'expérience montre que son intensité diminue très-rapidement dans le second milieu à partir de la surface de séparation et devient insensible à une très-pelite distance do cette surface. Il est probable que le mouvement de l'éther se communique aux molécules pondérables et se change en chaleur. On sait que, lorsqu'un rayon pénètre dans un milieu absorbant, son intensité décroît en progression géométrique lorsque l'épaisseur du milieu croît en progression arithmétique. Si k est le point où le rayon réfracté qui passe en m' rencontre la surface de séparation, la vitesse
du rayon réfracté devra donc contenir dans son expression un fac-
— h.m'k teur de la forme e 9 ou, comme
cosr h:
^cosr
g cosr On admet de plus qux; la réfraction introduit une différence de phase égale à >|/; la vitesse de vibration du rayon réfracté, au point m' et au temps /, sera donc représentée par
hz
fi , u/ -h z cos r\
Pour z= 0, la somme des deux premières vitesses doit être égale à la troisième vitesse, ce qui donne
sm 37r ^ + » sm 27r ( q; + ^ j = M sm QW ( r-p + h) •
Il faut de plus que, pour z = o, la somme des dérivées des deux premières vitesses prises par rapport à z soit égale à la dérivée de la troisième vitesse, également prise par rapport à z, ce qui donne la seconde équation
27rcose i a^rfcos/ f t , 0\
— j — cos ùnj ji cos 37r ( ^ + T )
cos r
sin 37r Ly + y H ^i — cos aw Uj, + ^, 1
RÉFLEXION MÉTALLIQlfi:. 581
Ces équations doivont avoir lieu à uiie époque quelconque et par conséquent être indépendantes du temps.
En développant la première équation , on trouve
sm âTT rp I 1 4- y cos 97r -^ — M cos 97r ^ 1
+ cos97r^ ( r sin -*w"^— «sm '^-''^h) = ^>«
Les deux coefficients de sinsTr^et de cos^tt^ doivent être identiquement nuls, puisque l'équation a lieu quel que soit /; on a donc deux équations qui remplacent la première, et qui sont
(l) I 4-fJC0Sî!Î7r-T — ttCOSâTT^ = 0,
\Vi) V sin ♦îTT ^ - w sin *J7r y-, = o.
On déduit de même de la seconde équation deux autres équations, qui sont
(P u/i X . \I/ u cos r\ ^
1 — r cos swt X r~~- smaTr v — -— -• vcos 9Wv==o,
A r-osraTTcosi a cosi a a '
0 ahk >p , u cos r X . if
rsin 97r^ — rr*^<^^s97r V H — ::r^ v^i" 97r v = o»
X awcosrcos/ X cos* XX '
ou plus simplement, en posant
aTT cos/-
et en remarquant que l'on a
X sin / X smr
-«V ^ iiy . 4/ sin/ cos r J/
o) 1 — rcos 9Wt ^sm 97r v~" "-= ^.ros97r r>=" o,
V / X cosi X smr cos i X
/,v . (t uy 4/ , sin { cos r . >!/
(a) «sm 97r-^ — . cos 97r f^ + ^ .» ^^ • sm 97r ^7= o.
\ / X cosj X smrcost X
Les équations (i), (9), (3), (4) permettent de déterminer les quantités v, u, ^ et \|^; nous ne nous occuperons pas de u et de >p,
rpii ne sont pas accessibles à rexpérience, el nous chercherons «eulemçnl les valeurs de v ot de (p.
Des équations (t) ^t (a) tirons les valeurs de wcosairr? et de u sin 97r ^* et portons-les dans les équations (3) et (4). Il vieni ainsi
0 ' yv * 0 , sinicosr/ (d\
r cos 97r ^ = — — . sin *î7r -^ -+- -: •• ( i + r cos qtt < 1 '
A cos/ A sin /cos/ \ ' A/
0 y I 0\ sin/ cos r . 9
A cos/ \ ' A/ Sin /'COS/ A
Ces deux équations peuvent se mettre sous la forme
/ , sinicosrX 9 , 7^ - 9 sin/ cos r
I H r-; — ) i» cos 97r -^ + -^— • sin 97r -^ = 1 -. .t
\ cosism/v A cos/ A snircosi
/ , sin/ cos /'\ . 0 yt' 0 7
V cos/snir/ A cos/ À cos/
En résolvant ces deux dernières équations par rapporta vsin qtt-v
et a r cos 97r V » on trouve
^r/ , sin/cos/A2 , y* 1 ay
0r/ , sin/cosr\2 , y» i sin*/cos*r y*
XL\ cos/sm/7 cos*/J sm'/'cos'/ cos*/
En divisant la première de ces équations par la seconde, on trouve
ay 0 cos /
" A sm*/C08*r y*
sin*/' cos*/ cos*/'
d'où
et
Ç ay sin*/' cos /'
o ^ X sin*/cos*i— sin*/cos*r— y*sin*/'
Ç aycos/'sin*r
tang a^r ^ — — jjin (, r)sin (/4-/')h- y*sîn*/' *
En faisant la somme des carrés de vs\n 37rv et de rcos ùttX^
on trouve
., cos ?r ==
/iy' / sin*i cos'r y- V 'os*i V sin* r cos^ i cos* i )
L\ sinrrosi/ cos*/J
En posant
sin'icos*r c, y^
sin*rcos*i ' ros*i •'
cette expression devient
Elle peut s'écrire
[(i-+-.T)»^.r«]« ' et enfin
En remplaçant or et y par leurs valeurs, l'expression de v^ devient
( sin t'cosr\3 y* V sin rcosi) cos*/
sin I cosr'\2 ^ y*
cos^ I
/ sin I cosr\2 ,
\ SHi r cos i /
OU
2 sin*(i ~r)+y^ sin* r
sin*(iH-r)H-y*sin*r'
et nous avons trouvé, pour déterminer la différence de phase, l'équation
S 2^ cos/ sin* r
tang 9w 5^ -= — sin(i4.,.)si,i(i,)H-y*sin*r '
391 . €#ni|»ar»i««n de» termule» de Cmielij «wee eellee de Sine Chullash. — Il est naturel de supposer que le rayon réfracté dans le métal se comporte comme dans les milieux transparents, c'est-à-dire que le rapport -t— est constant. Si l'on suppose que — ^ soit aussi une quantité constante, on |)Ourra poser
cosr
smc sin
:— ^ === M cos J'. -^ =^ M sin J/,
ni r ^ cm r ^
bU RÉFLEXION KT RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE.
iVl el 4/ étant deux constantes qui sont déterniinëos par les équations
SUl* I
M2=2iV +
sui*r cos*r ysinr cosr
*«"K^ = ^ÎÏÏ7
Si, dans l'expression déduite de la théorie de Caucby pour Tintensité de la lumière réfléchie lorsque la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, on multiplie les deux termes par
cos / , , sini' y , , . ,
7-;p^ qu on remplace ^— . et — ^— par leurs valeurs, et qu on pose
cos/
cos/* "^ celte expression devient
2 (fit- M cos^)--h M*sin*^ M*-i-fit-— ajixMcos^/ (fit 4- M cos ^y -h M* sin" >{/ "~ M* -+- fit' -h a fit M cos y^ '
On retrouve ainsi la dernière formule de Mac Cullagh, qui est
~ M»-i-^»-hQM^cosx'
les lettres seules sont changées : fit au lieu de ^ et >f/ au lieu de x» On peut aussi retrouver les premières formules de Mac Cullagh
en donnant à -j— et à y d'autres valeurs. La première formule de
Mac Cullagh pour l'intensité de la lumière réfléchie, lorsque la lumière est polarisée dans le plan d'incidence, est
|j ly -f- cos* I — 2 D cos i cos (x — X )
\y -H cos* / + a D cos / cos (y — y ' )
Elle s'applique aux corps transparents çonmie aux métaux.
La formule déduite de la théorie de Cauchy pour la même intensité peut s'écrire en multipliant les deux termes du second membre
par cos^ f ,
^. , sin* i . smicostcosr
COS^I 4- -:— r- cos* / — 2 ; h y*
o sm*r sinr ^
,.: sin*i ^ sinicosicos?^
cos'i + -T-r- cos* r -H 2 : \-y*
sm*r smr ^
RÉFLFAION .MÉTALMQl K. 585
Pour fairp coïncider ces deux formules, il faut poser
D2 -"illlicosV+yî.
sin*/* ' ^
D/ ,v sin i
On a d'îiilleurs (386) et
sin {
On peut (li^terminer*-: — ^.et y on fonction de ;^ et de m, car ;^ - x
est une fonction de X' On trouve fiinsi pour ces quantités des valeur? réelles. Il est donc possible de faire coïncider la formule de Cauchy avec celle de Mac Cullagh, mais ce n'est quau moyen d'une hypothèse dont on ne voit pas la signification physique. Il est probable que (lauchy a fait une hypothèse de ce genre, car la formule qu'il a donnée comme résultant de la théorie est de même forme que la première formule de Mac Cullagh.
On peut également faire coïncider les formules qui donnent la différence de phase.
La formule de (iauchy est, dans le cas où la lumière est polarisée dans le plan d'incidence,
S aycosisin'r
o X sin(/-4-r)sin(/— rj-i-y'sin'^r'
et celle de Mac Cullagh,
S ancos/sin(Y- y') *' A ros' / — I )'
Or on a
^ ^î» (x - x) = \/^' - SJiy. <*«*^' ^' - \^y- - 7^
n*2==^'cos2r + v^ sni*/' ' '
En substituait ces valeurs dans la formule de Mac (lullagh, elle
Verurt, Vï. — Optique, II. 38
devient
S aycosi
lang 3w j =
sin* i
cos* I — ;— r~ cos'r— y*
aycosisin'r
cos*isin*r— sin*icos*r— y*sin*r
aycosisin*/*
sin (/ -h r) sin {i — r) 4- y* sin* r
La difficulté de déterminer pour les métaux les quantités jtjj^
et y tient à ce que l'énorme proportion de lumière absorbée ne permet pas d'appliquer aux métaux le raisonnement qui conduit à la loi des sinus. De plus, les métaux étant polis à la surface, leur densité n'est plus la même parallèlement et perpendiculairement à la surface, et il doit en être de même pour la densité de Téther ^ qu'ils contiennent. La même chose a lieu dans les corps transparents; mais pour ces corps l'épaisseur ou l'homogénéité n'existe pas ou est insignifiante par rapport au chemin que parcourt la lumière dans le milieu, tandis que pour les métaux ces deux quantités sont comparables.
Dans le cas de l'incidence normale, on a
désignons cette valeur de y par g, de façon qu'on ail
hl
et substituons dans les deux équations qui font coïncider les formules de Mac Cullagh avec celles de Cauchy, nous aurons
(9) Dcos;^ = n;
car pour l'incidence normale y^ est nul ^i X'^ x' ^ X (387). De la relation
sîna(x~x')
on tire pour l'incidence normale
et par suite, en tenant compte des «équations (i) et (a),
m cos X = w »
wisinx=/f.
On voit donc que cela revient à poser que le coefficient d'absorption est égal à msin^» et l'indice de réfraction à mcos;^, sous l'incidence normale.
Dans le cas où la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, la question se complique davantage h cause de la difficulté d'appliquer le principe de continuité. D'ailleurs la formule donnée par Gaucby, pour l'intensité de la lumière réfléchie dans ce cas, est identique à la première formule de Mac Guilagh , qui est
p, »i* cos^ / -4- ly — aPm* cos i cos (x "»" X )
m* cos» I + l)*-h aDm' cos i cos (x^"X') *
Cauchy n'a donné, ni pour la lumière polarisée dans le plan d'incidence, ni pour la lumière polarisée perpendiculairement à ce plan , les valeurs de la différence de phase introduites par la réflexion ; mais il a publié une formule qui représente la différence de phase entre les deux composantes du rayon réfléchi, polarisées l'une parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence.
Cette formule est
tang27rj-==tangQû»sin(x-x)^
où l'angle (à est déterminé par l'équation
Dcosi
tanff &i = — r-r^ • " sm»/
On conclut de là
. aDcosisin»!
" sur I — i)*cos*i
et
. à aP cos / sin» i sin (x ~ X) tang QTT ^ sinN-D«cos»/
Les expériences* calorimétriques de MM. de la Proyostaye et Desains (379) ont aussi donné des résultats qui s'accordent avec ceux qu'on déduit des formules de Cauchy.
