E - J (v/7^6*^ sinM - v/i^^^^m
l'équation des courbes isochromatiques peut donc s'écrire
sj.x-ly'ûïi' I - v/i - a2 sinM -
ae
Par la raison générale qui fait disparaître les phénomènes d'interférence dans la lumière blanche lorsque la différence de marche est égale à un nombre un peu considérable de demi -longueurs d'ondulation, les seules lignes isocbromatiques visibles sont celles qui correspondent à de petites valeurs de k et par suite à de petites valeurs de l'angle 1. Pour toutes les lignes isochromatiques visibles, on peut donc développer les deux radicaux qui entrent dans le premier membre de l'équation précédente, en se bornant à prendre les deux premiers termes de chaque développement. L'équation des lignes isochromatiques devient alors
(a^- 6'^)sinM=^^ — .
L'angle 1 étant très-petit, son sinus est approximativement égal à sa tangente ; on peut par conséquent poser
sin^ i = ~~jr- '
et l'équation des lignes isochromatiques prend définitivement la forme
Les diamètres des cercles isochromatiques sont donc proportionnels à la distance qui sépare le plan où se forme l'image du centre optique de la lentille; leurs carrés sont en raison inverse de l'é-
paisseur de la lame, proportionnels à la quantité t __ i , et à la
longueur d'ondulation X. Mais il faut remarquer que ces lois ne sont applicables qu'aux cercles peu éloignés du centre du phénomène; les deux dernières ne sont du reste jamais rigoureusement
vraies , car la quantité "~s3t« dépend elle-même de la longueur d'ondulation.
Dans l'image ordinaire , les diamètres des anneaux brillants sont proportionnels à la suite des nombres pairs, et ceux des anneaux obscurs à la suite des nombres impairs , si le produit sin at sin 9(1 — 5) est positif; c'est l'inverse si ce produit est négatif. Ces résultats sont renversés pour l'image extraordinaire. Il résulte de là que, si«= 0, le produit sinst sin a {i — ^) étant toujours positif, les couleurs de l'image ordinaire se succèdent dans le même ordre que celles des anneaux transmis de Newton, tandis que celles de l'image extraordinaire sont analogues aux couleurs des anneaux réfléchis. Si « = 90°, le produit sin 21 sin 2(1 — *) est toujours négatif, et, par suite, l'image ordinaire présente les couleurs des anneaux réfléchis et l'image extraordinaire celles des anneaux transmis. Lorsque l'angle s n'est égal ni à zéro ni à 90 degrés, il y a deux croix incolores qui divisent chacune des images en huit segments. Dans les segments de l'image ordinaire où le produit sin 2t sin 2 (t — 5) est positif, les couleurs se succèdent comme dans les anneaux transmis, et , dans les segments où ce produit est négatif, elles suivent le même
ordre que dans les anneaux réfléchis; c'est l'inverse dans l'image extraordinaire.
218. Superposition de deux lames perpendieulalres à Vmwe. — Lorsqu'on superpose deux lames perpendiculaires à l'axe , les sections principales de ces deux lames peuvent toujours être regardées comme se confondant l'une avec l'autre. On a donc, comme nous l'avons vu précédemment (197)»
ûr = cos2«— sm3tsin3(t~#) sm-'Tr j^ »
tr = sin'5-t-sm2t8m3(t — sjsurn ^
Il résulte de là que les croix incolores seront placées de la même façon que dans le cas d'une lame unique. L*équation générale des courbes isochromatiques sera
d'où l'on tire, en désignant par s! l'épaisseur de la seconde lame, par a! et V les demi-axes de la nappe ellipsoïdale de la surface de l'onde dans cette lame ,
Si les deux lames sont de même signe , les quantités a^ — h^ et a'^ i'2 sQ0t aussi Je même signe, et, par suite, les anneaux que donnent les lames superposées sont toujours plus étroits que ceux qui sont donnés par l'une des lames. L'effet produit par la superposition de deux lames de même signe est donc toujours un rétrécissement des anneaux.
Si les deux lames sont de signes contraires, les anneaux fournis
par celle des deux lames pour laquelle la quantité r (a^ — t^) a la
plus grande valeur absolue s'élargissent lorsqu'on lui superpose l'autre lame.
On peut déduire de ces remarques un moyen très-simple de dé-
terminer le signe d'un cristal à un axe. 11 suffit d'avoir une lame de ce cristal taillée perpendiculairement à l'axe , et de la superposer à une lame également perpendiculaire à l'axe d'un cristal dont le signe est connu. Il faut avoir soin, pour écarter toute chance d'erreur, d'observer en premier lieu les anneaux fournis par celle des
deux lames pour laquelle la quantité , ,» a la plus grande valeur
absolue , c'est-à-dire par celle qui donne les anneaux les plus étroits. On lui superpose la seconde lame, et, si les anneaux se rétrécissent, on en conclut que les deux lames sont de même signe; si, au con* traire, les anneaux s'élargissent, les lames sont de signes contraires. Pour plus de sûreté, il convient de ne s'appuyer que sur les expériences qui produisent un élargissement des anneaux.
Gomme lame répulsive^ on peut employer le spath d'Islande, la tourmaline ou le béryl; le spath a l'inconvénient de donner des anneaux très-étroits, à moins que la lame ne soit excessivement mince, car c'est un des cristaux où la différence entre l'indice ordinaire et l'indice extraordinaire a la plus grande valeur. Gomme lame attractive on se sert ordinairement du zircon ou du sulfate de potasse.
219. Iiame parallèle à Taxe. — Lorsque la lame est parallèle à l'axe, les images données par l'analyseur ne présentent plus de lignes incolores; dans ce cas, en effet, les an^es t et s ont la même valeur pour tous les rayons quel que soit l'angle I : si donc on a
sinat=-^o
ou
sin9(t — «)=^o,
c'est-à-dire si la section principale de la lame est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation, ou encore si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire à celle de la lame, le terme qui, dans l'expression des intensités des deux images fournies par l'analyseur, contient la longueur d'ondulation est nul pour tous les rayons, et, par suite, les images ne présentent aucune trace de coloration.
Les conditions les plus favorables pour la production des colora-
tions sont évidemment remplies lorsqu'on a simultanément ^==^7 et
TT
«=o ou « = -•
En tenant compte de la valeur trouvée précédenmient pour la différence de marche 0 — E dans le cas d'une lame parallèle à l'axe (201), on voit que l'équation des courbes isochromatiques est
\J\ — 6'sinM v^i — (fl*sin^cj-4-fe*cos*&>)sinM kX h a 2e
Les phénomènes visibles correspondant toujours à de petites valeurs de l'angle I , on peut développer les radicaux en ne conservant que les deux premiers termes , et l'équation précédente devient
1 sin*I 1 — (a'sin*ûi>4-6*cos^Ci;)sinM
kX
b a ae
d'où
a — 6 (a*sin*ci»-i-6*cos*cy — fl6)sin*l k\
ab 2a ie
a^b b{a[a — fe)sin*gt> — b{a — b) cos^û/[sinM kX
ab 2(tb ae '
et enfin
(1) 1 +-(asin^(w— 6cos^a>)sin^l^ - — t-—-
\/ 3\ / a— oae
Si l'on prend pour axe des x une droite parallèle à la section principale de la lame , on a , comme nous l'avons vu précédemment ,
d'où
tangl =
tangci; =
sin« —
rf tangl'
cosci; =
d tangl L'angle 1 étant toujours très-petit, on peut remplacer sa tangente
par son sinus, et il vient
sinûisin I = b' cos« sin I ^ t *
En substituant ces valeurs dans l'équation des lignes isochroniatiques , elle prend la forme
ab kX
Les lignes isochromatiques sont donc des hyperboles ayant pour axes deux droites, Tune parallèle, l'autre perpendiculaire à Taxe du cristal, et pour asymptotes deux droites représentées par l'équation
Si k est négatif, ou si k a une valeur positive peu considérable, le second membre de l'équation (â) est négatif, et, par suite, l'axe réel des hyperboles est parallèle à l'axe du cristal. Si A: a une valeur positive supérieure à celle qui annule le second membre de l'équation (i), ce second membre est positif et l'axe des hyperboles isochromatiques est perpendiculaire à l'axe du cristal.
D'ailleurs , l'équation
ab kX
n'étant pas en général satisfaite par une valeur entière de k, les asymptotes ne font pas partie du système des courbes isochromatiques, sauf dans des cas très-particuliers.
L'équation (i) montre que, lorsque sin^l est très-petit, comme cela arrive pour la partie visible du phénomène, k doit représenter un nombre assez grand, à moins que e ou a — 6 ne soit très-petit. Donc, si la lame n'est pas excessivement mince ou très-peu biréfringente, les courbes isochromatiques qui forment la partie visible du phénomène correspondent à une valeur assez grande de k; il est facile de conclure de là que , dans les points où une certaine couleur présente son maximum d'intensité, il y a minimum d'intensité pour une couleur très- voisine , et que, par suite, les colorations ne sont .
pas sensibles dans la lumière blanche. Aussi, pour distinguer les hyperboles isochromatiques que donne une lame parallèle à Taxe, est-il nécessaire d'employer une lumière monochromatique comme celle de l'alcool salé, à moins que la lame ne soit extrêmement mince.
220. Procédé de H* dmllteh pour déteraUncr le sii^e ■d'un erlstel à un axe. — M. Grailich s'est servi des franges hyperboliques que donne une lame parallèle à Taxe pour déterminer le signe d'un cristal à un axe au moyen d'une seule lame auxiliaire dont le signe est connu. A cet effet, en avant de la lame à essayer B, qui est taillée parallèlement à l'axe, on dispose une lame A' perpendiculaire à l'axe, dont le signe est connu, et dans laquelle la différence entre les indices des deux rayons est très-petite. Si les deux lames sont parallèles, les rayons tombent sur la première lame sous une incidence très-voisine de l'incidence normale; ils n'acquièrent donc dans cette lame qu'une différence de marche très-petite, et l'aspect des hyperboles que donne la seconde lame n'est pas sensiblement changé.
Supposons les deux lames de même signe. Si l'on fait tourner la lame A autour d'un axe perpendiculaire à la section principale de la seconde lame, les sections principales des deux lames coïncident sensiblement, du moins pour les rayons qui ne s'écartent pas beaucoup de l'axe du faisceau divergent; les rayons qui sont ordinaires dans la première lame restent donc ordinaires dans la seconde, et les rayons qui sont extraordinaires dans la première lame restent extraordinaires dans la seconde. Il résulte de là que la différence de marche augmente à mesure qu'on fait tourner la lame A; par suite, les hyperboles se rétrécissent ou n'apparaissent pas si elles étaient déjà invisibles.
Si au contraire on fait tourner la lame A autour d'un axe parallèle à la section principale de la lame B , les sections principales des deux lames sont perpendiculaires; les rayons qui sont ordinaires dans la lame A deviennent extraordinaires dans la lame B; la rotation de la lame A produit donc dans ce cas une diminution dans la différence de marche, et par suite un élargissement des hyperboles:
on peut ainsi faire apparaître les hyperboles, si elles étaient primilivement invisibles.
Les résultats sont renversés si les deni lames sont de signes contraires. Il convient de n'ajouter foi qu'aux expériences qui produisent un élargissement des hyperboles, et l'on voit -que les deux lames sont de même signe ou de signes contraires suivant que cet élargissement est produit par une rotation autour d'un axe parallèle à ia section principale de ta lame à essayer ou autour d'un axe perpendiculaire à cette section principale.
221. Pf9«M6 4e M. M, Soleil pour recouMlItrc al UMe iMOttc ••* p»F«uèie à r»xe. — M. HenriSoleila imaginé un procédé très-ingénieux pour reconnaître si une lame est rîgoureusemenl parallèle à l'axe, ce qu'il importe de vérifier aussi exactement que possible lorsqu'il s'agit de construire un compensateur de Babinet ou un appareil analogue.
On commence par s'assurer, à l'aide des procédés ordinaires, que les deux faces de la lame à essayer sont rigoureusement parallèles. On place ensuite cplle lame dans l'appareil de Nôrremberg. Cet appareil est représenté dans la figure 3 9. Le faisceau incident formé de rayons parallèles est reçu sur une ^ace A6 qui fait avec la verticale un angle égal à l'angle de polarisation complète. Le faisceau est réfléchi verticalement, de haut en bas; il rencontre une lentille Ë qui le fait converger en son foyer principal 0. Ce foyer principal se trouve sur un miroir horizontal '*' ' " CD ; sur ce miroir est posée une lame
de mica d'un quart d'onde ed, et au-dessus de cette lame de mica la lame à essayer ab. Le faisceau, au sortir de la lentille E, traverse les lames ab pI crf, se réfléchit sur le miroir CD sans éprouver d'alté-
ration notable dans sa polarisation , traverse de nouveau les lames cd et ab, puis la lentille £. Au sortir de la lentille E les rayons redeviennent parallèles; ils traversent la glace AB sans que leur polarisation soit sensiblement changée; ils sont ensuite reçus sur un analyseur N placé dans un tube cylindrique vertical. La lame de mica doit être placée de façon que sa section principale fasse un angle de 45 degrés avec celle de la lame à essayer.
Le faisceau incident, en traversant la lame ab, se divise en deux ondes^ l'une ordinaire , polarisée dans le plan de la section principale de ab; l'autre extraordinaire, polarisée perpendiculairement à ce plan. Chacune de ces deux ondes traverse deux fois la lame de mica; comme cette lame est d'un quart d'onde et que sa section principale fait un angle de 45 degrés avec celle de la lame mince, l'effet produit est le même que si les rayons traversaient une lame de mica d'épaisseur double; le plan de polarisation de chacune de ces ondes tourne donc de 90 degrés, et, lorsqu'elles traversent de nouveau la lame/ift, l'onde qui était d'abord extraordinaire devient ordinaire, et réciproquement. Si la lame est rigoureusement parallèle à l'axe, les deux ondes, au sortir de la lame ab, sont polarisées à angle droit et ne présentent aucune différence de marche, chacune d'elles ayant parcouru des chemins identiques dans la lame ab, h l'état d onde ordinaire et à l'état d'onde extraordinaire. Il n'y aura donc aucune trace de coloration dans l'analyseur.
Supposons au contraire que la lame ab soit inclinée sur l'axe : désignons par 0 et E les chemins équivalant à ceux qui sont parcourus dans la lame ab par l'onde ordinaire et par l'onde extraordinaire, lorsque les rayons traversent pour la première fois cette lame; par 0' et E' les chemins équivalant à ceux qui sont parcourus dans la lame ab par l'onde ordinaire et par l'onde extraordinaire, lorsque les rayons traversent pour la seconde fois cette lame après s'être réfléchis sur le miroir CD. Les deux ondes correspondant aux rayons qui ont traversé deux fois la lame ab présentent une différence de marche égale à 0 -f- E' — (O'+E). Les chemins 0' et 0 sont évidemment égaux; mais il n'en est pas de même des chemins E et E' lorsque la lame n'est pas parallèle a l'axe. Si en effet S représente l'angle que forme la normale à In lame avec Taxe, on a, d'après les
formules données précédemment,
n f>r • 1 (a*— 6*)sin^cos^cos(ysinI-4-v/M
h = ecoln sml==e , . ,^ — :,- — r^
a sm d-h6 cos d
La quantité M placée sou» le radical ne contient sin S et cos S qu'au carré. Pour calculer E', il faut tenir compte de ce que les rayons traversent la lame en sens contraire, et par conséquent remplacer S par it — S^ce qui ne change pas la valeur de M. On a donc
i;,, — (a* — h* ) sin S cos S cos w sin I + \/lÂ
a^sin*(î-i-6'cos''^
La différence de marche des deux ondes que reçoit l'analyseur est égale à E — E', c'est-à-dire à
2e(a* — 6*)sin^cos^cosû;sinI rt*sin*<î+ A*cos*^
Les lignes isochromatiques s'obtiendront en égalant cette quantité à une constante^ ce qui revient à égaler à une constante coso; sin I
ou j • Les lignes isochromatiques sont donc des droites perpendiculaires à la section principale de la lame ab. Il résulte de là qu'on est averti , lorsque la lame n'est pas rigoureusement parallèle à l'axe, par l'apparition dans l'analyseur de bandes colorées rectilignes perpendiculaires à la section principale de la lame.
222. Superposition de deux lames parallèles à Taxe, de même nature et de même épaisseur, dont les seetions prineipales sont à an^le droit. — Supposons que l'on superpose deux lames appartenant au même cristal , parallèles à l'axe et de même épaisseur, de façon que leurs sections principales soient à angle droit. L'onde qui est ordinaire dans la première lame devient extraordinaire dans la seconde, et réciproquement. La différence de marche des deux ondes qui émergent du système des deux lames est donc égale à 0 + F~(0' + E) ou, comme 0' = 0, à E' -E. La valeur de E' s'obtient en remplaçant dans celle de E l'angle cj par
160 POLARISATION CHROMATIQUE, son complément cii; on a donc
E'-E=-^(Y/i~(a2cos2û,+62sin2<y)sinM
— y/i— (a^ sin^ ÛI+ 6^ cos^ û>) sin^ I j •
Si Ton développe les deux radicaux en négligeant les termes dans lesquels sini entre à une puissance supérieure à la seconde, ce qui est permis puisque l'angle I est toujours très-petit, il vient
E'-E=^-{n^-U^){sm^œ-cos'a>)smH,
L'équation des courbes isochromatiques est ou, d'après la valeur que nous venons de trouver pour E' — E,
(a^ — i^) (sin^ œ — cos^ oj) sin^ I -=
En remplaçant sinoisinl par ^ et cosâ>sinI par^) il vient définitivement
r-^'-TT^t
Les courbes isochromatiques sont donc dans le cas actuel des hyperboles équilatères dont les axes sont dirigés suivant les traces des sections principales sur le plan du tableau , et les asymptotes suivant les bissectrices de ces traces. Ces asymptotes sont elles-mêmes des lignes isochromaliques correspondant à une valeur nulle de kx et comme, sur ces droites, le terme qui dans l'expression des intensités des deux images dépend de la longueur d'ondulation est nul, les deux asymptotes sont toujours incolores. Si la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation , les deux asymptotes sont noires dans l'une des images et blanches dans l'autre. On voit que, dans le cas que nous venons
d'examiner, les phénomènes sont beaucoup plus simples et plus réguliers que dans le cas d'une lame unique.
