EXPLICATION THÉORIQUE DE LA POLARISATION ROTATOIRE

253. Prtadpea ém In «hé»ri« d« Fre— «I. — Peu de temps après la découverte des phénomèDcs de [a poIarisalioD rotatoire, Fresnel ea trouva rinlerprétation théorique daus l'hypothèse des ondulations'*'. L'explication donnée par Fresnel repose sur ce fait, qu'un rayon polarisé circulairement traverse sans altération une plaque de quartz dans la direction de l'axe. Un rayon polarisé circulairement peut en effet toujours être considéré comme résultant de ta superposition de deux rayons polarisés rectilignement à an^e droit, et présentant une différence de marche égale à un quart de longueur d'ondulation -. la lame de quartz fait tourner d'une même quantité le plan de polarisation de chacun de ces deux rayons; ils sont, par suite, encore polarisés à angle droit leur différence de marche n'est pas altérée, [ lame dans la direction de t'axe: ils constituent super|)osition après avoir traversé la lame, un lairement ou, comme nous dirons pour abrég< On voit d'après cela que les rayons circulaires les rayons les plus simples par rapport à une I diculaire à l'axe. Or, il existe deux espèces de uns polarisés de gauche à droite, que nous ap lairet droits, et tes autres polarisés circulairem< que nous appellerons rayona circulaires gauches.

Pour rendre compte des principales particularités que présentent les phénomènes de la polarisation rotatoii-e, il sulht, ainsi que l'a montré Fresnel, d'admettre que ces deux espèces de rayons circulaires traversent la lame de quartz avec des vitesses différentes dans le sens de l'axe, et que la vitesse du rayon circulaire droit est plus grande que celle du rayon circulaire gauche dans une lame dextro^yre, tandis que c'est l'inverse dans une lame lévogyre.

") AiM.de Mm. ttdtpki/f.,{i),\\Vm, 1&7.

-254. BxpUe»«to« B«mMétrH|H« *m Ik r«t»ti«B du plan

de yl»rl»BH»B. — En admettant l'hypothèse que nous venons d'énoncer, on peut expliquer soit géométriquement, soit analytiquement, la rotation du plan de polarisation. L'explication géom^ trique est fondée sur ce fait qu'un rayon polarisé rectilignement peut toujours être regardé comme résultant de la superposition de deux rayons circulaires de sens contraires ayant même période. Supposons en elTet que deux molécules IVI el M' (fig. 3*)) se meuvent sur la même circonférence, en sens contraire, avec la même vitesse, et que ces deux molécules se trouvent simultanément sur l'axe des y; les positions M et M' occupées par les deux molécules au même instant .seront toujours symétriques par rapport à l'axe des y. Si l'on décompose chacun de ces deux mouvements parallèlement aui deux axes, les composantes parallèles à l'axe des x se détruisent el les composantes parallèles à l'aie des y s'ajoutent. On voit donc que deux rayons polarisés eircuiairement en sens contraire , de même période

et de même amplitude , équivalent à un rayon polarisé rectilignement ayant même période que les deux rayons circulaires et une ampliludc double, el que la direction des vibrations sur ce rayon recliligne n'est autre que la droite [lar rapport îk laquelle Ips positions des molécules vibrantes au même instant sont symétriques sur les rayons cirt^ulaires. Supposons maintenant que ces deux rayons circulaires qui peuvent remplacer un rayon polarisé rectiligrii>menl traversent unt> lame de quartx de\lroi;yre dans le sens de son axe: d'après

l'hypothèse admise, le rayon circulaire gauche, se transmettant avec une vitesse moins grande, sera en retard sur le rayon circulaire droit. La molécule M\ qui tourne de droite à gauche, sera donc dans une phase moins avancée de son mouvement que la molécule M qui tourne de gauche à droite. Quand la molécule M sera sur l'axe des y (fig. 33), la molécule M' se trouvera en M à droite de Taxe des y : la superposition des deux rayons circulaires donnera encore un rayon polarisé rectilignement; mais les vibrations sur ce rayon seront dirigées suivant la bissectrice ON de l'angle MOM', d'oîi il résulte que le plan de polarisation aura tourné vers la droite d'un angle égal à la moitié de l'angle MOM'. Cet angle est évidemment proportionnel au retard du rayon gauche par rapport au rayon droit, et par suite à l'épaisseur de la lame. On verrait de même que, si le rayon circulaire gauche se propage plus vite que le rayon circulaire droit, le plan de polarisation doit tourner vers la gauche d'un angle proportionnel à l'épaisseur de la lame.

255. ExpliCAtioii Analytique de îm roti^tieii du pimwk de p»l»riMitioii« — S)]pposons que le rayon polarisé rectilignement qui pénètre dans la lame de quartz ail son plan de polarisation perpendiculaire à l'axe des x; le mouvement vibratoire sur ce rayon sera parallèle h l'axe des x et pourra être représenté par

t x=asin ù'jrrf;

ce mouvement peut être considéré comme résultant de la superposition de deux déplacements égaux Ç et 4', si Ton pose

ç = -sm aw^'i

ç =-sm 391 j-

Sans rien changer au mouvement, on peut ajouter deux déplacements ï) et rt\ égaux et de sens contraires, s'effectuant parallèlement à l'axe des y, ces déplacements ayant même amplitude que les déplacements Cet Ç' et présentant avec Sel Ç' une différence de marche

légale h un quart de longueur d'ondulation; on aura alors

ly =- COSâTT^n»

Si Ton groupe deux ù deux ces quatre déplacements, le déplacement Ç combiné avec le déplacements donnera un rayon. circulaire droit, et le déplacement Ç' combiné avec le déplacement ri' un rayon circulaire gauche. Supposons maintenant que Set y soient les épaisseurs des Inmes d'air que traverse un rayon lumineux pendant des temps égaux à ceux que le rayon circulaire droit et le rayon circulaire gauche emploient respectivement pour se transmettre à travers la lame de quartz, parallèlement à Taxe : au sortir de la lame les quatre composantes pourront être représentées, en choisissant convenablement Foriginc du temps et en appelant X la longueur d'ondulation dans le vide, par les expressions suivantes :

Ç = -Sin 97r ( ;p — T 1 1 V =-C0S9W l T'"" J )'

Ç' = -sin 27r Ly ""xJ' '^'^ cos tîTT (t^ — ?) •

Le déplacement réel de la molécule vibrante sur le rayon émergent est la résultante de ces quatre déplacements; en appelant x' et y' les coordonnées de cette molécule, on a

f s , Hf ' ( ^ S-yy\ S — y

X =Ç+ç ==asin qtt ( j, v^ 1 cos7r-y^i

, , / • /' S-¥y\ ' S-y y =n + »?=-='» sm un [ », ^j smTT — y-»

iVtm l'on tire

- = tangir-y^.

On voit que le rayon émergent est polarisé rectilîgnement et que le plan de polarisation a tourné d'un angle égal à n —^ vers la gauche ou vers la droite, suivant que S est plus grand ou plus petit

que y, c*est-à-dirp suivant que le rayon circulaire droit est en retard ou en avance sur le rayon circulaire gauche. L'angle dont tourne le plan de polarisation est proportionnel kS—y, et par suite à l'épaisseur de la lame.

Quant à la relation qui existe entre la rotation du plan de polarisation et la longueur d'ondulation, la théorie de Fresnel ne permet pas delà prévoir a priori. On peut remarquer seulement que, la rotation étant égale k

la loi établie expérimentalement par Biot exige que les quantités S et y varient en raison inverse de X , et par suite que les vitesses de propagation des deux rayons circulaires qui se propagent dans la lame de quartz parallèlement à Taxe soient proportionnelles h X.

256. Double réiraetioii circulAire du quarte MilYAiit •on miLe. — Fresnel a confirmé par l'expérience le principe sur lequel s'appuie l'interprétation théorique qu'il donne de la polarisation rotatoire, et a démontré que la décomposition d'un nayon polarisé rectilignement en deux rayons circulaires de sens inverse n'est pas une simple hypothèse, en séparant, en matérialisant, pour ainsi dire, ces deux rayons. Pour réaliser cette séparation, Fresnel s'appuie sur ce principe que, si dans un milieu deux rayons se propagent suivant la même direction avec des vitesses inégales, ces rayons, en passant de ce milieu dans l'air, se réfractent suivant des directions différentes toutes les fois que la face de sortie est inclinée sur le rayon émergent. Si l'on taille un prisme de quartz ayant pour base un triangle rectangle, de façon que l'une des faces soit perpendiculaire à l'axe, et qu'on fasse tomber normalement sur cette face un rayon polarisé , ce rayon devra , en se réfractant à l'émergence sur la face hypoténuse . se décomposer en deux rayons circulaires suivant des directions différentes. Mais Fresnel, en calculant la différence des indices des deux rayons circulaires, reconnut que, pour rendre la séparation des deux rayons sensible, il faut donner à l'angle du prisme une valeur telle, qu'il y aurait réflexion totale sur la face hypoténuse. Pour faire disparaître cette difficulté, il

suffit d'accoler l'un à l'autre deui prismes triangulaires égaux ABC, ACD (fig. 34), l'un dextro|îyre, l'autre lëvogyre, de façon que l'ensemble forme un prisme h base rectangulaire. Si la face AB est perpendiculaire à l'axe et si Ton fait tomber normalement sur celte face un rayon polarisé SI , ce rayon se décomposera dans le premier

I prisme en deux rayons circulaires de sens contraire se propageant avec ded vitesses inégales. Le rayon circulaire, qui va plus vite dans le pre- Fig. » mier prisme,, va moins vile

dans le second; ce rayon se réfractera donc en a suivant ab, co se rapprochant de la normale; l'autre rayon circulaire se réfracte au contraire suivant ac, en s'écartant de la normale. La séparation des deux rayons se trouve encore un peu augmentée lorsqu'ils passent du second prisme dans l'aïr.

Fresnel s'est servi d'abord d'un appareil uo peu plus compliqué et composé de trois prismes triangulaires, dont l'un ABC (fig. 35), très-obtus et d'un an^e égal à iSa degrés, est compris entre deux

I autres prismes ABD et ACE , qui possèdent une rotation inverse de celle du prisme ABC , et qui complètent avec le prisme ABC un prisme à base rectangulaire. Si la face ■*■ ■ BD est perpendiculaire à

Taxe et si l'on fait tomber normalement sur cette face un rayon polarisé, les deux rayons circulaires se séparent en passant du premier prisme dans le second, et cette séparation devient encore plus accusée lorsqu'ils passent du second dans le troisième.

On peut s'assurer qu'il y a deux rayons émergents en regardant à travers le prisme composé une mire très-éloignée , et en constatant qu'il se forme deux images distinctes. Chacun de ces rayons donne du reste dans un analyseur deux images de même intensité, quelle que soit l'orientation do lu section principale de l'analyseur, et, si l'on interpose sur le trajet de ces rayons une lame d'un quart d'onde ,

VuMT, VI. — Optique, 11. iG

ils se transforojent en rayons polarisés rectilignement , dont les plans de polarisation sont perpendiculaires entre eux et font des angles de 45 degrés avec la section principale de la lame, ce qui prouve que les rayons sont polarisés circulairetnent et en sens inverse.

Il importe que les rayons traversent le prisme composé dans la direction de l'axe; car, pour peu quils s'écartent de celte direction, ils éprouvent la double réfraction ordinaire, qui les décompose en deux rayons polarisés rectilignement et qui est beaucoup plus énergique que la double réfraction circulaire.

Les faces d'entrée et de sortie étant parallèles, il semble qu'il ne doive pas y avoir de dispersion, et cependant les rayons émergents sont colorés; ce résultat est dâ à ce que la double réfraction circulaire agit inégalement sur les rayons des différentes couleurs simples: la différence des indices des deux rayons circulaires est bien plus considérable pour les rayons violets que pour les rayons rouges, comme on devait s'y attendre, puisque la déviation du plan de polarisation augmente avec la réfrangibilité.

257. IMiffépeiice des YiteMies des deux rmj^mm eireuteires. — Il est utile de se faire une idée de la différence qui existe entre les vitesses des deux rayons circulaires de sens inverse qui peuvent se propager dans le quartz parallèlement à l'axe.

Pour calculer cette différence, remarquons qu'une plaque de quartz d'un millimètre fait tourner de ùk degrés le plan de polarisation des rayons jaunes moyens, d'où il résulte qu'une plaque de 1 5 millimètres fait tourner ce plan de 36o degrés. On a donc alors, en désignant par X la longueur d'ondulation des rayons jaunes

moyens ,

D^ailleurs, en appelant V la vitesse des rayons jaunes dans Tairi D et G les vitesses des rayons circulaires droit et gauche de cette couleur dans le quartz» les valeurs des quantités ^ et 7 sont

En portant ces valeurs dans l'équation précédente, il vient

Si nous supposons que la plaque soit lévogyre, on a G> D, et on

peut poser

e étant une quantité très-petite; on a donc très-approximativement

et par suite

i5Vs

Le rapport ^ est sensiblement égal à l'indice ordinaire du quartz ,

qui est 1,5 08» ou -en chiffres ronds. L'équation précédente devient par conséquent

La longueur d'ondulation X est égale à -^ de millimètre environ ,

et Ton a par suite

d'où Ton conclut que le différence des vitesses des deux rayons circulaires est moindre que la vingt-millième partie d'une de ces vitesses 9 et que le rapport des indices de ces deux rayons est inférieur à 1,0 000 5, c'est-à-dire moindre que l'indice de réfraction des gaz les moins réfringents.

258. Exp^rleiice de ]fl« BaMiiet* -^ M. Babinet^^^ a démontré l'inégalité de vitesse des deux rayons circulaires dans le quartz au moyen d'une expérience qui avait déjà été indiquée par w C. R., IV, 900.

236 POLARISATION HOTATOIRE.

Fresncl. Cette expérience consiste à interposer une laine de quartz perpendiculaire à Taxe sur le trajet des rayons incidents qui tombent sur les miroirs de Fresnel. Si la lumière incidente est polarisée et traverse normalement la lame de quartz, le faisceau qui tombe sur chaque miroir se compose de deux espèces de rayons circulaires. Le système ordinaire des franges est formé par la superposition de deux systèmes, dus Tun à l'inlcrfércnce des rayons circulaires droits qui tombent sur les deux miroirs, et l'autre à l'interférence des rayons circulaires gauches. IMfais il existe en outre deux autres systèmes de franges dus à l'interférence des rayons droits qui tombent sur l'un des miroirs avec les rayons gauches qui tombent sur l'autre miroir. Ces deux systèmes sont latéraux et leurs franges centrales se trouvent l'une à droite, l'autre à gauche de la frange centrale du premier système. Ces deux groupes de franges latérales ne sont pas visibles à l'œil nu, car la différence de marche qui s'établit entre deux rayons polarisés circulairement en sens inverse ne change pas l'intensité du rayon résultant, mais seulement la position du plan de polarisation de ce rayon qui est toujours polarisé rectilignement. Si la différence de marche est nulle, ce rayon est polarisé dans le même plan que la lumière incidente: si cette différence est égale à

-9 le plan de polarisation est à 90 degrés du plan primitif, et,

lorsque la différence de marche varie de zéro à - 1 l'angle du plan

de polarisation avec le plan primitif varie de zéro à 90 degrés. L'interférence des rayons droits réfléchis par l'un des miroirs avec les rayons gauches réfléchis par l'autre donne donc naissance à une série de rayons polarisés alternativement à angle droit et séparés par des rayons polarisés dans des plans intermédiaires. En plaçant audevant de l'œil un analyseur biréfringent, on apercevra dans la lumière homogène deux systèmes latéraux de franges alternalivemenl brillantes et obscures. Ces franges sont complémentaires dans les deux images; elles se déplacent quand on fait tourner l'analyseur et échangent leurs positions quand là rotation est de 90 degrés.