POLARISATION ROTATOIRB DANS LA LUMIÈRE CONVERGENTE
259. AetiOB du iiuartB «ur la. lumière pelarisée lorimae les rayons sont inclinés sur Taxe. — Fresnel n'a étudié Taclion exercée par une plaque de quartz sur la lumière polarisée rectilignement que dans le cas où les rayons polarisés qui traversent une lame de quartz sont parallèles à l'axe. Il restait à examiner les phénomènes que produit le quartz dans la lumière convergente et à en rendre compte. C'est ce qu'a fait pour la première fois M. Airy en i83i ^^K Dans les travaux de M. Airy la théorie a presque toujours précédé l'expérience; nous suivrons donc ici le même ordre et nous ferons connaître en premier lieu les hypothèses que M, Airy a admises en se laissant guider par l'analogie, hypothèses qui ont trouvé jusqu'à un certain point leur confirmation dans Texpérionce.
Pour analyser les phénomènes produits dans la lumière convergente par une plaque de quartz taillée pei*pendiculairement à l'axe, il faut évidemment connaître l'action exercée par cette plaque sur un rayon polarisé rectilignement qui la traverse dans une direction inclinée sur l'axe. M. Airy, partant de ce fait que dans une direction perpendiculaire à l'axe il n'y a pas de différence appréciable entre les propriétés du quartz et celles d'un cristal quelconque à un axe, fut conduit à supposer que le passage des vibrations circulaires aux vibrations rectilignes a lieu par l'intermédiaire des vibrations elliptiques, c'est-à-dire que, de même que dans la direction de l'axe le quartz ne peut transmettre sans altération que des rayons polarisés circulairement, et dans une direction perpendiculaire à l'axe que des rayons polarisés rectilignement, dans une direction inclinée il ne transmet sans altération que des rayons polarisés elliptiquement. En regardant ainsi le phénomène qui se produit dans une direction inclinée comme intermédiaire entre ceux qui ont lieu dans une direction parallèle à l'axe et dans une direction perpendiculaire, il
(*) Camhr. Tranê,, IV, part, i, p* 79* 198.
faut admettre que tout rayon polarisé rectilignement qui pénètre dans le quartz suivant une direction inclinée sur Taxe se décompose en deux rayons polarisés elliptiquement en sens contraire et se propageant avec des vitesses inégales. Le quartz étant un cristal attractif, si la plaque que Ton considère est dextrogyre, le rayon polarisé elliptiquement de gauche à droite correspond au rayon ordinaire, et celui qui est polarisé elliptiquement de droite à gauche correspond au rayon extraordinaire; c'est l'inverse si la plaque estlévogyre.
Dans les cristaux qui ne jouissent pas du pouvoir rotatoire, les vibrations du rayon ordinaire sont perpendiculaires à la fois à l'axe du cristal et à la normale à l'onde; celles du rayon extraordinaire sont parallèles à la projection du rayon sur le plan de l'onde. Tout étant symétrique dans le cristal par rapport à ces deux directions, il est naturel d'admettre que dans le quartz les grands axes des ellipses de vibration des deux rayons polarisés en sens contraire leur sont parallèles, et par suite que les grands axes de ces ellipses sont à angle droit.
Les phénomènes particuliers au quartz cessant d'être sensibles dès que le rayon forme avec l'axe un angle même peu considérable, il faut admettre que les ellipses de vibration , qui se confondent avec dès cercles lorsque le rayon est parallèle à l'axe , s'aplatissent rapidement de manière à se confondre presque avec deux droites perpendiculaires l'une à l'autre dès que le rayon fait avec l'axe un angle tant soit peu considérable. M. Airy, en s'appuyant sur ce que dans le quartz la différence des indices ordinaire et extraordinaire est très-faible, supposa de plus que la transition se fait de la même manière pour les deux rayons polarisés en sens contraire , c'est-àdire que les ellipses de vibration des deux rayons polarisés elliptiquement en sens contraire qui proviennent d'un même rayon incident sont toujours semblables.
Quant à la différence de marche entre les deux rayons, on ne peut plus admettre qu'elle soit la même que dans les cristaux soumis aux lois générales de Huyghens, du moins pour les directions voisines de l'axe, puisque cette différence ne se réduit pas à zéro lorsque le rayon est parallèle à l'axe. M. Airy supposa que dans le quartz la différence de marche entre les deux rayons polarisés elliptiquement
en sens contraire est égale à la différence de marche déduite de la loi de Huyghens pour les cristaux à un axe , augmentée d'une quantité indépendante de la direction du rayon incident, mais variant en raison inverse de la longueur d'ondulation, de même que la différence de marche des deux rayons circulaires de sens contraire qui se propagent parallèlement à Taxe, ce qui revient à admettre que dans le quartz la surface d'onde se compose, comme dans les cristaux ordinaires à un axe , d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution , mais que la sphère et l'ellipsoïde ne sont pas tangents. Il faut remarquer que cette hypothèse doit toujours être très-approximativement conforme h la vérité dans le voisinage de l'axe, ce qui est suffisant puisque, dans les directions qui font avec l'axe des angles un peu considérables, le pouvoir rotatoire du quartz est négligeable visà-vis de la double réfraction régulière.
En admettant la similitude des ellipses de vibration et la constance de la différence de marche en excès due au pouvoir rotatoire , on peut rendre compte des phénomènes que présente le quartz dans la lumière convergente.
A. — LumàRB coiiYBRGEirrB polarisiSb rbctilignbmbnt.
260. Formules séuéralca |Mnir les intensitéM des imaipefl dmis rauAlyseur, — Nous allons nous proposer de déterminer les principales particularités que présentent les images fournies dans un analyseur biréfringent par une plaque de quartz tatUée perpendî" culairement à l'axe et placée dans la lumière convergente. Nous supposerons en premier lieu que la lumière convergente soit polarisée rectilîgnemenL Les appareils qui serviront à observer ces phénomènes seront les mêmes que ceux que nous avons décrits à propos de la polarisation chromatique, c'est-à-dire que tous les rayons qui traversent la plaque dans une direction déterminée iront converger en un même foyer réel ou virtuel, et c'est l'intensité que présentent en ce foyer les rayons d'une couleur déterminée qu'il s'agira de calculer. Comme nous n'aurons à considérer que des rayons traversant la plaque dans une direction voisine de l'axe , nous pourrons , au lieu de considérer des rayons tombant obliquement sur une lame pcrr pendiculaire à l'axe, supposer que les rayons tombent normalement
2/tO POLARISATION ROTATOIRE.
sur une lame inclinée par rapport à Taxe. 1! n'en résultera aucune
erreur sensible et le calcul sera simplifié, parce qu'il suffira de tenir
compte de la différence de marche
produite par le passage à travers la
lame.
Soient (fig. 36) PP'. SS' et H' les traces, sur un plan perpendiculaire au rayon incident, du plan primitif de polarisation, de la section principale de l'analyseur et de Pig-s*) la section principale de la Inme de
quartz; désignons par t et », comme dans la théorie de la polarisation chromatique, les anj^es formés par ces sections principales avec le plan primitif de polarisation.
Représentons par sin a» ^ l'un des mouvement vibratoires dont la superposition constitue ta lumière blanche , ce qui revient à prendre pour unité, abstraction faite de la réflexion qui s'exerce à la première face de la lame de quartz, l'amplitude de ce mouvement vibratoire qui est dirigé suivant OM perpendiculairement A PP', et posons pour abréjjer
Le rayon, en pénétrant dans le quartz, se décompose en deux rayons elliptiques de sens contraires. Si nous supposons le quartz dextrogyre, le rayon ordinaire est polarisé degnuche à droite et le rayon extraordinaire de droite à gauche.
En représentant par € et f ' les composantes du mouvement parallèles à II'. par >f et n' les composantes perpendiculaires à II', et en désignant par k une quantité comprise entre zéro et l'unité et dépendant del'angic que fait le rayon incident avec l'axe, on aura, en tenant compte de ce que les deux ellipses do vibration doivent ^tre semblables et avoir leurs axes perpendiculaires à l'entrée du cristal pour le mouvement vibratoire du rayon ordinaire,
i\ ( ff = msin{^+/i),
I $■=— micos{^+^V
et pour le mouvement vibratoire du rayon extraordinaire,
l v'=nsin((p+f),
^'^ I $'=f cos(<p+.).
Ces quatre mouvements devant reproduire le mouvement du rayon incident égal à sin <p et dirige suivant OM , la somme de leurs projections sur OM doit être égale à sin (p et la somme de leurs projec-' tiens sur OP doit être nulle. Ces deux conditions donnent les équations
I(>; + >;')cost— (Ç4-Dsinî=sin0, ();+v')sint+(l+r)co8» = o.
Ces deux équations doivent être satisfaites quel que soit le temps , c'est-à-dire quel que soit (p. On aura donc quatre équations de condition en remplaçant dans les équations (3) les quantités 0, 5\ Vy V par leurs valeurs tirées des équations (i) et (s), et en égalant à zéro dans chacune d'elles les coefficients de sin <p et de cos (p, ce qui donne
(mco8f£-Hncosi')cost— ImksiniÀ — r^ini') sint= i, (msin/x-f-nsin»)cost-f- (nikcos(À — rcos») sint = o, {mcosf£-f-ncosv)sint+ (mk sin (x — r sin vj cosî=o, (iiisinf£+nsiny)sint-f- 1 mk cos (i — rcosvj cost=o.
De ces quatre équations on tire d'abord
tiicos/x-f-HCosv=cosi, mÀ: cos ^—T cos 1^=0,
m sin ^-|-n sin 1^=0, twAsina — Tsiny= — sint,
et enfin
cos I . k sin i
m cos fi=-Y^rj^' wism|5£ = — ^^^jTj^,.
i* cos i . k sin i
En substituant ces valeurs dans les équations (i) et (q) on a, pour les composantes des vibrations elliptiques,
V == Li (cos i sin (p — A sin t cos (p) ,
k 1= — Ti(costcos(p+/fsintsin(p),
tf' = j* (A? cos t sin (p + A sin t cos (p) ,
|' = — -p(/;costcos(p— sintsin(p).
Les deux rayons elliptiques traversent la lame de quartz avec des vitesses inégales, et, si l'on désigne par G et D des épaisseurs d'air telles, que la lumière emploie à les traverser des temps respectivement égaux à ceux que mettent les rayons polarisés de droite à gauche et de gauche à droite pour se transmettre à travers la lame de quartz, il faudra à la sortie du cristal remplacer (p dans l'expression des composantes du rayon ordinaire par ^^ff"""!")' ^^
dans celle des composantes du rayon extraordinaire par ^^r f y^— j J • Si l'on pose pour abréger
27r-r=y, a7rT- = d,
il suffira de remplacer (p par (p—y pour le rayon extraordinaire et par (p — ^ pour le rayon ordinaire.
Le mouvement vibratoire du rayon ordinaire dans l'analyseur est représenté par
{v + rt') cos(i-»)~{|+|')sin(t-«),
en ayant soin de substituer, dans les valeurs de Ç et de i;, (p — <î à (p, et, dans celles de Ç' et de >;', (p — y à (p. On obtient ainsi pour ce mouvement vibratoire l'expression suivante :
-— Ti|[cost sin((p — <î) — i sint cos((p — ^) + À? cost sin((p— y)
+ /; sint cos{(p — y)] cos(i— «) + [/;cosicos(9—^) + ^^sint sin(9— ^) — A'cosî cos(9— y)
+sinî sîn(9— y)] sin(t— »){•
La plaque étant dextrogyre , on peut poser
En faisant cette substitution dans l'expression précédente et en prenant la somme des carrés des coefficients de cos {(p—y) et de sin ((p — y), on a l'intensité cw* de l'image ordinaire dans l'analyseur : il vient ainsi
(i+A-*^)^ûj^ = |cos(î— ») [cosîCOs(y— ^)+/;sintsin(y— <î)+/?cost]
+ sin (t — s) [— k cos t sin (y — <î) + ^ sin t cos (y — ^) 4- sin t] | + 1 cos (t — ») [cos i sin {y— S) — A sin i cos(y — <î) + k sin t] + sin(t— «)[/ccost cos(y— ^) + /f^sinisin {y— S) —k C08t]|
En ordonnant par rapport à cos(y— ^) et à sin(y— ^), on a
( i+A2)2(y^ = |[cost cos(t— «) + A^sint sin(t— «)] cos (y—S)
+ ksm8 sin (y— ^) + A^cost cos(î— »)H-sini sin («—«)[ + j— A sin » cos (y — <^) + [cos t cos (i—s)
+ A^sint «in («—«)] sin {y— S) + A sin »
d'où, en développant,
(i +k^Y cû^= [cosicos(t— «)+/c^sinisin(t — «) 1^4-9 A^sin^«
+ [A^cosi cos (« — «) + sini sin(t— «)1^
+ 9 [cos t cos (t— «) + k^ sin t sin («—«)]
X [A^cost cos (« — «) + sini sin (t—«)] — A^sin^«
X cos(y--<î)+ 3 A(iH-A2) sin« cos« sin (y — ^).
En remplaçant a cos (y — ^) par 9 — 4 sin^^^ — » la somme des termes indépendants de y— ^ se réduit à ( i +A^)2 cos^*, et il vient
( 1 + A2)2û;2 ( 1 + A^)2 cos2 « + â A( 1 +A2) sin« cos« sin {yS)
— 4. [cosicos(i — 5) + A^ sintsin (t— «)]
X [A^ cos i cos {i—s) + sin i sin (*—«)]
^A^sin^«|sin^21lL..
En développant le troisième terme du second membre et en divisant les deux membres par (i 4- A:^)S il vient, toutes réductions faites,
0? = cos^ s H — — ^ sîn 9 8 sîn (y — ^)
{n) ' — , rr; coi^fi s s\n^- —
~ (i^kf ^5'" 9 i sin 9 (i - s) sin^ ^ .
La formule se simplifie en remplaçant les deux premiers termes du second membre par
cos*« ( cos^^^ hsm^ - — ) H -rs sm« cos» sin
y— S . . qy—S\ . ^k . . y-S y — S
ce qui donne après réduction
9 / y — ^ , afe . . y — ^\2
ùT = ( cos« cos^^ — m sin«sm^ )
+ ( t>)^ [cos^ « — sin 9 1 sin 9 (t — «)] sin^
Enfin, en remarquant que Ton a
cos^«— sîn 9 1 sin 9(t-— «)e=cos*« — [cos9«— cos(4t — 9«)]
= ^[i+cos(4î— 9»)]
il vient définitivement
12 ( y~^i 2* • • z-i\2 or = cos» cos *- — —n sm« sm ^--— 1 + VTTPJ cos2(at-«)sin2^-
On peut soumettre cette formule à deux vérifications en cherchant ce qu'elle devient dans les deux cas extrêmes où Ton a Âr=o ou
LUMIÈRE CONVERGENTE. 2â5
k= 1 . Lorsque k est nul, on doit retrouver la formule qui convient aux cristaux dépourvus de pouvoir rotatoire; il vient en effet dans ce cas
ûi-= cos^^cos
= cos^ s
2 Z ^ cos^ ( a i — «) sin^ 2L-^
+ [cos^ ( 9 1 — «) — cos^«] sin- ^-^ —
= cos-» — sin 2t sm â (»— «) sin^'
= cos^« — sin atsin a (î— «)sin^7r > .
Si Ton fait /r= i, on doit obtenir la formule qui représente la propriété rotatoire du quartz dans la direction de son axe : la formule générale se réduit effectivement, dans cette hypothèse, à
ûj?= f cos» cos^^ h sin a sin 2- — j^^cos^T^ — ?^^^ U
expression qui est maximum lorsqu'on a
ce qui indique que le rayon, au sortir de la lame de quartz, est polarisé rectilignemcnt dans un plan faisant à droite du plan primitif
1 / 1 X y— S y G-D un angle égal a ou a ?r — v —
La formule (5) montre que généralement il n'y a pas de lignes incolores, car, s étant quelconque, il n'existe aucune relation entre les angles i et s qui rende l'expression de l'intensité indépendante de y—Sj c'est-à-dire de la longueur d'ondulation.
Quant aux lignes isochromatiques, elles sont d'une forme plus complexe que dans le cas des cristaux dépourvus de pouvoir rotatoire. Pour en déterminer rigoureusement la forme, il faudrait connaître la manière dont k varie avec l'incidence , c'est-à-dire savoir comment se fait la transition entre la forme circulaire et la forme rectiligne des vibrations quand on passe d'une direction parallèle à Taxe à une direction perpendiculaire. On peut cependant, comme
nous allons le voir, déterminer approximativement la forme de ces courbes sans posséder cette donnée.
261. SectiOB principale de raiiAlxeeur parallèle an perpendiculaire au plan primitif de polarisation* — Ab- (ienee de erbix au centre de rimase. — Anneaux circulaire». — Le cas le plus simple est évidemment celui où la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation. Si Ton suppose s égal à zéro, c'est-à-dire (a section principale de l'analyseur parallèle au plan primitif, la formule (à) se réduit hr
et par suite on a pour l'intensité de l'image extraordinaire
= [(TtW'+ (ttI)' ''''' ^ '■] «•°'
Si s est égal à - « les deux images échangent leurs intensités.
Nous allons considérer en premier lieu l'image extraordinaire dans le cas où s est égal à zéro. Rien , dans l'expression de l'intensité de cette image, n'indique l'existence de lignes incolores, car pour aucune valeur de % elle ne devient indépendante de la longueur d'ondulation. Mais, si l'on suppose/: très-petit, c'est-à-dire si l'on considère les phénomènes à une certaine distance de Taxe qui n'est pas nécessairement^ considérable, d'après ce que nous avons dit sur la manière dont se fait le décroissement de /: à partir de l'axe, il pourra apparaître des lignes incolores. Dans ce cas, en effet, on a approximativement
e^ = sin^ 9 1 sin^ - — i
expression qui s'annule, quelle que soit la longueur d^ondulation , lorsque l'angle t est égal à zéro ou à 90 degrés* Il suit de là que dans l'image extraordinaire, lorsque la section principale de l'analyseur est parallèle au plan primitif, on aura à une certaine dis-
tance u centre une croix obscure dont les branches seront Tune parallèle » l'autre perpendiculaire au plan primitif; mais les branches de cette croix ne se prolongeront pas jusqu'au centre, et de plus elle ne sera pas complètement noire, parce que k ne peut pas être supposé entièrement nul pour une direction inclinée sur l'axe; ces deux caractères distinguent cette croix de celle que donnent les cristaux à un axe dépourvus de pouvoir rotatoire. Quant au centre de l'image, il ne pourra jamais être complètement obscur dans la lumière
blanche, parce que la quantité sin*^^ ne peut pas s'annuler simultanément pour toutes les couleurs. On aura donc, au centre de l'image, une plage colorée dont la teinte dépendra de l'épaisseur de la lame, et la croix ne sera visible qu'en dehors des limites de cette plage.
U est évident que l'image ordinaire présentera des apparences complémentaires et par suite une croix à peu près blanche. Lorsque la section principale de l'analyseur est perpendiculaire au plan primitif, les phénomènes sont renversés : la croix est blanche dans l'image extraordinaire et obscure dans l'image ordinaire.
Quant aux lignes isochromatiqués , les valeurs trouvées pour les intensités des deux images, lorsque la section principale est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, montrent qu'elles sont dans ce cas de forme circulaire. On aura donc dans la lumière homogène, à partir d'une certaine distance du centre, des anneaux alternativement brillants et obscurs, et dans la lumière blanche des anneaux colorés. Les maxima correspondant à une couleur déterminée sont donnés par la condition
et les minima par la condition
N étant un nombre entier quelconque, si l'on considère l'image extraordinaire dans le cas où s est égal à zéro. Mais , comme on a
248 POLARISATION HOTATOIRE.
ces conditions se réduisent à
et à
Si le cristal ne possédait pas le pouvoir rotatoire, la différence de marche serait donnée, comme nous l'avons vu dans la théorie de la polarisation chromatique (217), par l'expression
J^+y^ étant le carré du rayon de la ligne isochromatique et (/la distance focale principale de la lentille qui fait converger les rayons. L'hypothèse de M. Airy consiste à ajouter à cette différence de marche une quantité indépendante de la direction du rayon incident, proportionnelle à l'épaisseur de la lame et en raison inverse de la longueur d'ondulation; si l'on désigne par H une constante, on pourra donc écrire
et, suivant que cette quantité sera égale à un nombre impair ou pair de demi-longueurs d'ondulation, la ligne isochromatique correspondra ù un maximum ou à un minimum. Il résulte de là une loi simple pour les diamètres des anneaux brillants et obscurs correspondant à une même couleur: les différences entre les carrés de ces diamètres sont constantes.
En résumé on voit que, lorsque la section principale de l'analyseur est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif, chaque image se compose d'une plage centrale colorée et d'une série d'anneaux circulaires colorés qui sont cou[)és par une croix obscure ou blan- 'châtre : les branches de cette croix ne s'étendent pas jusqu'au centre et sont l'une parallèle, l'autre perpendiculaire au plan primitif, et chaque anneau conserve la même teinte sur tout son contour.
LUMIÈRE CONVERGENTE. ih9
â62. titigtton principale de VmwÈmljm^maf dtoiui ime posl- Umm 4pele»iiqiie« — C««rbeti i|iift#n»tli|HMi et tache eeiiin^le en croix. — Si la section principale de l'analyseur fait avec le plan primitif un angle quelconque, la formule (5) ne se simplifie pas; il n'y a plus alors de lignes incolores» et les courbes isochromatiques sont beaucoup plus compliquées que dans le cas que nous . venons d'examiner* On peut néanmoins se faire une idée de la forme de ces courbes, par les considérations suivantes.
Posons
d'oii
at . (i4-fc*)tanff>|/
v/4A'-4-(i + A:*rtang*4/ v/^ftV (n- fe*)* tang*4/
En substituant ces valeurs dans l'équation (.5), il vient
"^lïTFJ cos^{at-*)s»'^ a ' d'où
(y2 = [cos^ s + (7:^7^ sin^ 5] cos^ {^^ x|/j
+ (T^)'cos2(2i-«)sin2 2:f-,
et enfin
û>2 = cos^ » 4- , |.^t sin^ « X
+ (TTl?-)'cos2(3i-«)x
Si l'on suppose que les différents points d'une même courbe isochromatique ne sont pas à des distances très-différentes du centre, on pourra regarder k comme sensiblement constant sur cette courbe , et il suffira, pour avoir l'équation approchée des courbes isochromatiques, de prendre la dérivée par rapport à y — ^ du second
Ver0bt, VI. — Optique , IL 17
membre de Téquation précédente , en y regardant k comme constant. On obtient ainsi pour les courbes isochromatiques Téquation
/a\ i^^ ( ^ \\ t • (n-fe*)*cos**4-4fc*sin**-h(i-fc')*cos*(ai-i)
ce qui montre que tang [y -^S—^) est toujours plus grand que tang4^. Si la différence de ces deux tangentes était constante, y—i conserverait la même valeur quel que soit l'angie i, et les courbes isochromatiques seraient circulaires. Mais l'équation (6) montre que cette différence varie avec Tangie t; il faut en conclure que les différents points de la courbe isochromatique sont à des distances inégales du centre ; les plus éloignés sont ceux qui correspondent aux valeurs de i pour lesquelles la différence entre tang (y— ^— "^j el tang^' est maximum, et les plus rapprochés ceux qui correspondent aux valeurs de t pour lesquelles cette différence est minimum. Or l'équation (6) montre que la différence est maximum lorsqu'on a
ou
at — ««s 0
c'est-à-dire
ou
et minimum lorsqu'on a
ou
d'oîi
ou
TT
ai-
LUMIÈRE CONVERGENTE. 25i
Pour obtenir la forme des courbes isochromatiques , il faudra donc décrire un cercle de rayon OR {fig. 3"7 ) et ajouter aux rayons de ce cercle une quantité variable qui sera maximum suivant les droites AB et CD, c'est-i-dire suivant les bissectrices des an^es formés par la direction du plan primitif et de la section principale de Tanalyseur, et minimum suivant les droites EF et GH, qui font des angles de A 5 degrés avec les précédentes. On obtient ainsi une sorte de carré h angles émouïsés, que l'on désigne '* '' sous le nom de courbe quadratique.
C'est là, en effet, la forme que présentent les couri)es isochromatiques, du moins à une distance sensible du centre.
Si l'on suppose, comme dans la figure, le plan primitif de polarisation horizoDtal et la section principale de l'analyseur faisant, -t droite de ce plan, un angle s compris entre léro et 90 degrés, on voit que l'angle le plus élevé de la courbe quadratique se trouve ^ droite de la verticale et ;\ une distance angulaire de cette verticale inférieure à 45 degrés. Si l'angle s est compris entre 90 degrés et 1 8u degrés, cet angle étant toujours supposé compté vers la droite, l'angle 4' ^^t aussi compris entre go degrés et 180 degrés, et, en désignant par ^' un angle plus petit que 90 degrés, on peut poser
le second membre de l'équation (fi) est alors négatif et représente par conséquent, la tangente d'un an^e plus grand que 90 degrés en désignant cet angjepar 90"+^", on a
tang(7— ^-4') = tang(90*-|-4''').
et par suite
L'angle >f/' est une constante et l'angle ^t" diminue quand le facteur de lang ^ dans le second membre de Inéquation (6) augmenté; la différence entre y — ^ et 4^ sera donc d'autant plus grande que ce fadeur sera plus petit, d'où il résulte que les maxima seront donnés par les mêmes conditions que dans le cas précédent et que le phénomène n'aura pas changé d'aspect. L'angle le plus élevé de la courbe quadratique se trouvera encore à droite de l'observateur. On voit que, si l'on place la section principale de l'analyseur perpendiculairement au plan primitif, de manière à obtenir des courbes isochromatiques circulaires, et si l'on fait tourner ensuite cette section principale vers la droite ou vers la gauche d'un angle plus petit que 45 degrés, l'angle le plus élevé de la courbe quadratique se trouvera à la droite de l'observateur. Nous avons supposé, dans ce qui précède, la lame de quartz dextrogyre; si cette lame était lévogyre, l'angle le plus élevé de la courbe quadratique se trouverait, au contraire, à gauche, dans les conditions que nous venons d'indiquer.
Cherchons maintenant à déterminer la forme de la tache centrale. Pour avoir l'intensité de la lumière au centre de l'image ordinaire, il faut, dans la formule (5), faire &= i , ce qui donne
Cy2 ^ j.Qs2 (^ __. / j ,
OU, en désignant par p l'angle - — , qui est égal à la rotation
qu'éprouve le plan de polarisation des rayons qui traversent la lame parallèlement à l'axe,
cy^ = cos^(« — p); celte expression est nulle pour la couleur considérée, lorsqu'on a
Pour voir la manière dont varie l'intensité sur un cercle ayant pour centre le centre du phénomène , il faut avoir recours à la formule (5). Comme sur ce cercle les quantités A et y — ^ restent constantes, on voit que l'intensité sera minimum lorsqu'on aura
cos(at — «) = o,
cW-à-dire
OU
s , Stt a a
Il résuite de là que, lorsque, pour une couleur déterminée, la tache centrale est obscure, Tobscurité se prolonge sur les lignes EF et GH, c'est-à-dire sur les bissectrices des diagonales des courbes quadratiques : la tache centrale forme donc alors une sorte de croix, dont les branches sont dirigées suivant ces bissectrices. Lorsqu'on opère avec la lumière blanche, si le centre de l'image ordinaire correspond à l'intensité minimum de la lumière jaune, la croix centrale présente la teinte sensible. Pour un cristal dextrogyre, cette teinte sensible de la croix centrale dans l'image ordinaire correspond à une valeur de s égale à 90**+ p, c'est-à-dire à une rotation vers la gauche de 90*— p, à partir de la position où la section principale de l'ana* lyseur est parallèle au plan primitif. Donc, si on opère avec une lame suffisamment mince, on verra la tache centrale présenter la teinte de passage en faisant tourner la section principale de l'analyseur vers la gauche d'un angle plus petit que 90 degrés, à partir de la position où elle est parallèle au plan primitif. Si, au contraire, le cristal est lévogyre, il faut faire tourner l'analyseur vers la droite pour trouver la teinte de passage. De là un moyen simple de distinguer les cristaux dextrogyres et lévogyres.
B. LOHIÈBB CONVERGENTE POLARISEE CIBCULAIREMENT.
