Principes femlaiiieiitaum admis par Fresnel

Les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière polarisée ont été exposées par Fresnel pour la première fois en i8ai ^^\ puis plus complètement en i8â3 ^^K Cette théorie n'est applicable qu'aux milieux isotropes ou uniréfringents. Elle s'appuie sur quatre principes que nous allons faire connaître successivement ; les deux premiers sont incontestables , les deux derniers ont un caractère un peu hypothétique.

1 " Principe des forces vives. — Fresnel adn^et le principe des forces vives sous la forme que lui a donnée Young. Il suppose un

(') Arm. de cKim. et de phyê., (a), XVII , 1 90, 3i a. — Œuvreë compUtei, 1. 1 , p. 6&0. W Mém. de l'Acad. de$ te., XI, SgS. — Ann. de chim. et de phye., (a), XLVI, as? 5. — Œvvrea wmpUîee, t I, p. 767.

étber parfaitement élastique, dont les molécules après les vibrations sont ramenées au repos en cédant aux molécules suivantes tout le mouvement qu'elles ont reçu, d'où il résulte que toute la force vive du rayon incident doit se retrouver dans le rayon réfléchi et dans le rayon réfracté. En réalité ce principe n'est pas absolument vrai, car en l'établissant on néglige la présence de la matière pondérable qui retient une partie de la force vive. Cette absorption de la lumière produit dans la matière pondérable des changements permanents, tels que ceux qui se révèlent à nous sous la forme de la chaleur. Nous en ferons abstraction dans la théorie que nous allons exposer, c'est-à-dire que nous imaginerons un éther fictif, parfaitement élastique , dégagé de toute matière pondérable. Aussi verronsnous que les résultats de cette théorie s'accordent parfaitement avec l'expérience quand les milieux sont transparents; approximativement seulement quand la transparence n'est pas complète, et qu'enfin, pour les milieux qui absorbent fortement la lumière, l'expérience s'écarte complètement de la théorie.

ù^ Principe de continuité. — Le second principe est celui de con* tinuité, aussi évident que le premier. Voici en quoi il consiste : si on fait deux sections infiniment rapprochées de la surface de séparation des deux milieux, l'une dans le premier, l'autre dans le second milieu , les vitesses et les déplacements des molécules prises sur les deux sections et dont les distances sont infiniment petites ne diffèrent elles-mêmes que de quantités infiniment petites. Ces différences ne peuvent pas être nulles; car si, à un instant quelconque, les molécules infiniment voisines avaient même mouvement, le mouvement communiqué à l'une d'elles pendant cet instant ne se transmettrait pas aux autres, et la propagation du mouvement s'arrêterait. Les différences de vitesses et de déplacements ne peuvent pas non plus être du même ordre de grandeur que les déplacements et les vitesses , car alors il se développerait des forces élastiques infiniment grandes par rapport à celles qui mettent réellement les molécules en mouvement , et ces forces résistantes ramèneraient dans un temps infiniment court les différences à n'être plus qu'infiniment petites. Enfin, si les différences sont infiniment petites, les forces élastiques sont de même ordre que celles qui font mouvoir les mo-

lécuies et ramènent ces molécules dans leur position d*ëquilibre. C'est ce qui a lieu non-seulement pour les molécules infiniment voisines d'un même milieu, mais encore pour les molécules de deux milieux différents et contigus , lorsqu'elles sont k des distances infi-*niment petites. Ce principe est soumis aux mêmes restrictions que le premier.

3^ Hypothèse des changements brusques à la surface de séparation. — Le troisième principe ne se trouve qu'implicitement dans Fresnel; il admet que le changement de vitesse et de déplacement s'opère brusquement à la surface de séparation des deux milieux. L'expérience paraît au premier abord vérifier cette hypothèse, car, si près qu'on les prenne de la surface de séparation , le rayon réfléchi et le rayon réfracté possèdent les mêmes propriétés qu'à une grande distance de cette surface. Mais il faut dire que les distances de la surface de séparation auxquelles on peut expérimenter sur les rayons, même lorsqu'elles sont autant réduites que possible, sont toujours encore très-grandes par rapport à la longueur d'ondulation; or celle-ci est du même ordre de grandeur que la distance dans les limites de laquelle peuvent s'opérer les changements, s'ils se font graduellement. On ne commettra donc qu'une très-faible erreur en admettant que ces changements ont lieu brusquement à la surface de séparation.

h^ Hypothèse sur la constitution de Véther, — Fresnel admet comme quatrième principe que la difiiérence des vitesses de propagation de la lumière dans les difiiérents milieux isotropes tient uniquement à la différence des densités de l'élhcr dans ces milieux , tandis que l'élasticité de cet éther est la même dans tous les milieux isotropes. Ce principe est une simple hypothèse tant qu'on ne fait pas intervenir des considérations étrangères è l'ordre de questions dont nous nous occupons actuellement.

Il en résulte, comme nous l'avons vu plus haut, que les vitesses de propagation dans les différents milieux sont en raison inverse des racines carrées des densités de Féther dans ces milieux, et cette relation nous permettra d'établir l'équation des forces vives en déterminant les masses qui entrent dans celte équation.

Les phénomènes de la polarisation rectiligne montrent simplement

que les vibrations sont symétriques par rapport à ce qu'on est convenu d'appeler le plan de polarisation ; mais ils n'indiquent nullement si les vibrations d'un rayon polarisé rectilignement ont lieu parallèlement ou perpendiculairement à ce plan de polarisation. Fresnel, pour trouver des lois de la réflexion et de la réfraction conformes à l'expérience, a été obligé de supposer les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation. Ainsi l'hypothèse de la constance de l'élasticité de l'éther entraîne celle de la perpendicularité des vibrations au plan de polarisation , et ces deux hypothèses n'en font en réalité qu'une.

Nous commencerons par étudier la réflexion et la réfraction de la lumière polarisée rectilignement, et nous traiterons en premier lieu les deux cas les plus simples, celui où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence et celui oii elle est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.

312. RéflemtoM de la lumière polarisée dan» le ptmm d'ineidenee. — Lorsque la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, les vibrations des rayons incidents sont perpendiculaires à ce plan ; tout est alors symétrique par rapport à ce plan, et par conséquent les vibrations des rayons réfléchis et réfractés doivent lui être perpendiculaires. Donc, lorsque les rayons incidents sont polarisés dans le plan d'incidence, les rayons réfléchis et les rayons réfractés sont polarisés dans le même plan.

Il reste à déterminer l'intensité de la lumière réfléchie. Le principe de la continuité du mouvement va nous fournir une première équation. Prenons pour unité l'amplitude du rayon incident; le mouvement vibratoire sur le rayon incident sera représenté par

sin QTT rf au temps t, T étant la durée d'une vibration; il s'agit, bien

entendu, d'un mouvement simple, c'est-à-dire d'un rayon d'une couleur déterminée. Prenons dans le second milieu une molécule infiniment voisine de la surface de séparation : le mouvement de cette molécule, d'après le principe de continuité, aura même phase et même période que celui d'une molécule prise dans le premier milieu, mais l'amplitude sera différente. Si nous représentons cette

amplitude par u et si nous remarquons que, d'après le troisième principe posé par Fresnel , Famplitude u doit conserver une valeur constante dans le second milieu, nous verrons que sur le rayon ré*

fracté le mouvement vibratoire est représenté par usins^r^* De

même, en désignant par v l'amplitude du mouvement réfléchi dans le premier milieu , le mouvement vibratoire sur le rayon réfléchi est

représenté par v sin qtt ^ • La résultante du mouvement incident et du mouvement réfléchi est (i +v) sin ùitt^^ puisque ces mouvements

sont rectilignes et parallèles; et, d'après le principe de continuité, cette résultante doit être égale au mouvement vibratoire du rayon réfracté : on a donc

(t +t?)sin 27r^ = ttsin qtts;»

d'où

Le principe des forces vives va nous fournir une seconde équation qui, avec la première, servira à déterminer les amplitudes v et u. A cet efi'et , cherchons n quelle portion de l'éther se transmet dans

le mouvement réfléchi et dans le mouvement réfracté la force vive d'une portion déterminée deTéther animée du mouvement incident. Fresnel considère à cet effet un prisme rectangulaire d'éther ayant pour dimensions dans la direction du rayon incident une longueur MN (fig. 56) égale à X, dans le plan d'incidence une largeur ^quel- Fif;. 5G. conque MK que nous désignerons par d, et

dans le sens perpendiculaire à ce plan une hauteur quelconque que nous nommerons h. Le volume du prisme est donc Xdh. Si nous représentons par sin qtt j le mouvement vibratoire du point M au

temps t, le mouvement vibratoire d'une section faite dans le prisme perpendiculairement au rayon incident et à une distance x du point

M sera représenté à la même époque par sin ùir Ij — j-U et la force

vive de la tranche infiniment petite d'épaisseur dx correspondant à cette section aura pour expression , si Ton prend pour unité la densité de i'éther dans le milieu incident,

hddx sin^ an L^ — >•]

Pour avoir la force vive de tout le prisme il suffit d'intégrer, par rapport à x, depuis zéro jusqu'à X, ce qui donne

lid I sin^ ^^ (f "" X ) ^^'

Cherchons maintenant la force vive du mouvement réfléchi. Pendant que le mouvement de la molécule N vient en N', celui de la molécule M se transmet en un point M' tel que l'on ait