COSI
— sm 2r-j sm ai
yicosr
sin*(iH-r) et, en remplaçant n par sa valeur,
ou
et enfin
— sm ar sm i cos r + cos i sin r sm ai
sinicosrsin*
a sini(cos*i-
- cos* r)
sini . , -; — cos r sin' sm r
asini (cos*i —
cos'r)
ficosrsin*(i + r)
Cette expression est toujours négative; v décroît donc quand t augmente, et, comme v est négatif, sa valeur absolue augmente avec l'incidence. Donc, quand la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence, l'intensité du rayon réfléchi augmente avec l'incidence. Sous l'incidence rasante, t » 90 degrés et l'on a t?»» t ; dans ce cas, le rayon réfléchi a même intensité que le rayon incident.
Tous les résultats précédents s'appliquent au cas où le second milieu est moins réfringent que le premier, seulement le signe de v est positif. De plus, n étant alors plus petit que l'unité, il arrive un moment oii sin % devient égal à n. Si l'on dépasse cette limite, on a sin r ^ 1 , et l'angle r devient imaginaire. L'expression de v, qui contient cet angle, est donc aussi imaginaire et a besoin d*étre in-
terprétée, comme nous le ferons plus loin. Ainsi le cas de la réflexion totale se trouve écarté de la discussion précédente.
313. liélleiKloBi de la lumière polarisée perpendieiilalrement au plan d'Ineidenee. — Lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, ses vibrations sont dans ce plan d'incidence , et» comme il n'y a pas de raison pour qu'elles en sortent , il doit en être de même des vibrations des rayons réfléchis et réfractés. Donc » quand les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, les rayons réfléchis et réfractés sont aussi polarisés perpendiculairement à ce plan.
Pour déterminer l'intensité de la lumière réfléchie, il faut suivre la même marche que dans le cas précédent. Le principe des forces vives, en désignant par u' et v' les amplitudes du rayon réfracté et du rayon réfléchi, conduit encore à l'équation
( t — »'*) sinr cos t = ti'^ sintcos r.
Mais les vibrations des trois rayons, incident, réfléchi et réfracté, bien qu'étant contenues toutes trois dans le plan d'incidence, ne sont plus parallèles comme dans le cas précédent. Il faut donc deux équations pour appliquer le principe de continuité. On peut, par exemple, prendre dans le plan d'incidence deux axes, l'un parallèle à la surface de séparation, l'autre perpendiculaire, décomposer les vibrations suivant ces axes et écrire les équations qui résultent pour chaque axe du principe de continuité. On a ainsi deux équations incompatibles, et l'une d'elles doit être écartée. Fresnel a supposé qu'il suffisait d'appliquer le principe de continuité aux composantes des mouvements vibratoires parallèles à la surface de séparation. Cette hypothèse s'appuie sur la transversalité des vibrations lumi« tieuses » d'oii il résulte qu4l peut se produire , dans le sens longitu^ dinal , une discontinuité quelconque , sans que les ondes cessent de se transmettrei G^est Tinverse de ce qui se produit pour le son. Pour la transmission d*un son d^un milieu dans un autre, de l'air dans l*eau par exemple, il importe peu que les molécules d'air glissent ou non sur la surface de l^eau; il suffît, pour que le son passe dans l'eau.
qu'il se produise su^ la surface de l'eau une pression normale régulière et continue; le principe de continuité n'est nécessaire que pour la composante verticale de la vitesse. Dans l'éther, c'est l'inverse , et il doit suffire , pour la transmission de la lumière, que les vibrations aient lieu d'une manière continue parallèlement à la surface de séparation.
£n appliquant le principe de continuité aux composantes parallèles à la surface de séparation des trois rayons, incident, réfléchi et réfracté, on a immédiatement l'équation
(i — »') cos t = u' C08 r.
t/ devra être pris positivement ou négativement, suivant que sa composante parallèle à la surface de séparation tombera du côté opposé à la composante de la vitesse du rayon incident, ou du même côté, ce qui aura lieu suivant que la vitesse du rayon réfléchi et celle du rayon incident coïncideront ou seront dans le prolongement l'une de l'autre lorsqu'on fera tourner le rayon réfléchi de manière à l'amener sur le prolongement du rayon incident.
Nous avons donc, pour déterminer t/ et u\ les deux équations,
(i — v'^) sin r cos t =■ v!^ sin t cos r, (i — v') cos t = tt' cos r.
En remplaçant v! dans la première équation par sa valeur, tirée de la seconde , il vient
d'oî
ou
et enfin
(i + v') cos r sin r «= (i — t;') cos t sin t ,
, sin i cos i — sin r cos r sin at — sin ar
sin i cos i ■¥ sin r cos r sin a i + sin ar
^/^tang(i-r) tang(i + r)
L'intensité R' du rayon réfléchi a donc pour expression, quand la lumière est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence «
Tn tang'(i-r) " ■"tang'li-i-r)*
Supposons le second milieu plus réfringent que le premier et considérons d'abord le cas de l'incidence normale, cest-è-dire fai-
sons t = 0. On aura encore lira y' = lim -:- — = • Dans ce cas
i-4-r in- 1
particulier t;' a la même valeur que la vitesse t; qui correspond à ia lumière polarisée dans le plan d'incidence. Gela se conçoit facilement, car, lorsque l'incidence est normale, le plan d'incidence n'a plus de direction déterminée, et tout plan normal à ia surface peut être regardé comme plan d'incidence. Si les signes des valeurs de v et de V sont différents , cela tient purement à une convention différente, et il est facile de vérifier que, dans un cas comme dans l'autre, la vitesse du rayon réfléchi est de signe contraire à celle du rayon incident.
A mesure que l'^gle d'incidence t augmente, la vitesse v' diminue, comme on peut le prouver en prenant la dérivée de v\ qui est toujours négative. C'est du moins ce qui a lieu, jusqu'à ce que l'on ait t -h r = 9 0 degrés ; la direction du rayon incident est alors donnée par la formule tang t = ii^ et le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté. Mais, si l'on fait t + ^=90 degrés, la vitesse »' du rayon réfléchi devient nulle, et ce rayon est complètement éteint. Si l'angle d'incidence augmente au delà de la valeur qui correspond à t+ r= 90 degrés, la vitesse v' change de signe et augmente en valeur absolue. Enfin, sous l'incidence rasante, on a t ^ 90 degrés, et la vitesse v' est égale et de signe contraire à la vitesse du rayon incident. L'angle d'incidence , donné par la formule tang t=:n, et pour lequel le rayon réfléchi s'éteint complètement, est ce qu'on appelle l'angle de polarisation complète.
Si le second milieu est moins réfringent que le premier, la vitesse v' change de signe. Dans ce cas, l'angle r atteint la valeur 90 degrés avant l'incidence rasante, lorsque l'on a sint = n. Si l'angle t dépasse cette valeur, r devient imaginaire ; c'est l'angle de la réflexion totale. Nous laisserons de côté, pour le moment, tout ce qui est relatif à la réflexion totale.
Dans le cas où le second milieu est plus réfringent que le premier, nous avons trouvé que l'angle de polarisation complète était donné par la relation tang t = n. Supposons maintenant que ia lu-
THÉORIE DE FRESNËL. /i09
mière repasse du second milieu dans le premier : on aura de même pour Tangle de polarisation complète .tangt' = n', et, comme
n' = -, on a tangt^ = . » d'oill t + i'^go degrés; mais comme
i + r=90 degrés, on a ï==r. Si donc on fait tomber sur la surface de séparation de deux milieux un rayon sous l'angle de polarisation complète, le rayon réfracté dans le second milieu fera aussi avec cette surface l'angle de polarisation complète relatif au second milieu.
31&. RéfleiKloBi de la lumière polavkiée «Iaba. un plum queleeuiiiie. — Le cas où la lumière incidente est polarisée dans un plan quelconque se déduit immédiatement des deux cas que nous venons d'étudier. Les vibrations du rayon incident peuvent, en effet, se décomposer en deux composantes, l'une située dans le plan d'incidence, l'autre perpendiculaire à ce plan, ou, en d'autres termes, le rayon peut se décomposer en deux autres rayons polarisés, l'un perpendiculairement au plan d'incidence, l'autre dans ce plan d'incidence. Si l'on désigne par a l'angle du plan de polarisation avec le plan d'incidence, et qu'on prenne pour unité Tamplitude du rayon incident , celle du rayon polarisé dans le plan d^ncidence a pour valeur cos a, et celle du rayon polarisé perpendiculairement à ce plan est représentée par sin a. Après la réflexion, les
amplitudes de ces deux rayons sont repr.ésentée8 respectivement,
j, . j . sin (i — r) .
d après ce que nous venons de voir, par — cos a . . : et par
sin a . ^ . — : • Le rapport de ces deux amplitudes étant indépendant du temps, on voit qu'il n'y a qu'un seul rayon réfléchi polarisé rectilignement. L'amplitude de ce rayon est la résultante des amplitudes de ses deux composantes; on a donc
I 9 sin*(i — /•) , TT tang^'fi — r)
V = i /cos' a,. , ■ . — (+ sm'a . , ■ [y
Y sin'(i-i-r) tang*(i-i-r)
et. par conséquent, l'intensité R'^ du rayon réfléchi a pour expression
«» « sin*(i— r) , . o tang*(i— r)
R" == cos'flt -T-rf^ — • + sin'a . ^^ ■ — • sm*(i-Hr) tang*(i-+-r)
Le rayon réfléchi n'est plus polarisé dans le même plan que le
Vbbdet, VI. — Opf!(]ii(», H. a 7*
-rayoji incidcnl. Si l*oii (lési{[nc par jS Taii^rlf» c|<* polarisation du rayon roflérhi avec l<» plan (rinciclencc, on a
lanj? I — /•
sin a : — ^^— .
tangjf-i-r
lang p = — r- . ; 1
COS a -: -:
sin , / 4- /'
on
^ , COS / 4- r
C'csl celle dernière formule que nous avons à discuter. Le rapport de tang^ à tang a dépend de la valeur de la quantité — j. -
Celte quantité est toujours moindre que l'unité: cela est évident tant que i + r est plus pelit que go degrés; mais, si / + r dépasse
go degrés, cos (i4-'') devient négatif, et l'expression reste encore plus petite que l'unité. En effet, l'inégalité
cos I e -h r cos I / - r
cos ; i 4- /• : ^
cos(/ — r)
équivaut à
— cos(i'+r)<C!cos(t— r)
ou à
— cos/cosr+sinf sinr<Ccosi cosr+sinrsinr
-ou eniin à
— !? cos I cos r <d o .
ce qui est évident.
On voit par là que la réflexion a pour effet de rapprocher le plan de polarisation du plan d'incidence. Mais, dans la manière dont se fait ce rapprochement, il y a deux cas à considérer, suivant que l'angle d'incidence est plus petit ou plus grand que l'angle de la polarisation ciMiiplète. Dans le premier cas. on a i-l-r^go degrés, et tang/3 esl de signe contraire à fanga; le plan de polarisation du rayon réfléchi passe donc de l'autre côté du plan d'incidence. Si, au contraire, on a /+''>go degrés, les deux plans de polarisation du ravon réfléchi et du ravon incident sont du même côté du plan d'incidence. Dans le cas intermédiaire oij l'angle / esl celui di'
THÉORIE DE FRESNBL. Mi
la polarisation complète, c est-à-dire où Ton a t + r — 90 degrés, il vient iS=» 0, c'est-à-dire que le plan de polarisation du rayon réfléchi se confond avec le plan d'incidence.
Lorsque, le second milieu étant moins réfringent que le premier, Fangle d'incidence est celui de la réflexion totale, et que, par conséquent, on a r= 90 degrés, ou lorsque, le second milieu étant plus réfringent que le premier, on a t = 90 degrés, il vient
tang/3<=tanga;
dans ces deux cas, le plan de polarisation du rayon n'est donc pas dévié par la réflexion.
Ce qui précède montre la marche du plan de polarisation du rayon réfléchi depuis Tincidence normale jusqu'à l'incidence de la réflexion totale, ou jusqu'à l'incidence rasante. Pour l'incidence normale, on a tang /3 = — - tang a; le plan de polarisation du rayon réfléchi fait donc avec le plan d'incidence et de l'autre côté de ce plan un angle égal à celui que fait le plan de polarisation du rayon incident avec ce même plan d'incidence. A mesure que l'incidence augmente, le plan de polarisation se rapproche du plan d'incidence; il se confond avec lui lorsque l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, et vient se confondre avec le plan de polarisation du rayon incident lorsque l'angle d'incidence est celui de la réflexion totale , dans le cas où le second milieu est moins réfringent que le premier, ou lorsque l'incidence est rasante , dans le cas contraire.
Après une première réflexion, on a, en désignant par a^ l'angle du plan de polarisation du rayon réfléchi avec le plan d'incidence ,
^ . cos (iH-r)
Si Ton fait réfléchir une seconde fois la lumière, en conservant le même plan d'incidence et la même valeur de l'angle d'incidence t , on aura
. , cos(i-f-r) .^ cos*(iH-r)
tangoj «a°g«ico«(i-r) = *«°g''co8'(.-r)'
et, en général, après n réflexions successives, s'opérant toujours
412 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE, dans les mêmes conditioDs, on a
. , . cos"(i>r)
taDg«, = ±fang«^^„^.^^^-
Il faut prendre le signe + si ^^ est pair, le signe — si n est impair. La quantité f :• M tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. Le plan de polarisation du rayon réfléchi tend donc, lorsque le nombre des réflexions augmente, à se confondre avec le plan d'incidence.
315. IléllexioBi de la tamlére polarisée elreulaireiiieMt ou elliptiq[ueiiieiftt. — Un rayon polarisé circulairement ou elliptiquement peut toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux rayons polarisés rectiiignement, l'un dans le plan d'incidence, l'autre dans le plan perpendiculaire, et ayant des phases difi*érentes. Si on applique à chacun de ces rayons polarisés rectiiignement les formules que nous avons trouvées pour les deux cas dont il s'agit, nous aurons les composantes du rayon réfléchi suivant le plan d'incidence et suivant un plan perpendiculaire, et on en déduira facilement la nature et l'intensité du rayon réfléchi. La discussion des formules auxquelles on arrive ainsi sans aucune difficulté ne présente guère d'intérêt , et nous nous bornerons à examiner un seul cas , c'est celui où un rayon polarisé circulairement se réfléchit sous l'incidence normale. Dans ce cas, le rayon réfléchi est encore polarisé circulairement, mais le sens de la polarisation est renversé: le rayon réfléchi est polarisé de gauche à droite si le rayon incident est polarisé de droite à gauche, et réciproquement. En effet, la vibration circulaire du rayon incident peut être considérée comme la résultante de deux vibrations rectilignes s'effectuant, l'une dans le plan d'incidence, l'autre dans le plan perpendiculaire. Après la réflexion , les vitesses de chacun de ces mouvements ont avec les vitesses du mouvement incident un rapport qui ne dépend pas du temps. Les vibrations du rayon réfléchi seront donc encore circulaires; seulement, comme, parmi les deux vitesses des mouvements rectilignes, l'une aura changé de signe dans la réflexion, le sens dans lequel le cercle est parcouru sur le rayon
réfléchi résultant sera également changé. Cette conséquence de ia théorie» déduite par Earnshaw, a été vérifiée expérimentalement par Powellfi).
316. Réllexton de la Ivailére natiirelle. — Nous avons vu précédemment (189) quelle est la constitution de la lumière naturelle. Nous allons ici donner aux conditions que doit remplir un système de vibrations elliptiques pour constituer de la lumière naturelle une forme qui nous sera plus commode pour étudier la réflexion et la réfraction de la lumière naturelle. Ce qui caractérise cette lumière, c'est qu'elle donne, dans un analyseur biréfringent, deux images de même intensité, quelle que soit la position de cet analyseur. Soient a et 6 les axes d'une vibration elliptique n un instant donné, et cj l'angle de l'axe b avec la section principale de l'analyseur. Les équations du mouvement vibratoire rapportées à ces axes seront
è^asinaiTrfy )t = ôcos2w;jj-
Pour avoir le mouvement vibratoire sur les deux rayons dans lesquels se décompose le rayon incident en pénétrant dans le prisme , il faut décomposer le mouvement qui se fait suivant chacun des axes de l'ellipse en deux autres, l'un parallèle et l'autre perpendiculaire à la section principale de l'analyseur, ce qui donne, pour le rayon ordinaire ,
acoscûsinùir j— bsinùfcos^v rf> et pour le rayon extraordinaire ,
a siiiGJ sin 27r np + 6 coscj cos qtt rp •
D'après les règles connues des interférences les intensités de ces deux rayons seront, pour le rayon ordinaire,
(fl cos^û; + i^ sin^<y , '•) PÂi7. iWa^.,(3), XXU,9Q,a6a.
414 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE, et pour le rayon extraordinaire,
a^ sin^ (i)+h^ cos^ cù, ,
Telles sont les valeurs de ces intensités pendant une première période où les quantités a, 6 et o^ restent constantes, c'est-à-dire où les vibrations elliptiques ne changent pas. Pendant une seconde période, a, 6, &; changent de valeur et deviennent a' y h\ û>', et ainsi de suite.
Nous avons vu que chacune de ces périodes, quoique trèscourte, peut comprendre un grand nombre de durées de vibrations. Dans un temps très-court par rapport à nous, il y a un grand nombre de ces périodes, et la sensation produite pendant ce temps, que nous supposerons toujours le même sans le préciser davantage, sera la moyenne des intensités qui correspondent à chaque période.
Pour que les images données par l'analyseur soient de même intensité, il faut donc qu'on ait pour le temps considéré
(i) 2 (rt^cos^w+i'sin^û;) =21 («*sin^û;+ J^cos^û;).
Cette équation doit être satisfaite, non-seulement pour une valeur particulière de &;, mais encore pour toute position de l'analyseur, c'est-à-dire pour toute valeur de ca.
En désignant par 0 un angle quelconque, on doit donc avoir
2 [a2cos2(ûi-e)-t- J2sin2(û,-e)]
= 2 Ksin2(û;-ô)+J2cos2(û,-ô)].
En développant le premier membre il vient
Zu [«^(cosôJCOsÔ4-sinû;sinô)^-f-6^(sinû>cosô — cosûjsinô)*]
ou
cos^fl V (g^cos^fij 4- i^sin^fij) + sin'^O^ (a^sin^ew-hfr^cos^w) + 9sinôcosô2 (a^ — i^)sinûi cosû).
THÉORIE DE FRESXEL. &t5
On trouve de même, pour le second membre,
— 9 sinôcosô^ (fi- - //-)sina» cosû».
En tenant compte de ré(|uation (i) il reste
2^ [d- - - \)') siii <y cos o; =- — y^ ( //- - A -) si n o; eus <&; »
Zu (^/" — A-)sin(y cos^ - o.
Donc, pour c|u un système de vibrations elliptiques donne de la lumière naturelle, les deux conditions suivantes doivent être satisfaites :
Z^ (V^cos-6;4-/;^sin-(y) = \^ (//-sin-4) + /^-cos-ûi»), Z^ ("" " ^" ) ^^^ «y fos {y - - o .
Ceci posé, revenons {\ la réflexion de la lumière naturelle et cherchons d'abord à calculer l'intensité de la lumière réfléchie. Représ(3ntons par i l'intensité de la lumière incidente, par a et 6 les axes de la vibration clliptî(|ue et par ùd l'angle du petit axe avec le plan d'incidence. Le rayon elliptique incident peut se décomposer en <leux rayons polarisés rectilignement, Tun dans le plan d'incidence, Tautre dans un plan perpendiculaire. Le calcul que nous \enonsde faire donne pour les intensités de ces rayons pendant un temps très-court, pris pour unité,
^ (a^cos'-/y + i-sin-fii;) et ^ (rr siu-a)-f //-cos-4>).
Si la lumière est naturelle, d'après ce qui a été dit plus haut, ces deux quantités doivent être égales, et par conséquent l'intensité de
chacun des rayons polarisés rectilignement est égale à - • Les intensités des rayons réfléchis correspondants seront, d'après les for-
Al 6 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISEE.
mules trouvées précddemment,
1 sin* (l'-r) 2sin* U + r)
el
1 tang*(i — r)
a tang* (i-i-r)
On a donc pour l'intensité du rayon résultant, cVst-à-dire du rayon réfléchi ,
P^ 1 sinMj-r) , i tang» (i-r) a sin* ( i -h /' ; a lang* ( / + /)
On arriverait au même résultat en remplaçant le rayon de lumière naturelle par deux rayons égaux en intensité et polarisés à angle droit, l'un dans le plan d'incidence, l'autre dans un plan perpendiculaire. Ce peut être \h un moyen de se rappeler la formule, mais en réalité ces rayons polarisés à angle droit n'existent pas, car il faudrait les supposer indépendants l'un de l'autre, incapables de se combiner pour ne donner qu'un seul mouvement, et de tels rayons n'existent pas.
317. PotorlBation totale ini partielle de la Ivndére naturelle mur la réflexion. — Etudions maintenant les propriétés qu'acquiert la lumière naturelle lorsqu'elle a été réfléchie.
Lorsqu'on at-hr= 90 degrés, la quantité . ^^ . s'annule,
et il ne reste plus que la composante polarisée parallèlement au plan d'incidence; la lumière réfléchie est donc dans ce cas particulier complètement polarisée dans le plan d'incidence.
Dans tous les autres cas, les vibrations sont encore elliptiques après la réflexion, et ces ellipses ont été modifiées d'une manière qui n'est plus la même pour toutes, mais qui agit toujours dans
le même sens. En effet, le rapport de t^p^l-^)!) à ^|" J^|.^ est
— '. ^; , quantité plus petite que l'unité. La composante de l'amplitude parallèle au plan d'incidence a donc été diminuée par la réflexion plus que la composante perpendiculaire à ce pian; ces
THÉORIE DE PRESNEL. .417
deux composantes n'étant plus égales, la lumière réfléchie ne peut être de la lumière naturelle; elle ne peut être que partiellement polarisée.
Pour vérifier qu'il en est bien ainsi, cherchons l'eifet produit sur cette lumière réfléchie par un analyseur biréfringent. Pour plus de simplicité, supposons la section principale de cet analyseur dans le pian d'incidence. Alors le rayon polarisé dans le plan d'incidence donnera seul le rayon ordinaire, et le rayon polarisé perpendiculairement à ce plan donnera seul le rayon extraordinaire, de sorte qu'en désignant par 0 l'intensité du rayon ordinaire, par E celle du rayon extraordinaire, on a
^ i sinMi r) „ itang*fi-r)
a8in*ii-i-r) 2tang*(i + /')
L'image ordinaire étant plus intense que l'image extraordinaire, ce résultat s'accorde bien avec l'expérience. On peut écrire l'identité
n — ^ sinM' — r) i tang* (i — r) i ["sin*(i — r) tang* (/ — r)']
a sin^ (i-^r) a tang* (i + r) a Lsin*(i + r) tang*(i H-r) j'
ou
0 = E + i P42;|i=i:î - l^n^li^l .
a Lsin*(i4-r) tang*(n-/)J
En ne prenant que le premier terme de l'expression de 0 et en le combinant avec le rayon extraordinaire, on a de la lumière naturelle, et il reste en plus le second terme de 0 qui représente de la lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence. On peut donc regarder la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle comme composée d'une certaine proportion de lumière naturelle et d'une autre proportion de lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence. Mais ce n'est là qu'une convention utile pour abréger les raisonnements, car ces deux mouvements, s'ils existaient, se composeraient aussitôt en un seul.
Lorsqu'on fait arriver sur un analyseur biréfringent un rayon de lumière partiellement polarisée, on trouve deux positions de la section principale de l'analyseur pour lesquelles les intensités des
deux im<i(;es sont égales et deux autres pour lesquelles la différence d'intensité est un maximum. On dit que le^^n de pobiritatiou par^ ticlk est parallèle à la section principale de l'analyseur lorsque cette section occupe la position pour Ia(|uelle l'image ordinaire est maximum. Knire ces quatre positions, les intensités des deux images varient d'une manière continue.
Sur un rayon de lumière partiellement polarisée, les conditions nécessaires |)our que la lumière soit naturelle ne sont pas réalisées. On peut donc poser, en appelant a eib les axes de la vibration elliptique et ûi l'angle que fait l'axe h avec la section principale de l'analyseur pour une certaine position de cette section, celle où elle est parallèle au plan d'incidence,
V ( a' vos' ^jj + /'- sin-î r^ ) — A-,
V («-siir-4.+ /'■-co.s"''d)) = \\\ Z^ ( a* — b' ) sin a)cos(y ^=- ().
Considérons maintenant une autre position de la section principale faisant avec la première un angle 6; si on désigne par .V et par B'^ les intensités du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, on aura
A'-* ^Ah'os^e-l-RHm'e+'ACsmecose, B"^- Asin^fl + B^cos^Ô-fîCsînÔcos».
Chacune de ces expressions est essentiellement positive et n'est jamais ni nulle ni infinie : elles ont donc chacune un maximum et un minimum. Appelons plan de polarisation partielle la position de la section principale de l'analyseur pour laquelle A'* est un maximum. On a, en égalant à zéro la dérivée de A'*,
Q(B'^--A^^)sin(9cos$+îîCcos!ie o.
d'où
On a ainsi pour 6 deux valeurs diiïérenles de i8o degrés, ce qui
donne deux plans rectangulaires dont l'un est le plan de polarisation partielle et l'autre le plan correspondant au minimum de l'image ordinaire. 6 est l'angle dont il faut faire tourner la section principale de l'analyseur pour la faire coïncider avec le plan de polarisation partielle. Si donc G=»o, on a aussi 0»» o, et la section principale de l'analyseur coïncide avec le plan de polarisation partielle. Revenons maintenant k la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle. Il est facile de voir que G est nul. En effet, l'intensité du rayon réfléchi polarisé dans le plan d'incidence, au lieu
d'être ^ {à^cos^cj+b'^sin^cj) comme dans la lumière incidente, est
eir\l II ^ 1*1 w-^
-J--77J3— V ^(a^cos^û; + J^sin^û)). Si l'on change &> en ûi— Ô, le multiplicateur de sin 6 cos 0, au lieu d'être , conmie dans la lumière partiellement polarisée , ^{a^—b^)sinù)Cosù), facteur qui a été
désigné par C, sera a'„r, ( ^(a^— ft^)sin6>cosft;. Ce terme sera
encore nul puisque la lumière incidente est naturelle, et, par suite, le terme qui dans la lumière réfléchie est représenté par G est nul, d'où il résulte que le plan de polarisation partielle de la lumière réfléchie provenant de la lumière naturelle est le plan d'incidence.
En résumé, lorsque des rayons de lumière naturelle se réfléchissent, la lumière réfléchie est toujours partiellement polarisée dans le plan d'incidence, sauf le cas où l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, et, dans ce cas, la lumière réfléchie est entièrement polarisée dans le plan d'incidence.
L'intensité de la lumière réfléchie est égale à
1 sin*(t — r) 1 tang* (i — r)
2 sin*(i-i-r) 2 tang*(i-i-r)'
et cette lumière réfléchie peut être considérée comme composée d'une certaine proportion de lumière polarisée complètement dans le plan d'incidence, dont l'intensité est égale à
ou à
a Vsin* (i-f-r) tang* (i-f-r)/ '
1 sin^ (i—r) r cos* (t'+r)"!
a sin* { « H- r) L cos' ( i — r) J '
et d'une certaine proportion de lumière naturelle dont l'intensité est
égale à
tang* (i — r) tang*(i-i-rj'
En désignant par m? la proportion de lumière naturelle contenue dans la lumière réfléchie et par n^ la proportion de lumière polarisée dans le plan d'incidence, on a
Supposons maintenant que ces premiers rayons réfléchis se réfléchissent une seconde fois sous la même incidence et dans le même plan , on aura , après la seconde réflexion ,
a2/ g , m*\ sin* [i - r) pamUang» (t-r)
A^-yn ^-Y>/8inMi>r)' ^2- ^ tang» (iVr)'
C'est donc encore de la lumière partiellement polarisée dans le plan d'incidence.
L'intensité totale de la lumière réfléchie est, après deux réflexions,
( 9 m*\ sin*(t'— r) m*tang*(t — r) [^ '^TJ sin* (i-hry 2 tâïïg» (i-+-r) '
La proportion de lumière naturelle a pour intensité
„ tangM£--r)
tang*(£-i-r)
et la proportion de lumière complètement polarisée dans le plan d'incidence
2 sin*(i-r) m* fsin* (i — r) tang* (1 — r)"[
8in*(i-hr) "" 2 Lsin'(i-hr) tang*(i-hr)J '
On voit que par la seconde réflexion la quantité de lumière naturelle diminue, tandis que celle de lumière complètement polarisée augmente; il en sera de même si on fait réfléchir la lumière une troisième, une quatrième fois. Donc, par une série de réflexions successives, la lumière naturelle tendra à être complètement polarisée dans le plan d'incidence.
THEORIE DE PRESNEL 421
318. WMtrmm^mwk d» Mm lundéM péimrkmém dmnm le plan 4[iteel€i«Btee. — L'étude de la réfraction de la lumière polarisée est tout à fait analogue à ceUe de la réflexion. Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où la lumière incidente est polarisée dans le plan d'incidence. Le rayon réfracté sera alors également polarisé dans le plan d'incidence. Pour déterminer son amplitude u, nous pouvons nous servir des deux équations que, dans le cas delà réflexion, nous avons déduites du principe de continuité et du principe des forces vives et qui sont
(i — î;^)sinrcosî = w^sintcosr.
En éliminant v entre ces deux équations, il vient successivement
(i — r)sinrcost = usintco8r, (q — tt) sinr cost = usintcosr,
et enfin
a sin r cos i
8in(i-f-r)
Sous l'incidence normale, c'est-?i-dire pour t = o, l'amplitude u
se présente sous la forme ~; mais en remplaçant les sinus par les
arcs, comme nous l'avons fait plus haut, on voit que la vraie valeur de u pour l'incidence normale est
a tt = •
Si le second milieu est plus réfringent que le premier, pour l'incidence rasante, 1^90 degrés et u devient nul; par conséquent il n'y a plus de rayon réfracté. Si le second milieu est moins réfringent que le premier, lorsque l'angle d'incidence a la valeur limite qui correspond à la réflexion totale, on a r«= 90 degrés, et par suite
tt=3.
Pour une incidence supérieure à cette limite, il n'y a plus de rayon réfracté.
Pour avoir l'intensité du rayon réfracté, il ne suffit plus d'élever u au carré; u^ ne mesurerait l'intensité du rayon réfracté qu'autant que l'éther aurait la même densité dans les deux milieux , ce qui n'a pas lieu. Si nous nous reportons aux prismes d'éther qui nous ont servi à établir les formules dans le cas de la réflexion , si nous prenons pour unité la masse du prisme qui se trouve dans le premier milieu, et si nous désignons par m la masse du prisme situé dans le second milieu auquel se sera transmis le mouvement au bout d'un temps donné, l'intensité du rayon réfracté sera évidemment mu^. Or l'équation
(i — -t?^)sinrcosi = tt^sintcosr,
qui contient les carrés des vitesses multipliés par les masses, montre que les masses des deux prismes dont nous venons de parler sont entre elles comme sinrcost est à sintcosr, c'est-à-dire que l'on a
sin i cos r sin r cos i
Il vient par conséquent pour l'intensité R^ du rayon réfracté
n „ sinicosr 4sin'rcos*i
^ smrcosi sm*(i + r)
d'où
smaismar
^1"" sin^i + r)
On aurait pu du reste arriver à cette expression en mettant l'équation des forces vives sous la forme
1 — V'' = Wtt-,
et en remplaçante par sa valeur .!^!^ce qui donne
„ sin'(i — r) 8in'(i + r) — sin'(i — r)
sm*(i + r) sin»((-fr)
[sin(iH-r)H-8in(c— r)][sin(t-hr)'-8in(f' — r)]
8in*(i-hr)
4 sin i cos r cos i sin r sin ai sin ar
sin*(i-hr) sin*(i + r)
expression identique à la précédente»
Nous pouvons ainsi discuter plus facilement la \aleur de Rj; car, connaissant les variations de r, nous en déduirons îinmëdiatement relies de i — r-, ou de i/jm-, c'est-à-dire de Tintensilé Rj. Ainsi, pour / — 0 , on a
lonc
R, - nnr i - ( -
Telle est la valeur de l'intensité du rayon réfracté sous rincidencc normale.
Lorsque le second milieu esl plus réfringent cjue le premier, pour l'incidence rasante, l'intensité devient nulle et il n'y a plus de rayon réfracté. Il en est de niânie, si le second milieu est moins réfringent qur le premier, lorsque l'angle d'incidence atteint la valeur limite de la réflexion totale, car alors on a r = ()0 degrés. 11 semble au premier abord contradictoire que le rayon réfracté soit nul dans ce dernier cas, puisque nous avons trouvé pour son amplitude une valeur égale à o; mais si l'intensité est nulle, cela tient à ce que la masse m du prisme d'élber du second milieu est nulle dans ce cas.
319. Réfmetloii de la lumière polarieée perpendleiilalrement au plan d*lneMenee. — Lorsque le rayon incident esl polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, il est évident, par raison de symétrie, que le rayon réfracté sera également polarisé perpendiculairement à ce plan. Pour déterminer l'amplitude de ce rayon réfracté, reprenons les deux équations qui nous ont servi pour le cas analogue de la réflexion : ces deux équations sont
( 1 -h r')cos/== u'cosr, (i - /-)sinrcos/--^ î/'-^sintcosT.
On en déduit, en divisant la seconde équation par la première,
( I — r')sinr-=-M'sinj\ et. en remplaçante par sa valeur tirée delà première équation.
îi — M r ] iiin r ==- H snn ,
